专题5.1 等差数列及前n项和专项训练（9重难点题型+高分技法+高考真题）-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以“方法提炼+分层题型”构建等差数列专项训练体系，融合高考真题与模拟题，强化数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本量计算|10题|方程思想、整体代换|从a₁,d基本量切入，构建通项与求和公式应用基础| |判断与证明|4题|定义法、等差中项法|深化概念理解，衔接数列证明逻辑推理| |前n项和性质|11题|片段和、奇偶项性质|拓展求和公式应用，培养运算能力与性质迁移| |综合应用|5题|实际问题建模、跨知识整合|从基础到拔高，形成“概念-性质-应用”完整链条|

专题5-1 等差数列 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 3．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 5．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 6．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 7．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和，若，，则__________． 【答案】24 【难度】0.75 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列通项公式求出公差，再结合求和公式求解即可. 【详解】由等差数列通项公式， 代入可得，解得. 因为，所以， 故. 8．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】直接根据等差数列求和公式求解. 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 10．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. (2) 【难度】0.65 【知识点】导数的运算法则、由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 重难点题型1 等差数列基本量的计算 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷． 1．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设出基本量，利用等差数列的性质求出公差和首项，再求出通项公式即可. 【详解】设首项为，公差为，因为，所以， 即，解得，因为，所以， 解得，则，得到，故A正确. 故选：A 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）等差数列的前n项和为，且，，则（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设出公差，根据条件得到方程，求出首项和公差，得到答案. 【详解】设的公差为，则，解得， ，所以， 故. 故选：C 3．（2024·江西上饶·一模）已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】应用等差数列前n项和公式求得，再由等差中项的性质求. 【详解】由题设，可得， 由. 故选：D 4．（24-25高三上·湖南·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A．21 B．19 C．12 D．42 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】由等差数列的基本量运算，找出和，再根据等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】记公差为，由题， 故， ， 故选：A. 5．（2024·湖北荆州·模拟预测）设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、求等比数列前n项和 【分析】由等差中项求得公比，代入求和公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得： ，， 所以. 故选：D 6．（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式列出关于首项与公差的方程组，求解出与的值，再利用通项公式求出. 【详解】根据等差数列的前项和公式 已知，，代入可得： 由等差数列的通项公式 将代入： 则. 故答案为：10. 7．（2024·湖北·一模）已知数列是等差数列，且其前项和为.若，则_____. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的下标性质与通项公式求解即可； 【详解】由得，， 解得， 即，解得， 所以. 故答案为：1. 8．（24-25高三上·上海金山·期末）已知是等差数列的前项和，若，则的值为__________. 【答案】52 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】由可得，后由等差数列性质结合前n项和公式可得答案. 【详解】设公差为d ，由， 则. 则. 故答案为：52 9．（2024·甘肃张掖·一模）设是等差数列的前项和，若，则____________． 【答案】72 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据等差数列的性质和通项公式求出公差和首项，结合等差数列前项和公式计算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为.由等差数列的性质，得. 因为36，所以，解得． 所以，解得，所以， 所以， 故答案为：72. 10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列为等差数列，，则_____. 【答案】8 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设出公差，由题目条件得到，即. 【详解】设公差为，，， 故； 故答案为：8 重难点题型2 等差数列的判断与证明 判断数列是等差数列的常用方法： （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 1．（2024·甘肃张掖·一模）已知数列满足． (1)若，求证：为等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) 因为，所以， 即 因为，所以． 又因为， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列 (2) 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）取倒数，即可根据等差数列的定义求证， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，所以， 所以． 所以 2．（2024·吉林·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明：因为，所以， 又，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列， ，即. (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和 【分析】（1）将， 变形为，再利用等差数列的定义求解； （2）求出，再利用错位相减法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）， ， 则， 两式相减得， ， . 3．（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据给定条件，利用变形给定等式，再利用等差数列定义推理即得. （2）由（1）求出，进而求出，再按奇偶分类，利用分组求和法求解即得. 【详解】（1）由，得，即， 两边同加，得，则，因此数列为常数列， 所以数列为等差数列. （2）由（1）知，，则，， 当为正奇数时，，；当为正偶数时，，， 当为正奇数时，； 当为正偶数时，， 所以. 4．已知各项均不为零的数列满足：. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) 因为，故由， 可得， 又，所以是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以，故. (2) 易得， 所以 易知在时是递增的，所以， 因此. 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）通过构造法，利用等差数列的定义和等差数列的概念求解通项公式. （2）通过裂项法求解，并结合数列的单调性求证不等式. 【详解】（1）略 （2）略 重难点题型3 等差中项的应用 如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值． 1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，且，，则=（    ） A．50 B．40 C．30 D．25 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、求等差数列前n项和 【分析】借助等差数列的性质与前n项和公式，运算求解即可得． 【详解】解法一： ∵，∴，又， ∴，∴． 解法二： 设的公差为d，∵， ∴，又，∴， 则， ∴． 故选：D． 2．（2024·山东临沂·一模）已知等差数列的前项和为.若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由等差数列的通项公式可得：， 且， 所以. 故选：A. 3．与的等差中项是______． 【答案】8 【难度】0.94 【知识点】求等差中项 【分析】根据等差中项的定义求解即可. 【详解】设与的等差中项是， 则， . 故答案为：8 4．已知为等差数列，，，则_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用 【分析】利用等差数列的通项公式和等差中项求解即可. 【详解】根据题意，可设等差数列的公差为， 又由，则，即， ，则，即， 则公差， 则， 所以． 故答案为： 5．（2025·全国·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，则______. 【答案】45 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、求等差数列前n项和 【分析】先根据等差中项的定义求出，进而通过前n项求和公式求得答案. 【详解】由，则.故答案为：45. 重难点题型4 等差数列前n项和的性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1），…也成等差数列，公差为． （2）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （3）若项数为偶数，则；；． （4）若项数为奇数，则；；． （5）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 1．（24-25高三上·河南·期中）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的性质，即可求解. 【详解】利用等差数列的性质，由得：， 即，又由， 故选：C. 2．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】设公差为，利用等差数列的性质、通项公式可得答案.. 【详解】设公差为， 因为数列为等差数列，则， 又，则，即， 因为，，所以， 故． 故选：C． 3．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．45 B．90 C．180 D．240 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的性质及前n项和公式求. 【详解】由得，， 整理得，即， 所以. 故选：B 4．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设等差数列的前项和为，已知，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】结合等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求出结果. 【详解】设设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以，解得. 故选：B. 5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 6．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段检测）（多选题）已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列、等比数列求和公式及，推导出，不妨设，，是不为0的常数，即可表示出，，从而得解. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为等差数列的前项和； 等比数列的前项和； 又，所以等比数列的公比，即. 不妨设，，是不为0的常数， 所以当时， 当时， 则，， 所以，. 故选：AC. 7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）（多选题）已知数列各项为正，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列是单调递增数列 D． 【答案】ABD 【难度】0.45 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质、由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据已知条件及递推式，代入求，判断选项A；当时，代入递推式求出，结合求出判断选项B；根据求出，判断的单调性，确定选项C；利用数学归纳法证明不等式，判断选项D． 【详解】已知数列各项为正，满足，当时，， 即，故，A正确； 当时，，则， 化简整理得， 又， 是首项为1，公差为1的等差数列，即，故B正确； ，数列各项为正，则， 当时，， 当时，满足通项， ， 随着增大，增大，故递减，故C错误； 已知，证明即证明， 当时，，成立； 假设时，， 时，，只需证， 两边同乘得， 即， 平方后化简得，成立， 故不等式对所有正整数成立，故D正确． 8．（2024·陕西榆林·三模）已知为等差数列的前项和，且，则________． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】由等差数列的前项和公式以及等差数列下标和的性质代入计算，即可得到结果． 【详解】由等差数列的前项和可得： ， ， 则，所以． 故答案为： 9．（2024·吉林长春·一模）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则______. 【答案】9 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】设公差为，利用等差数列的通项公式和求和公式化简计算即得. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得， 化简得，因，解得. 故答案为：9. 10．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】由等差数列前项和的性质以及基本量的运算转化，再用表示，借助于两者之间的关系计算结果. 【详解】解：由数列前项和的性质可知：，即， 则. 故答案为： 11．（2024·湖南长沙·二模）已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k=___________ 【答案】6 【难度】0.65 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等比中项的应用 【分析】根据等比中项结合等差数列的前n项和公式求出，再解方程，即可求得答案. 【详解】因为成等比数列，所以 ， 由于数列的通项公式为: ， 故是首项为1，公差为2的等差数列，且前项和为， 所以 ，所以 (舍去负值)， 所以 (舍去负值)， 故答案为：6 重难点题型5 等差数列的前n项和最值问题 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，则的最大值为（    ） A．625 B．600 C．540 D．400 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由已知求得首项和公差，由等差数列前项和公式得求出的表达式，结合二次函数得最大值． 【详解】因为，所以公差， 又，所以， 所以． 时，取得最大值625. 故选：A． 2．（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】设的公差为，根据题意列出方程组，求得，得到和，进而求得答案. 【详解】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 所以当时，取得最小值. 故选：D. 3．（24-25高三上·广东·阶段检测）已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（    ） A． B． C． D．无最大值 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】对于A：根据可得，结合通项公式分析判断；对于B：根据等差数列性质可得，即可分析判断；对于CD：根据分析数列的符号性，即可判断. 【详解】对于选项A：因为数列为等差数列，则，即， 可得，则，故A错误； 对于选项B：因为，则，所以，故B正确； 对于选项D：因为，且，可知，当时，； 当时，；可知当且仅当时，取到最大值，故D错误， 对于选项C：因为，所以，故C错误； 故选：B. 4．（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（    ） A．11 B．12 C．20 D．21 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、数列不等式能成立（有解）问题 【分析】依题意得，再由列不等式求解即可． 【详解】设等差数列的公差为d， 由，得，得，由于，得， 由，得， 得， 得， 得， 得，且， 则n的最大值为21， 故选：D 5．（2024·广东·二模）（多选题）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】运用等差数列的通项公式和求和公式，结合二次函数性质可解. 【详解】由题意可设公差为，则有 由有：，故A错误； 故B正确； ，由二次函数的性质可知： 当时，取得最小值，故C正确； 因为， 所以 所以为等差数列，公差为4，首项为， 所以的前项和为：故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高三上·广东东莞·阶段检测）（多选题）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据条件，结合等差数列的性质，可得，，，由此可判断ABC的真假；再由和时，，时，，再结合，的单调性可判断D的真假. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以， 所以. 所以，当时，最大，故A正确； 由，， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以. 且，， 所以中最小项为，故D正确. 故选：ABD. 7．（2024·安徽·模拟预测）已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质，先求出，再得到则，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，所以；又， 则， 当且仅当，即，即，时，等号成立. 故答案为： 重难点题型6 实际应用 1．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差数列的简单应用、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式计算即得. 【详解】依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列， 则，， 所以这根竹子的装米量为（升）. 故选：B 2．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列的简单应用 【分析】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为，根据题意结合等差数列的通项求出其通项公式，进而可得出答案. 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故选:A 3．（2025·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（    ） A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差数列的简单应用 【分析】本题由题意可得数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，以2024年的天干和地支分别为首项，即可求解． 【详解】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列， 由于，故100年后天干为甲， 由于，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”， 所以2124年为甲申年． 故选：D 4．（2025·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列的简单应用、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可. 【详解】设第一个尺码为，公差为， 则， 则， 当时，， 故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为 码， 所有缺货尺码的和为码， 又因为缺货的一个尺寸为码， 则另外一个缺货尺寸码， 故选：C. 5．（2025·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为__________. 【答案】120 【难度】0.85 【知识点】等差数列的简单应用 【分析】根据题意一只鸡、一只狗､一只羊､一头驴的价格依次为，列出关于和的方程组，解出即可求出甲花费的钱数. 【详解】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列， 设该数列为，公差为， 则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为， 由题意得解得 故甲花费的钱数为. 故答案为：120. 6．（2024·北京大兴·三模）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列的简单应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】首先根据题意得到，然后结合题目所给范围求出的范围，即可求解. 【详解】依题意既是的倍数也是的倍数还是的倍数，也就是的倍数， 所以，即，令， ∴，又因为，所以共项. 故答案为： 7．（2025·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板________块． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列的简单应用、求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差为，，设每层有环，则，，根据等差数列前项和公式求出，再求出即可. 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是等差数列，且公差，， 设每层有环，则，， 所以，即， 即，解得或（舍去）， 所以，则， 即上层有扇形石板块. 故答案为：． 重难点题型7 数列求和-已知前n项和，求通项公式 1．（2024·四川成都·二模）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】由Sn求通项公式、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据作差即可得解； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【详解】（1）数列的前项和为， 当时， 当时， 所以， 又当时，也成立， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 设数列的前项和为， 则 . 2．记为各项均为正数的数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据之间的关系计算； （2）由（1）可知，然后使用裂项相消求和即可. 【详解】（1）由题可知：，当时，， 由①，当时，②； ①-②得：， 所以，即， 所以数列是以2为首项，2为公差得等差数列. 所以，即； （2）由（1）可知：， 所以， 所以， 则. 3．（2025·浙江金华·模拟预测）设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.65 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由题设结合即可求解； （2）先由（1）求出，进而求得，于是将问题转化成，再由即可得解. 【详解】（1）由题，， 所以当时， 当时，，整理得， 因为，所以，即， 所以数列是以为首项和公差的等差数列， 所以. （2）由（1），故， 所以， 所以 ， 所以不等式对任意正整数均成立对任意正整数均成立 对任意正整数均成立， 所以，又， 所以，所以满足题意的实数的取值范围为. 4．（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)若，求； (2)若数列是单调递增数列，求首项的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项、根据数列的单调性求参数 【分析】（1）根据递推公式可得，结合等比数列分析求解即可； （2）根据递推公式可得，再结合单调性分析求解即可. 【详解】（1）因为，则， 可得， 若，则， 可知是以首项为2，公比为3的等比数列， 则，所以. （2）因为， 当时，则； 当时，则， 两式相减可得，则， 若数列是单调递增数列，则，解得， 且，解得， 综上所述：首项的取值范围为. 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和公式为，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据的关系即可求解， （2）根据，利用累加法，结合错位相减即可化简求解. 【详解】（1）由可得时，， 故， 当时，也符合要求， 故， （2）由可得， 故时，，则， 相减可得， 故， 化简可得，故， 当时，也符合要求， 故 重难点题型8 数列求和-含有绝对值 1．已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【难度】0.66 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由为等差数列，可得，然后由可得答案； （2）由（1）讨论的正负性，然后由可得答案. 【详解】（1）因，则为首项为23，公差为的等差数列， 则. 又，则， 时，, 又满足，则； （2）由（1），当时，令，可得； . 则当时，； 当时，. 综上：. 2．已知在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求出数列的通项公式； （2）化简数列的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得， 所以，. （2）解：. 因此，. 3．已知数列的前项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由可得，从而可证明； （2）由（1）得，则，利用和与项的关系可得，由，解得，设表示数列的前项和，当时，，当时，，从而得到结果. 【详解】（1）因为，所以， 所以是首项为，公差为-1的等差数列. （2）由（1）得，则， 所以， 又符合上式，所以， 设表示数列的前项和， 由，解得，则 ①当时，； ②当时，， 故. 4．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解； （2）根据数列正项和负项的分界，讨论与的关系，求解. 【详解】（1）设数列的公差为， ∵，∴，∵，∴  ，∴公差为，∴， ∴ ； （2）由已知， 时，； 时，； 综上. 重难点题型9 综合应用 1．（2026·陕西·一模）记为等差数列的前项和，若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、条件等式求最值 【分析】设等差数列的公差为，由题知，，再令，，则，进而根据二次方程有解问题，结合判别式即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 因为， 设，则，解得， 令，，则， 令，则， 将代入得， 整理得，由题知该方程有解， 所以，即，解得， 所以，即的最大值为. 2．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列满足（），则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、求等差数列前n项和、分组（并项）法求和 【分析】分为偶数与奇数进行讨论，结合三角函数诱导公式可求出及，即可得解. 【详解】当为偶数时，， ， 故， 故； 当为奇数时，， ， 故， 故； 故. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选题）数列满足，，现将数列按如图规律填入三角形中，第一行一个，第二行两个，第三行三个…以此类推，设三角形第行数字之和为，则下列正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.42 【知识点】由递推关系式求通项公式、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】对于A，由题设可得，再结合，得到，进而可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，进而求解判断即可；对于B，结合题意可得在图中，前行共有个数字，前行共有个数字，设数列的前项和为，可得，进而由求解判断即可；对于C，先验证，时式子成立，再利用放缩得到，进而结合裂项相消法求解判断即可；对于D，先验证，时式子成立，再利用放缩得到，进而结合裂项相消法求解判断即可. 【详解】对于A，由，得， 两式相减得，， 又，，则， 所以数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列， 则数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，故A正确； 对于B，由题意，在图中，前行共有个数字， 则前行共有个数字， 设数列的前项和为，则， 所以，， 而满足上式，则，故B错误； 对于C，当时，；当时，； 当时，， 则 . 综上所述，，故C正确； 对于D，当时，；当时，； 当时，， 则 . 综上所述，，故D正确. 4．随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为______． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】等差数列的简单应用、分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、计算古典概型问题的概率 【分析】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能；丙投1次也有10种可能，所以甲、乙、丙依次投掷1次，由分步乘法原理可得所有记下数字的总情况数，再列举出等差数列的公差为0，1，2，3，4的所有情况，将公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为，，，的等差数列，可得出构成等差数列的可能情况数，根据古典概率公式计算可得选项. 【详解】甲投1次，记下数字有10种可能，乙投1次也有10种可能；丙投1次也有10种可能， 所以甲、乙、丙依次投掷1次，记下数字有种情况， 0~9这10个数字中选3个，能构成等差数列的情况如下： 公差为0的等差数列有：0，0，0；1，1，1；2，2，2；；9，9，9共10种情况； 公差为1的等差数列有：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9共8种情况； 公差为2的等差数列有：0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共6种情况； 公差为3的等差数列有：0，3，6；1，4，7；2，5，8；3，6，9共4种情况； 公差为4的等差数列有：0，4，8；1，5，9共2种情况； 公差为1，2，3，4的等差数列中的第1项和第3项的数字交换，分别构成公差为，，，的等差数列， 所以构成等差数列的可能情况有种， 所以若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是要细致地分类讨论，做到不重不漏列举出所有构成等差数列的情况，从而得解. 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 【答案】 【难度】0.22 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、数列新定义 【分析】由题意可得．根据，先确定等差数列的首项为，再利用相邻两项与在中的间隔数为，推出在内恰有个等差数列的项，从而确定等差数列的公差为，进而得到，最后求前项和． 【详解】由题意得，等比数列的首项和公比均为，所以. 因为，且，所以新数列的最小项为，从而等差数列的首项为． 设等差数列的公差为，则. 由题意可知，与在中的间隔数为． 也就是说，在与之间，除去右端点本身外，恰有个等差数列的项． 下面证明． 若，设大于的第一个等差数列的项为，则前一项不大于，所以. 于是. 这说明在内至少有个等差数列的项，与题意中恰有个矛盾．故. 若，因为可以取得足够大，所以可取正整数，使. 若内有个等差数列的项，设其中第一个为，则最后一个为. 又，所以，这与最后一个项应小于矛盾． 故. 综上，，所以. 此时把等差数列与等比数列合并，并把相同大小的项只保留中的项，所得新数列仍为. 因此数列前项和为. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5-1 等差数列 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 3．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 5．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 7．（2026·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前项和，若，，则__________． 8．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为_________． 9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 10．（2025·全国一卷·高考真题）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 重难点题型1 等差数列基本量的计算 等差数列基本运算的常见类型及解题策略： （1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想． （2）求通项．和是等差数列的两个基本元素． （3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． （4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． 【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷． 1．（2025·重庆·模拟预测）已知等差数列中，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·模拟预测）等差数列的前n项和为，且，，则（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（2024·江西上饶·一模）已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 4．（24-25高三上·湖南·阶段检测）记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A．21 B．19 C．12 D．42 5．（2024·湖北荆州·模拟预测）设等比数列的前项和为，且恰为和的等差中项，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·上海·三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则________． 7．（2024·湖北·一模）已知数列是等差数列，且其前项和为.若，则_____. 8．（24-25高三上·上海金山·期末）已知是等差数列的前项和，若，则的值为__________. 9．（2024·甘肃张掖·一模）设是等差数列的前项和，若，则____________． 10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知数列为等差数列，，则_____. 重难点题型2 等差数列的判断与证明 判断数列是等差数列的常用方法： （1）定义法：对任意是周一常数． （2）等差中项法：对任意，湍足． （3）通项公式法：对任意，都满足为常数）． （4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）． 1．（2024·甘肃张掖·一模）已知数列满足． (1)若，求证：为等差数列； (2)求数列的前项和． 2．（2024·吉林·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列为等差数列，并求通项； (2)求数列的前n项和. 3．（2024·海南·模拟预测）已知首项为1的数列的前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求数列的前项和. 4．已知各项均不为零的数列满足：. (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 重难点题型3 等差中项的应用 如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求am－n＋an＋m的值． 1．（23-24高三下·安徽芜湖·阶段检测）已知等差数列的前n项和为，且，，则=（    ） A．50 B．40 C．30 D．25 2．（2024·山东临沂·一模）已知等差数列的前项和为.若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 3．与的等差中项是______． 4．已知为等差数列，，，则_______． 5．（2025·全国·模拟预测）已知为等差数列的前n项和，，则______. 重难点题型4 等差数列前n项和的性质 已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和． （1），…也成等差数列，公差为． （2）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （3）若项数为偶数，则；；． （4）若项数为奇数，则；；． （5）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． 1．（24-25高三上·河南·期中）已知为等差数列的前项和，若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·河北邯郸·模拟预测）记为等差数列的前n项和，若，则（   ） A．45 B．90 C．180 D．240 4．（24-25高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）设等差数列的前项和为，已知，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 5．（2024·广东深圳·模拟预测）已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·贵州贵阳·阶段检测）（多选题）已知等差数列和等比数列的前项和分别为.和，且，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）（多选题）已知数列各项为正，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列为等差数列 C．数列是单调递增数列 D． 8．（2024·陕西榆林·三模）已知为等差数列的前项和，且，则________． 9．（2024·吉林长春·一模）已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则______. 10．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知为等差数列的前项和，若，则______. 11．（2024·湖南长沙·二模）已知数列的通项公式为: ，其前项和为 ，若成等比数列， 则 k=___________ 重难点题型5 等差数列的前n项和最值问题 公差为递增等差数列，有最小值； 公差为递减等差数列，有最大值； 公差为常数列． 特别地 若，则有最大值（所有正项或非负项之和）； 若，则有最小值（所有负项或非正项之和）． 1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，则的最大值为（    ） A．625 B．600 C．540 D．400 2．（2024·山东泰安·三模）已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·广东·阶段检测）已知为等差数列的前项和，公差为.若，则（    ） A． B． C． D．无最大值 4．（2024·内蒙古包头·三模）设为等差数列的前n项和，若，，则使的n的最大值为（    ） A．11 B．12 C．20 D．21 5．（2024·广东·二模）（多选题）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C．当时，取得最小值 D．记，则数列的前项和为 6．（24-25高三上·广东东莞·阶段检测）（多选题）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（    ） A．当最大 B．使得成立的最小自然数 C． D．中最小项为 7．（2024·安徽·模拟预测）已知正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为______________. 重难点题型6 实际应用 1．（2024·广东广州·模拟预测）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（   ） A．升 B．升 C．升 D．升 2．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 3．（2025·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（    ） A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年 4．（2025·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 5．（2025·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为__________. 6．（2024·北京大兴·三模）在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在的整数中，把被除余数为，被除余数为，被除余数也为的数，按照由小到大的顺序排列，得到数列，则数列的项数为______. 7．（2025·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)， 环绕天心石砌块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加块，下一层的第一环比上一层的最后一环多块，向外每环依次也增加块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 块，则上层有扇形石板________块． 重难点题型7 数列求和-已知前n项和，求通项公式 1．（2024·四川成都·二模）已知数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 2．记为各项均为正数的数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 3．（2025·浙江金华·模拟预测）设正项数列的前项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)若不等式对任意正整数均成立，求的取值范围. 4．（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知数列的前项和为，且. (1)若，求； (2)若数列是单调递增数列，求首项的取值范围. 5．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列的前项和公式为，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的通项公式. 重难点题型8 数列求和-含有绝对值 1．已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 2．已知在等差数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)设是数列的前项和，求. 3．已知数列的前项和为，. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和. 4．（2024·辽宁·模拟预测）等差数列的前项和为，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 重难点题型9 综合应用 1．（2026·陕西·一模）记为等差数列的前项和，若，则的最大值为（  ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列满足（），则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）（多选题）数列满足，，现将数列按如图规律填入三角形中，第一行一个，第二行两个，第三行三个…以此类推，设三角形第行数字之和为，则下列正确的为（     ） A． B． C． D． 4．随机数表是人们根据需要编制出来的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的，随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法．现有甲、乙、丙三位同学合作在一个正二十面体（如图）的各面写上0~9这10个数字（相对的两个面上的数字相同），这样就得到一个产生0~9的随机数的骰子．依次投掷这个骰子，并逐个记下朝上一面的数字，就能按顺序排成一个随机数表，若甲、乙、丙依次投掷一次，按顺序记下三个数，三个数恰好构成等差数列的概率为______． 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）定义：将等差数列和等比数列中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列，相同大小的项只保留中的项，其中等比数列中项在新数列中出现的“间隔数”（如：与之间的间隔数为）按从小到大顺序组成的数列为“间隔数列”，若公比和首项均为2的等比数列的“间隔数列”为等比数列本身，已知，则数列前项和为__________. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $