专题4.2 三角函数的图像与性质（10重难点题型+高分技法+高考真题）专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题为载体，构建“题型-方法-应用”三维训练体系，系统覆盖三角函数图像与性质核心考点，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义域与周期|6题|定义域求解、周期结论归纳|从基础概念到公式应用，形成“定义-性质”认知链| |单调性与最值|8题|复合函数单调性转化、最值求法|结合图像分析，建立“整体代换-区间判断”逻辑| |奇偶性与对称性|12题|奇偶性充要条件、对称中心/轴公式|从特殊到一般，推导对称性与奇偶性内在联系| |图像变换|11题|平移/伸缩变换步骤|遵循“相位-周期-振幅”变换顺序，强化几何直观| |综合应用与实际应用|14题|性质综合分析、实际问题建模|整合多性质，培养数学眼光与问题解决能力|

专题4-2 三角函数的图像与性质 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 7．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 8．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________． 9．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 11．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 12．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 13．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 重难点题型1 函数的定义域 1．函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为________． 4．函数的定义域是______． 重难点题型2 函数的周期 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，． （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均． 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 4．（2025·陕西汉中·一模）若函数（）的最小正周期为，则______ 5．（2024·上海宝山·一模）函数的最小正周期为__________. 6．（2025·甘肃白银·三模）若函数的最小正周期是，则__________. 重难点题型3 函数的单调性与最值 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式． 如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体， 如由解出的范围，所得区间即为增区间； 由解出的范围，所得区间即为减区间． 若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间． 对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可． 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·河北承德·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·福建三明·二模）下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为_______. 6．（2024·全国·二模）已知函数，，则函数的单调递减区间为______________. 重难点题型4 函数的奇偶性 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若为奇函数，则； （2）若为偶函数，则； （3）若为奇函数，则； （4）若为偶函数，则； 若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数． 1．（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河南开封·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数 是奇函数，则θ的值为（    ） A．0 B． C． D． 4．（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 5．设函数.若为偶函数，则___________． 6．已知函数，且，则________． 7．（2023·四川达州·一模）函数，且，则的值为______. 重难点题型5 函数的对称性（对称轴、对称中心） 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·江西·模拟预测）已知点是函数图象的一个对称中心，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·一模）已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为_________． 6．（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的对称中心为_____. 7．将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则_______． 8．（2026·北京丰台·二模）已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 9．（2026·安徽安庆·一模）（多选题）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 重难点题型6 图像变换 由函数的图像变换为函数的图像． 方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换． 的图像的图像 的图像 的图像 1．（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（2026·山东聊城·三模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北十堰·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）已知将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于点对称 C．函数在处取得极小值 D．曲线在处的切线斜率为 6．（2026·河南开封·模拟预测）（多选题）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 7．（2026·云南·三模）（多选题）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 8．（2026·重庆·模拟预测）（多选题）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．当时， B．函数图象的对称轴为 C．函数的最小正周期为 D．若函数的最大值为1，则 9．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则__________. 重难点题型7 三角函数性质的综合应用 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（   ） A． B．1 C． D． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，对任意的满足且恒成立，若在上单调递增，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，函数的值域为 D．的图象是由的图象先将各点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度得到的 5．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选题）函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期 B． C．在上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 6．（2026·山西晋中·三模）如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 7．（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 重难点题型8 根据条件或图像，求解析式 1．（2026·江苏淮安·模拟预测）函数（，，）的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 （   ） A． B． C．1 D． 2．（2026·山东济宁·三模）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，设函数的最小正周期为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 3．（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法错误的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 5．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理科押题卷（八））已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是______． 6．（2023·广西·模拟预测）已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______． 重难点题型9 三角函数的实际应用 （1）研究的性质时可将视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． （2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． （3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 1．（2026·安徽·三模）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·四川成都·开学考试）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（    ） A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． 4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为__________.    5．如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面______.米 6．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.    (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客甲乘坐摩天轮转动一周，求经过多长时间，游客距离地面的高度恰好为30米？ 重难点题型10 综合应用 三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性． 因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系） 1．（2026·北京·三模）已知函数（）． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期. 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 3．（2026·北京丰台·三模）已知，函数，从①②③中任选两个条件作为已知条件．使得唯一确定． ①在处取得最大值； ②是偶函数； ③相邻两个零点之间的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围． 4．（2026·云南曲靖·二模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数，求方程在上的解的个数． 5．（2026·广东广州·三模）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示， (1)求函数的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间． 6．（2026·河北邢台·三模）如图为函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)设为坐标原点，轴于点为线段上一点，且，求 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4-2 三角函数的图像与性质 1．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、正切函数对称性的应用 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 2．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 3．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦函数图象的应用 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选题）已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、利用正弦函数的对称性求参数、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 7．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】 【难度】0.56 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、根据极值点求参数 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 8．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 9．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 11．（2026·北京·高考真题）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)， (2) 【难度】0.68 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的正弦公式化简、求值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【详解】（1）因为， 所以， 又的最小正周期为，， 所以，所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， （2）令，，可得，， 函数的单调递减区间为. 12．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【难度】0.75 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 13．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 【难度】0.85 【知识点】求含cosx的函数的单调性、利用余弦函数的单调性求参数、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 重难点题型1 函数的定义域 1．函数的单调递减区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域、求sinx型三角函数的单调性 【分析】求出定义域，利用复合函数的单调性和正弦函数的图像和性质求出的单调递减区间就是所求的单调递减区间. 【详解】对于，令， 则，所以，. 因为为增函数， 所以的单调递减区间即为的单调递减区间， 所以，， 解得，， 所以的单调递减区间为，. 2．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 3．函数的定义域为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求含cosx型的函数的定义域 【分析】由题意得，结合余弦函数的图象性质求出在一个周期上的解集，再推广到实数集的解集即可. 【详解】函数有意义，等价于即， 由余弦函数的性质，在一个周期上，不等式的解集为， 则在实数集上不等式的解集为， 即函数的定义域为． 4．函数的定义域是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、求含cosx型的函数的定义域、求正切（型）函数的定义域 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，解不等式组即可. 【详解】由，可得，解得， 所以或， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 重难点题型2 函数的周期 关于三角函数周期的几个重要结论： （1）函数的周期分别为，． （2）函数，的周期均为 （3）函数的周期均． 1．（2026·湖南株洲·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用正弦型函数最小正周期求解即可. 【详解】由题意得. 2．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据周期得到的值，从而得到对称轴方程，结合选项，代入值验证即可求解． 【详解】由的最小正周期为，， 则，解得， 所以， 令，，解得，， 结合选项，取，得，即它的一条对称轴是． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知 为函数 的最小正周期，则 （    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【难度】0.78 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【详解】 . ，. 4．（2025·陕西汉中·一模）若函数（）的最小正周期为，则______ 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】利用余弦型函数周期公式计算得解. 【详解】由函数的最小正周期为4，得，所以. 故答案为： 5．（2024·上海宝山·一模）函数的最小正周期为__________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期 【分析】应用余弦型函数的周期公式求解即可. 【详解】因为函数，所以, 即函数的最小正周期为. 故答案为：. 6．（2025·甘肃白银·三模）若函数的最小正周期是，则__________. 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切型函数的周期性求解的值即可. 【详解】因为函数的最小正周期是， 所以，则. 故答案为：3. 重难点题型3 函数的单调性与最值 三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式． 如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体， 如由解出的范围，所得区间即为增区间； 由解出的范围，所得区间即为减区间． 若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间． 对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可． 1．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】先由正弦函数的周期性求出的大致范围，再根据正弦函数的递增区间求出的具体范围. 【详解】令，因为，所以 因为函数在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增，且，即． 因为， 所以函数在上单调递增，等价于或， 解不等式得或，所以的取值范围是． 2．（25-26高一下·河北承德·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【详解】由，解得. 又解得，∴， ∴要使函数在区间上单调递增，则该区间必须是函数某个单调递增区间的子集， 则，， 解得， ∴的取值范围是. 3．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.52 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、利用余弦函数的单调性求参数 【详解】令， 得， 所以的单调递增区间为， 因为在区间上单调递增， 所以，， 解得， 当，得； 当，且，无交集； 当，由可知显然不符合题意， 所以的取值范围为． 4．（2026·福建三明·二模）下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【详解】因为， 所以令，解得， 当时，单调递增区间为， 因为， 所以是函数的一个单调递增区间. 5．已知函数在区间内单调递增，则的最大值为_______. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】利用正切函数的单调性求参数 【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解. 【详解】由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得， 所以的最大值为1. 故答案为：1. 6．（2024·全国·二模）已知函数，，则函数的单调递减区间为______________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】利用整体代换法求出余弦函数的单调递减区间即可. 【详解】由题意知，， 由，得， 令，得，令，则， 即函数的单调递减区间为. 故答案为： 重难点题型4 函数的奇偶性 由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论： （1）若为奇函数，则； （2）若为偶函数，则； （3）若为奇函数，则； （4）若为偶函数，则； 若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数． 1．（2026·浙江·三模）下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的最小正周期 【详解】所有选项的定义域都是， 对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数， 的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图）， B正确； 对于C：，图象为 很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 2．（2026·河南开封·模拟预测）若函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式 【分析】先利用奇函数求解参数，化简函数后通过奇偶性定义验证，再代入自变量计算函数值. 【详解】由为定义在上的奇函数，得， 即，，. 结合，得. 所以. 验证奇偶性：，满足奇函数定义. 因此，. 3．已知函数 是奇函数，则θ的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、由奇偶性求参数 【详解】因为是奇函数，所以，解得：，又因为，故取，得. 4．（2026·黑龙江·一模）若函数是奇函数，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】特殊角的三角函数值、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据奇函数中得出，再代入结合特殊角三角函数值求解. 【详解】由，即，得， 所以，则． 故选：D. 5．设函数.若为偶函数，则___________． 【答案】3 【难度】0.94 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据题意，解得，结合即可求解． 【详解】由题知，且为偶函数， 所以， 解得， 又，所以． 故答案为：3． 6．已知函数，且，则________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】函数奇偶性的应用、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】构造函数，判断函数的奇偶性，再根据函数的奇偶性求解即可. 【详解】令， 则，所以， 因为， 所以， 所以. 7．（2023·四川达州·一模）函数，且，则的值为______. 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、对数的运算性质的应用、求正切（型）函数的奇偶性 【分析】构造，得到为奇函数，从而根据得到，由求出. 【详解】令， 定义域为或且，关于原点对称， 则， 故为奇函数， 又，故， 解得. 故答案为：0 重难点题型5 函数的对称性（对称轴、对称中心） 关于三角函数对称的几个重要结论； （1）函数的对称轴为，对称中心为； （2）函数的对称轴为，对称中心为； （3）函数函数无对称轴，对称中心为； （4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得 ，即对称中心为． （5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【详解】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 2．（2026·江西·模拟预测）已知点是函数图象的一个对称中心，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【详解】依题意，则，即， 由，可得. 3．（2026·山东聊城·一模）已知函数，则其图象离直线最近的一条对称轴的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用余弦（型）函数对称性分析求解即可. 【详解】根据题意，令，，解得函数的对称轴为：， 令，得，令，得，令，得，令，得， 所以函数的图象离直线最近的对称轴方程为． 4．（2026·广东深圳·模拟预测）已知函数，则的一个对称中心的坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【详解】令，解得， 时，，则是的一个对称中心． 5．（2025·江苏徐州·模拟预测）若曲线的一个对称中心为，则的最小值为_________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求正切（型）函数的对称中心 【分析】根据给定条件，利用正切函数的对称性列式求出的关系，进而求出最小值. 【详解】由曲线的一个对称中心为，得， 解得，所以的最小值为2. 故答案为：2 6．（24-25高三下·湖南长沙·阶段检测）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的对称中心为_____. 【答案】， 【难度】0.85 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】结合函数图象变换结论求函数的函数解析式，结合正切函数的性质列关系式求对称中心的横坐标，由此确定对称中心坐标即可. 【详解】由题意，函数， 令，解得，， 则的对称中心为，. 故答案为：，. 7．将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则_______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得到，由于此函数的图象关于轴对称， 则，即， 又，则. 8．（2026·北京丰台·二模）已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 【答案】 2 （答案不唯一，满足即可） 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】由图可知，即可得；根据图象可知函数的对称轴为，结合图象平行求函数的图象的对称轴方程. 【详解】设函数的最小正周期为， 则，即， 且，则，所以； 由图可知：为函数的对称轴， 结合函数的周期可知函数的对称轴为， 又因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以函数的图象的对称轴方程为， 所以的图象的一条对称轴方程为. 9．（2026·安徽安庆·一模）（多选题）已知函数的最小正周期为，则图象的对称中心的坐标可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】由正切函数的周期求值、求正切（型）函数的对称中心 【分析】先根据周期得出，再应用正切函数的对称中心计算求解. 【详解】由题意可得，解得（负值舍去），则， 令，则， 当时，，当时，，故、都是图象的对称中心，故B、D正确； 令，解得，由 不符，故不是图象的对称中心， 令，解得，由 不符，故不是图象的对称中心，故A、C 错误. 重难点题型6 图像变换 由函数的图像变换为函数的图像． 方法：先相位变换，后周期变换，再振幅变换． 的图像的图像 的图像 的图像 1．（2026·湖北武汉·三模）为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【详解】对函数做横坐标伸缩变换，将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变， 得到新函数的图象， 根据平移变换的“左加右减”规则，将变形为目标函数：， 可知需要将的图象向右平移个单位，即可得到目标函数的图象， B选项正确. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）要得到函数的图象，只需将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】诱导公式五、六、求图象变化前（后）的解析式 【详解】因为， 所以只需将函数的图象向左平移个单位长度即可得到， 即得到函数的图象. 3．（2026·山东聊城·三模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【详解】∵ ， ∴ ， ∴ . 令，解得. 对选项A：当时，，符合对称轴方程，故A正确. 对选项B：令，解得，故B错误. 对选项C：令，解得，故C错误. 对选项D：令，解得，故D错误. 4．（2026·湖北十堰·模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后可得到 ， 因为函数图象关于轴对称，则该函数为偶函数， 所以可得 , 解得， 又，则当时，满足题意； 因此的最小值为. 5．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）（多选题）已知将的图象先向左平移个单位，再将所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，则下列结论正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于点对称 C．函数在处取得极小值 D．曲线在处的切线斜率为 【答案】BD 【难度】0.62 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】先根据函数的平移变换得到，再根据正弦函数的性质及极值的定义求解判断ABC；根据导数的几何意义求解判断D. 【详解】由题意，先将图象上的所有点的横坐标缩短为原来的得到的图象， 再向右平移个单位可得的图象， 即； 对于A，当时，， 因为函数在上不单调递增， 则函数在区间上不单调递增，故A错误； 对于B，由， 则函数的图象关于点对称，故B正确； 对于C，由， 则函数在处取得最大值，也为极大值，故C错误； 对于D，由，得， 则， 所以曲线在处的切线斜率为，故D正确. 6．（2026·河南开封·模拟预测）（多选题）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】CD 【难度】0.76 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据函数图象的伸缩变换得到解析式，结合正弦型函数性质求解即可. 【详解】由题意知，. 对于A：，A错误. 对于B：最小正周期，B错误. 对于C：令，，解得，，所以对称中心为. 当时，对称中心为，C正确. 对于D：令，，解得，，所以对称轴为，. 当时，对称轴为，D正确. 7．（2026·云南·三模）（多选题）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【答案】ACD 【难度】0.55 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可. 【详解】对于A，根据题意得，， 因为的图象与的图象关于轴对称，所以， 即， 可得或， 因,则得，又因，所以，故A正确； 对于B，由A得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，当时，，故C正确； 对于D，当时，，此时， 而当时，，此时 所以，故D正确. 8．（2026·重庆·模拟预测）（多选题）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（    ） A．当时， B．函数图象的对称轴为 C．函数的最小正周期为 D．若函数的最大值为1，则 【答案】ABD 【难度】0.62 【知识点】求含cosx的函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、和差化积公式 【分析】根据诱导公式可判断A；根据余弦函数的对称轴可判断B；根据积化和差结合余弦函数的周期性可判断C；根据和差化积结合余弦函数的最值可判断D. 【详解】由题知 ， 对于A选项， ，所以A正确； 对于B选项，将代入，则， 这是函数的对称轴需要满足的条件，所以B正确； 对于C选项， ， 所以最小正周期为，所以C错误； 对于D选项， ， 所以该函数的最大值为 ，解得，所以D正确. 9．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则__________. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象对应函数为， 所以. 重难点题型7 三角函数性质的综合应用 1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，A，C均为其图象上的点，且线段的中点B在x轴上，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用三角恒等变换化简函数，结合中点坐标性质得到两点函数值互为相反数，推出两点水平距离为半个周期，进而求解. 【详解】由余弦和角公式化简函数解析式，. 由线段的中点在轴上，得，即. 对于余弦型函数，若两点处函数值互为相反数，结合图象的走势特征， 可知两点间水平距离为半个最小正周期. 即，得最小正周期. 由周期公式，代入得，解得. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】由题意可得函数周期，即可得，再利用可求出，结合函数对称性即可得解. 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则，又，则，故， 令，解得， 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心，其余选项皆不符合. 3．（2026·天津滨海新区·三模）已知函数，对任意的满足且恒成立，若在上单调递增，则当时，的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】先由两个恒成立条件，确定的最小值点和最大值点，据此求出参数、，结合单调区间要求验证参数后，求目标区间内的最小值. 【详解】由题意知，对任意的，恒成立，说明是的最小值， 即，是的零点； 对任意的，恒成立，说明是的最大值，即是的最值点. 两点横坐标差为，零点对应的点到相邻最值点的距离为，则. 对，周期，得. 由得，故 ， 结合，得，. 验证单调性：，当时，则， 由于在单调递增，且，满足在该区间单调递增. 则当时，，在的最小值为， 因此. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）（多选题）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．当时，函数的值域为 D．的图象是由的图象先将各点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度得到的 【答案】AC 【难度】0.75 【知识点】特殊角的三角函数值、求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由函数的最值可得A值，根据周期公式可得值，可判断A；代入特殊值分析求解，可得值，即可得的解析式可判断B；根据x的范围可得的范围，结合正弦函数的性质得的值域，即可判断C；根据图象平移、伸缩变换的方法，整理化简，可判断D. 【详解】由图象得，的最大值为2，最小值为，所以， ，解得，则，故A正确； ，所以， 因为，所以令，则，所以， 则，故B错误； 当时，， 所以当时，有最小值， 当时，有最大值1，则函数的值域为，故C正确； 将的图象先将各点的横坐标变为原来的，得， 再向左平移个单位长度，得，故D错误. 5．（2026·广东深圳·模拟预测）（多选题）函数的部分图象如图所示，其中轴，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期 B． C．在上单调递增 D．将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则为偶函数 【答案】AB 【难度】0.62 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】求出函数的周期判断A；求出的值判断B；利用整体思想判断函数在上单调性，可判断C；求得，由正弦函数的性质判断D. 【详解】因为轴， 所以图象的一条对称轴为直线， 所以， 所以，故A正确； 易得，则， 所以， 因为的图象过点，所以， 所以，所以，， 因为，所以，故B正确； 因为， 当时，， 由正弦函数的性质可知在上是先减后增，故C错误； 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，易知为奇函数，故D错误． 6．（2026·山西晋中·三模）如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 【答案】 【难度】0.52 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】先通过方程的解，得到相邻交点的横坐标差，结合求出；再由和图像单调性确定，最后计算的值. 【详解】令，可得或，. 由题图可知，，所以， 因为，即，故. 因为，即， 又因为点在单调递减区间上，所以可取，则， 从而. 7．（2026·北京海淀·三模）已知函数，则的最大值为______，将函数图象向右平移个单位得到函数，若对任意，都有成立，则常数的最小值为______． 【答案】 / 【难度】0.7 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由余弦（型）函数的奇偶性求参数、求图象变化前（后）的解析式、二倍角的余弦公式 【分析】先利用三角恒等变换化简函数为余弦型函数标准形式，根据余弦函数的值域求解最大值；再根据三角函数图象平移规则得到的解析式，结合奇函数的性质推导参数的取值，最终确定最小正值. 【详解】∵ ， 由平方差公式及余弦二倍角公式可得： ， ∵ ， ∴ 的最大值为. 将函数的图象向右平移个单位，可得： ， ∵ 对任意，都有，即， ∴ 是定义在上的奇函数， ∴ ， 即， 又∵ ， ∴ 当时，取得最小值. 重难点题型8 根据条件或图像，求解析式 1．（2026·江苏淮安·模拟预测）函数（，，）的部分图象如图所示．将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 （   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】由图象确定振幅、周期和相位，写出函数解析式，根据平移规则得到新函数解析式，代入自变量计算即得结果. 【详解】由图象可知，，图象与轴交点坐标为，与之相邻的最高点坐标为， 所以，所以，解得， 将代入，得， 所以 ，所以，又因为，所以， 所以， 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 所以，所以. 2．（2026·山东济宁·三模）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平行移动个单位长度得到函数的图象，设函数的最小正周期为，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先根据图象的已知点坐标求出的解析式，根据平移变换求出的解析式即可判断 【详解】由题意可得，，得，所以 ， 又因为，所以当时，，函数； 由，得，所以，， 即，又，所以， 当时，，所以函数； 将的图象向右平行移动个单位长度，得函数， 所以，. 3．（2026·天津北辰·二模）已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【难度】0.74 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】对于AB，代入选项的的值并依据正弦函数的图象性质判断即可，对于C，由图象变换结合辅助角公式即可求解，对于D，使用整体代入法结合图象的交点个数即可求解. 【详解】由题意得，最小正周期满足，即， 则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则， 综上，， 对于①，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故①错误； 对于②，若的图象关于点对称，则， 代入得， 因为，故②错误； 对于③，设， 则，故③错误； 对于④，若，则，设，， ，即， 则与在上有两个交点， 即，解得，故④错误. 所以有0个命题正确. 4．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法错误的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】先确定，再结合正弦型函数的性质及平移变换逐项判断即可． 【详解】如图，，分别过点作轴的垂线，与过点的轴的垂线交于点， 由对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积，即， 解得，函数的最小正周期为，故A正确； 由，解得，又函数过点，则，即， ，，则， 又为最小值，所以为函数的一条对称轴，故B正确； 因，则要得到该函数的图象，需将函数向右平移个单位长度，故C错误； 因，，而在上单调递增，故函数在区间上单调递增，故D正确． 5．（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学理科押题卷（八））已知函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到的图象，若在区间上恰有两个极大值点，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、根据极值点求参数 【分析】结合图象求得的最小正周期，即可求得，然后结合图象上的点的坐标及可求得，得到的解析式，进而利用三角函数图象的变换法则得到的解析式，最后利用正弦函数的图象求得m的取值范围． 【详解】设的最小正周期为T，则由图象知， 所以，则， 由在处取得最小值，可得，， 得，．因为，所以， 所以； （或由题意可得，，亦可得） ， 由，得， 所以由题意得，解得， 即实数m的取值范围是． 故答案为：. 6．（2023·广西·模拟预测）已知函数（，）的部分图象如图所示．将函数图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象，则的值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数图象的综合应用、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据图象可知半个周期，求得，代入点的坐标结合已知可求得，再利用图象平移即可得出的解析式，进而求出. 【详解】由图象可知的最小正周期为， 解得， 代入可得， 解得， 又，所以， 故， 左移个单位长度得， 故．故答案为： 重难点题型9 三角函数的实际应用 （1）研究的性质时可将视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． （2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． （3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 1．（2026·安徽·三模）如图将一个正常工作的圆形时钟抽象为平面直角坐标系．设时针长为，若某时刻时针指向点到点之间，且针尖所在点的纵坐标为，则在经过小时后，时针针尖所在点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由单位圆求三角函数值、三角函数在生活中的应用、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】设轴，垂足为，单位圆交轴正半轴于点，根据条件求出点坐标，由三角函数的定义得，结合条件，由余弦的差角公式，即可求解. 【详解】由题意可知，针尖所在点初始位置在第二象限内，设为点，且在单位圆上， 如图所示，点的纵坐标为，设轴，垂足为，单位圆交轴正半轴于点， 设经过小时后，时针针尖所在点的坐标为，则， 在直角三角形中，，因为，所以， 又因为，所以点在第一象限内，设，则点坐标为， 设点，由，解得或舍去， 设，则， 所以． 2．（24-25高三下·四川成都·开学考试）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】根据题意求出盛水桶到水面的距离与时间的函数关系式，令即可求解. 【详解】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为， 由图可知筒车转动后盛水筒第一次到达入水点的角度小于， 又筒车的角速度为2rad/min，所以所需的时间为，故A错误； 由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下： ， 令，即，解得， 又，可得， ，故D正确； ， ，故C错误； 又，解得，故B错误； 故选：D. 3．（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（    ） A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】以轴心为坐标原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数，令时，即可求解. 【详解】设座舱距离地面的最近的位置为点，以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 设函数表示游客离底面的高度， 因为摩天轮的最高点距离地面为，直径为，且转一周大约需要， 周期，，所以， 即， 当时，游客在点，其中以为终边的角为， 所以， 当时，可得 所以，摩天轮的座舱后距离地面高度约为. 故选：A. 4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为__________.    【答案】 【难度】0.69 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】先根据题意求出的解析式，然后令，求解关于的方程，取的最小值即可. 【详解】由题意，筒车半径为，. 又筒车的轴心距离水面的高度为，. 筒车每分钟转2圈，每分钟转过的角度为，. . 以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，. 即，，. 又，，. 盛水筒第一次到达最高点时用时最短，此时，解得. 故最短时间为. 5．如图，一圆形摩天轮的直径为100米，圆心到水平地面的距离为60米，最上端的点记为Q现在摩天轮开始逆时针方向匀速转动，30分钟转一圈，以摩天轮的中心为原点建立平面直角坐标系，则经过10分钟点Q距离地面______.米 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】利用三角函数的应用建立距离水平地面的高度关于的关系式，再代入即可得解. 【详解】依题意，设距离水平地面的高度， 所以，，则， 所以， 则， 故答案为：. 6．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.    (1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中），求摩天轮转动一周的解析式； (2)若游客甲乘坐摩天轮转动一周，求经过多长时间，游客距离地面的高度恰好为30米？ 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）利用正弦型函数的一般式结合题意，求出，，，，从而得解； （2）根据（1）求出的表达式，将化简求得． 【详解】（1）因为（其中，，， 由题意知：， ，故， ，， 又，， ， 故解析式为：，,； （2）令，则，即， 因为,，则，所以或，解得或， 故游客甲坐上摩天轮5分钟时和25分钟时，游客距离地面的高度恰好为30米. 重难点题型10 综合应用 三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性． 因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系） 1．（2026·北京·三模）已知函数（）． (1)若，求及的单调递增区间； (2)已知在区间上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的最小正周期. 条件①：； 条件②：点在的图象上； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)，单调递增区间，； (2)选①，最小正周期； 选③，最小正周期． 【难度】0.56 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，先对函数解析式进行化简，根据所给条件，利用整体代换的思想求解函数的单调递增区间； （2）通过题干所给条件先求出参数的取值范围，再根据所选择的条件计算出参数的具体取值，再利用周期公式计算最小正周期． 【详解】（1） ； 因为，则； ； 令，解得； 故的单调递增区间为，； （2）由（1）知，， 令，； 解得；当时，； 已知在区间上单调递增，故，解得； 选① 因为，即， 解得，因为，则， 故，解得； ，的最小正周期； 选② 因为点在的图象上， 则，即，，解得， 综上，，；，； 此时不唯一，故不符合题意； 选③ 因为，则对称轴为， 则，解得， 因为，故，； ，的最小正周期． 2．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【答案】(1)， (2)， 【难度】0.72 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由求出，根据在上有最大值，且无最小值求出的取值范围. （2）结合（1）得的值，进而得到的解析式，化简得到的解析式进而求出对称中心. 【详解】（1）因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. （2）由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 3．（2026·北京丰台·三模）已知，函数，从①②③中任选两个条件作为已知条件．使得唯一确定． ①在处取得最大值； ②是偶函数； ③相邻两个零点之间的距离为． (1)求的解析式； (2)将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间上恰有3个零点，求t的取值范围． 【答案】(1)选①③，； 选②③，； (2)选①③，； 选②③，． 【难度】0.48 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、振幅变换及解析式特征、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先对解析式利用降幂公式，两角和与差公式，进行化简，利用所给条件求出参数的值，得到的解析式，利用图象的变换得到的解析式，利用整体代换的思想，根据正弦函数的图象零点分布情况，计算参数t的取值范围． 【详解】（1） ； 选①② 因为在处取得最大值，故； 又因为为偶函数，则关于对称， 则， 式与式相加即可得， 因为，则，解得； 则，解得，因为， 故，故的值不唯一，故不选①②. 选①③ 因为在处取得最大值，故； 因为相邻两个零点之间的距离为，则，解得； 代入可得：，解得， 因为，故，； 故的解析式为； 选②③ 因为相邻两个零点之间的距离为，则，解得； 又因为为偶函数，则关于对称， 则，即， 因为，故，； 故的解析式为； （2）选①③， 由的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可得， 当时，； 因为在区间上恰有3个零点， 故，解得； 故t的取值范围为； 选②③ 由的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 可得， 当时，； 因为在区间上恰有3个零点， 故，解得； 故t的取值范围为． 4．（2026·云南曲靖·二模）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)若函数，求方程在上的解的个数． 【答案】(1) (2)3 【难度】0.62 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、辅助角公式、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）根据函数图象，结合正弦型函数的性质求参数值，即可得； （2）应用三角恒等变换化简函数为，再由正弦函数的性质求区间内的零点个数. 【详解】（1）的最小值为，所以， 的最小正周期，得，又，所以， 结合图象可知，即， ， ， ； （2） ， ∴令，即，又， ， ∴当或或时，， 分别对应，，，故方程在上的解的个数为3. 5．（2026·广东广州·三模）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示， (1)求函数的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)，单调增区间为，单调减区间为 【难度】0.71 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据图象求振幅、周期，由公式求出，代入点求出即可得出函数解析式； （2）化简，由正弦函数性质求函数的值域，由正弦函数单调性求出函数的单调区间. 【详解】（1）由题意可知，， 又因为函数的最小正周期为，， 所以，此时， 由，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）因为． 所以． 化简得. 所以函数的值域为． 令，解得， 令，解得． 所以函数的单调增区间为， 单调减区间为 6．（2026·河北邢台·三模）如图为函数的部分图象. (1)求函数的解析式； (2)设为坐标原点，轴于点为线段上一点，且，求 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、三角函数图象的综合应用、辅助角公式 【分析】（1）根据给定的图象，结合五点法作图求出即可. （2）由的三角函数表示，再列式并利用辅助角公式求解. 【详解】（1）观察函数图象，得函数的最小正周期，而， 解得，由，得， 又，则， 所以函数的解析式是. （2）设， 由函数的图象知，， 则， 则， 由，得， 整理得，即，则， 又，因此，解得， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $