专题3-2 导数与函数的单调性专项训练（5重难点题型+高考真题）-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以导数与函数单调性关系为核心，通过真题与分类题型构建“概念-方法-应用”三层训练体系，强化逻辑推理与数学表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导函数与原函数关系|5题|单调性与导函数符号关系|从导函数图像特征逆向推导原函数性质| |求单调区间|6题|定义域→求导→解不等式步骤|落实导数应用的基础操作流程| |由单调性求参数范围|8题|恒成立/存在性/不单调问题转化|强化导数工具解决参数问题的逻辑| |不含参数讨论|4题|定义域优先与单调区间规范表示|巩固无参数情形下的单调性分析| |含参数讨论|10题（分3情形）|一次函数型/二次可分解/不可分解分类讨论|构建含参问题的层级化讨论框架|

专题3-2 导数与函数的单调性 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【难度】0.45 【知识点】已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 3．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求函数解析式、函数奇偶性的应用、求已知函数的极值点 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、判断零点所在的区间 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数极值点的辨析 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值点，故D错误. 故选：. 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据极值求参数 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 8．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】 【难度】0.56 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、由正弦（型）函数的奇偶性求参数、根据极值点求参数 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 9．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求函数值、导数的运算法则、根据极值点求参数 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意； 所以. 故答案为：. 10．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 【答案】(1)、 (2)有两个极值点 (3)交点个数为 【难度】0.32 【知识点】已知切线（斜率）求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）借助导数的几何意义可得、，计算即可得解； （2）求导得到后，再利用导数研究函数单调性，即可得变号零点个数，即可得极值点个数； （3）构造函数，利用导数计算可得，再分及进行讨论，当，结合（2）中所得可得在上单调递减，结合零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数；当时，可得有两个实根，分别设为、，且，则得单调性，计算可得、，再利用零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数. 【详解】（1），则， ， 所以，， 又，解得； （2）由（1）得，则， 令，则， 令，解得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又， ，， 故存在，使得，且有， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故有两个极值点； （3）令，则， 令，则； 若，则恒成立（不恒为零）， 故在上单调递减，又， 当时，，故在上有唯一零点， 即与有唯一交点； 若时，有两个实根， 设这两个实根分别为、，且，则、， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故为的极小值，为的极大值，且， 由，则， 则 ， 由，则， 则有、， 故，则， 又时，，故在上存在唯一零点， 即与有唯一交点； 综上所述：与交点个数为. 11．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. (2)（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 12．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.15 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、解余弦不等式 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 重难点题型1 导函数与原函数的关系 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足） 1．观察导函数的部分图像，则解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、导数的运算法则、根据函数图象选择解析式 【详解】由图易知，导函数的图象关于原点对称，为奇函数，即， 同时，当时，；当时，. 对于A，(定义域为)，， ，即为偶函数，故A错误； 对于B，(定义域为)，， ，即为偶函数，故B错误； 对于C，(定义域为)，， ，即为奇函数， 当时，；当时，，故C正确； 对于D，(定义域为)，， 当时，；当时，，故D错误. 2．（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.7 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据函数的单调性与导数的关系、以及函数下降速度的快慢判断即可. 【详解】当时，且递减，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越快，则图象越来越“陡”， 当时，且递增，则函数在上单调递减， 且函数图象下降的速度越来越慢，则图象越来越“平缓”，D选项符合题意. 3．（2026·云南昆明·模拟预测）函数的图象如图所示，为的导函数，下列排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据的图象判断的符号以及单调性，由此确定正确答案. 【详解】根据的图象可知，在区间上单调递增， 且函数增长的速度逐渐减慢，切线斜率递减. 所以，且单调递减， 所以. 4．（24-25高三·全国·一轮复习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据原函数图象，利用原函数递增；原函数递减可判断结果． 【详解】由原函数图象可得， 当时，原函数单调递增，导函数恒为正值； 当时，函数在上是先减后增再减，其导数值的符号为负、正、负； 结合选项可得，只有A选项满足. 故选：A． 5．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的符号判断函数在相应区间上的单调性，可判断函数图象的形状. 【详解】由题意可知，当和时，导函数，函数单调递减； 当时，导函数，函数单调递增，故函数的图象如图D． 故选：D 重难点题型2 求单调区间 求函数的单调区间的步骤如下： （1）求的定义域 （2）求出． （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线． （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开． 1．（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 2．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用换元法求，结合导数可求单调增区间. 【详解】令，则，得，即， 则函数定义域为R且，所以函数在R上单调递增. 函数的单调递增区间为R. 故选：B. 3．（2025·陕西西安·一模）已知函数，则（    ） A．的单调递增区间为 B．的最大值为4 C．有两个零点 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、比较函数值的大小关系 【分析】利用导数分析函数的单调性即可判断AB；结合零点存在性定理及函数的单调性判断C；由，进而结合函数的单调性判断D. 【详解】由，则， 令，得，令，得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故A错误； 而，故B错误； 由，且时，， 根据零点存在性定理及函数的单调性可知，只有一个零点，故C错误； 由， 因为函数在上单调递减，且， 所以，故D正确. 故选：D. 4．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求出函数的定义域，解不等式，即可得出函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，则， 因为，由，可得， 故函数的单调递增区间为. 故选：A. 5．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 6．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、解正弦不等式 【详解】由题意得， 因，则， 由 可得， 因正弦函数在上单调递增，则，即. 故在上单调递减的区间为． 重难点题型3 由函数的单调性，求参数范围 （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等． （2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解． 1．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数是增函数，得，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在R上单调递增，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 2．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】在上单调递增，可得在上恒成立，得到，令，则只需（），利用导数求出的单调性，利用单调性得到，从而得到的取值范围. 【详解】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 3．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】首先根据，利用参变分离转化为恒成立，转化为求函数的最值问题. 【详解】由，得在区间上恒成立， 设，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，则，即，则的取值范围是. 4．（25-26高二下·北京西城·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】结合导数将函数单调问题转化为恒成立问题，求出，再结合充分不必要条件的定义判断即可. 【详解】由题意得，则， 若在区间上单调递增，则在上恒成立， 化简得在上恒成立，令， 由二次函数性质得在上单调递增， 而，则，得到， 可得“”是“”的充分而不必要条件，故A正确. 5．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 【答案】/ 【难度】0.45 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】 先对进行求导，令，再分当时不符合题意和时通过求的导数求出其最小值，最后根据题意列出，求解即可. 【详解】，令，， ① 当时，，在上单调递增， 又，所以当时，；当时，， 所以的单调增区间为，单调减区间为，不符合题意； ② 当时，令，解得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，有最小值， 所以当在上单调递增时，有， 令，，得， 所以时，；时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 又要求，所以，即. 6．（2026·河北承德·一模）已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【详解】函数的定义域为， 由题可知恒成立，故， 当时，，当且仅当时等号成立，故． 7．（2026·广东广州·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，从而得到在区间内恒成立，即，计算得解. 【详解】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， 在区间上恒成立， ，在区间内恒成立， ，， 的取值范围为. 8．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 【答案】 1 【难度】0.55 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】利用导数判断出函数在上单调递增时，再由二次函数性质以及分段函数端点处函数值的大小求出结果. 【详解】设， 则在上恒成立， 则需要与在上始终保持符号相同，所以， 设，则对称轴，得， 且，即，得， 综上，实数a的取值范围为． 重难点题型4 不含参数单调性讨论 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 1．（2026·山西运城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，无单调递减区间 (2) 【难度】0.54 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）利用二次求导，分析函数的单调性，可得函数的单调区间. （2）设，问题转化为在上恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，. 设，则. 由，由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以，即在上恒成立. 所以在上单调递增，无单调递减区间. （2）设， 问题转化为在上恒成立，求的取值范围. 因为，， 由，可得. 此时，，. 设，. 则在恒成立. 所以在单调递增. 所以，即，恒成立. 所以在上单调递增. 所以在上恒成立. 故为所求. 即实数的取值范围为. 2．（2026·河北邢台·二模）已知函数 (1)求f(x)的单调区间; (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)证明: 【答案】(1)的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) (3)证明：由(1)知当时，，即； 当时，，即. 令，则. ①当时，，所以. 令，则 在上恒成立， 所以在上单调递减，所以当时，，所以. ②当时，， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，所以当时，， 故在上单调递增，所以当时，. 综上，. 【难度】0.34 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数、利用导数证明不等式 【分析】（1）对求导得到，再构造辅助函数判断导函数恒增且仅在处为零，依据导数正负划分出函数递减与递增区间. （2）先化简解析式，由在单调递增得导函数在区间上恒成立，对导数式子分离参数，将问题转化为小于等于分式在区间上的最小值，再利用已知放缩求出该分式最小值为2，进而得到实数的取值范围是. （3）构造目标函数，分与两段讨论，每段都构造新函数利用一阶导数判断单调性，结合放缩与函数最值，分别证明两段区间内函数值恒大于等于零，完成不等式证明. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 令， 则，所以在上单调递增， 又，所以当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）已知，则 化简得，在上单调递增. 即在上恒成立. 求导得， 即在上恒成立. 由（1）知当时，，当且仅当时等号成立， 故当时，，当且仅当时等号成立， 所以当时，的最小值为， 故，即实数的取值范围为. （3）略 3．（2026·河北·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的单调递减区间； (2)若在区间上，为增函数，求的取值范围； (3)若时，的最小值为0，求． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数、已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）由题已知函数，先求导函数，再令，又解出对应的不等式的解集，可得单调减区间； （2）由为增函数得出在上恒成立，在构造函数，求出导函数得出单调性求出在上的最大值，即可求出实数的取值范围； （3）先求出导函数，再构造函数，应用导函数得出单调性结合分类讨论计算求解. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 当时，，则， 令，即，解得，所以 所以函数的单调递减区间为； （2）因为在区间上，为增函数， 且， 所以在区间上，恒成立， ， 设，则， 是在上是减函数，，即， 所以在上单调递减， ，即的取值范围是. （3）当时，因为，所以， 设，则， 单调递减，单调递增， 又，所以， 又，所以，使得， 当单调递增，； 当单调递减，； 当单调递增，； 当时，在上取最小值为. 当时，因为，不合题意； 当时，因为，不合题意； 综上，. 4．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 【答案】(1)上单调递增区间为单调递减区间为 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）求导，令即可求解； （2）求导可得，设，则，解之即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令或，或， 在上单调递增，在上单调递减. （2）， 设， 注意到，要使在上不单调， 只需满足，解得， 即实数的取值范围为. 重难点题型5 含有参数单调性讨论 情形一：一次函数型 1．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增；在上单调递减； (2)； (3)证明：当时，， 要证明对任意的，恒成立， 即证明，即， 令，则， 令，得， 所以当时，单调递减；当时，单调递增； 所以， 所以，即， 令， 则有， 又因为， 所以， 所以对任意的，恒成立． 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论求解即可； （2）首先求得切线的方程为，设直线与函数相切于点，由题意可得且，求解即可； （3）要证明原不等式在上恒成立，即证明恒成立，先证明，从而可得，再令，借助于放缩法即可得证明. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，在上单调递增； 当时，令，得， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增；在上单调递减； （2）因为， 所以，， 所以， 所以切线的方程为， 设直线：与函数相切于点， 因为， 所以且， 解得， 所以； （3）略. 2．（2026·河北张家口·三模）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)求的零点个数； (3)当时，记与的各零点之和为T，证明：． 参考数据：，． 【答案】(1)答案见解析 (2)一个 (3)证明见解析 【难度】0.19 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求导得，再根据判别式，分，两种情况讨论求解即可； （2）研究函数得单调性，结合零点存在性定理求解即可； （3）根据题意得，进而结合零点存在性定理得，，是函数的零点且，故，再结合，单调性即可证明. 【详解】（1）因为，， 所以， 对于，， 当时，，，单调递增； 当时，， 由，得， 则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，， 所以， 设，， 则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 易知是增函数， 当时，； 所以当时，，单调递增， 又，， 由零点存在定理可知存在，使得， 所以只有一个零点. （3）因为， 所以，， 可知若存在零点，则也为其零点. 由，得， 因为，， 所以在上有唯一零点. 结合（2）可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以， 即， 所以得证. 3．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. (2) 【难度】0.43 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数与函数的单调性的关系，分和两种情况讨论，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与有两个交点，先求出的单调区间，进而求作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】（1）易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，得到，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）令，得到，即， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，且，的图象如图所示， 因为有两个零点，则与有两个交点， 所以，即， 所以的取值范围为. 4．（2026·江苏·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【难度】0.39 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）直接求导，根据导函数的形式对进行和讨论，即可求出函数的单调区间； （2）易判断是的一个零点，结合（1）中函数的单调区间，及两个零点满足，对进行讨论，利用单调性即可求出的取值范围. 【详解】（1）解：由题意知函数定义域为，则， 当时，，则，所以在单调递增，即单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，令，则， 当时，，则在上单调递减，所以单调递减区间为， 当，，则在上单调递增，所以单调递增区间为， 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由，所以是的一个零点， 若有两个不同的零点，结合（1）的单调性可知， 当时，在单调递增，最多仅有一个零点，不合题意； 当时，，令，解得，则在处取极小值， 即最小值，为，此时只有一个零点，不合题意； 当且时，由（1）知的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取极小值，即最小值，为， 则当时，函数才会有两个不同的零点，又是一个零点， 设另一个零点为，由可得，即， 当时，最小值点，两个零点分别为1和，要满足， 只需，即，解得， 结合，则； 当时，最小值点，两个零点分别为和1，要满足， 只需，，解得， 结合，则， 综上，的取值范围为 5．（2026·贵州黔东南·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【难度】0.52 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 情形二：二次函数型（可分解因式） 1．（2026·重庆万州·三模）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论的单调性; (3)若，求正数a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时： 在上单调递减；在上单调递增；当时： 在上单调递减；在上单调递增；当时：在上单调递增。当时：在上单调递减；在上单调递增； (3) 【难度】0.52 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数来求函数在某点处的切线方程即可； （2）利用分类讨论思想，结合导数的正负来回答函数的单调性； （3）利用函数的单调性求最值来解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）由解得， 则，求导得：， 则，由点斜式得切线方程：， 整理得：； （2）求导得：， 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当，即时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； 当时：，故在上单调递增。 当时： 由，解得，由，解得， 所以在上单调递减；在上单调递增； （3）已知，由(2)结论：在上单调递减；在上单调递增； 故最小值为，要使恒成立，只需， 则， 解得,即正数a的取值范围是. 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【难度】0.53 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 3．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 【答案】(1)当时，函数在区间上单调递增； 当 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． (2)由（1）可知，当时， 函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减． 所以， 要证，需证． 即需证恒成立， 令， 则 所以函数在区间单调递增， 故， 所以，恒成立， 所以当时，． 【难度】0.65 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数求函数（含参）的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出，当时，根据的形式可判断，当 时，同样依据的形式可判断在、上符号，从而得到单调性区间； （2）根据（1）中的单调性得到，根据恒成立得在上恒成立，，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立. 【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为， 导数， 当时，，； 当 时，，；，； 综上，当时，函数在区间上单调递增； 当 时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减． （2）略 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) ①当时，恒成立，故在上递增； ②当时，在上递增，在上递减； ③当时，在上递减． (2) 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）利用导数分析单调性可得； （2）结合（1）的结果，转化问题为，再构造函数，求导后分离常数再结合换元法和基本不等式可得. 【详解】（1）， ①当时，恒成立，故在上递增； ②当时，在上递增，在上递减； ③当时，在上递减． （2）因为在定义域内单调递减，所以． 不妨设，那么有， 于是不等式等价于，， 设，则，即在上递减， 故对恒成立，也即对恒成立， 令，则，故， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 情形三：二次函数型（不可分解因式） 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，，，且，求实数a的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上递减，在上递增. (2) 【难度】0.23 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出的定义域，求出，利用基本不等式得到，故分别按照和这两种情况讨论求解，当时，令，即，求出此方程的两个根，；利用韦达定理得到，解出和的解，从而得到的单调性. （2）设有三个零点，，，而.求出得到，，满足，，，求出的单调性，求出，，故由零点存在性定理得到当时，必存在三个不同实数，，，且，使得，从而得到的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，， ，当且仅当时，即时，等号成立， 故当时，， 则，所以在上单调递增； 当时，令，即， 则的两个根为，； 又，则， 则的解为或，的解为， 则在上单调递增，在上递减，在上递增； 综上所述： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增， 在上递减，在上递增. （2）设有三个零点，，，而. 当且时，由，得到：； 故，，又因为， 故，，满足，，， 所以有两个不等实根， 即在有两个不同的实数根，，， 则，得到，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 取，所以， 由，设，， 设函数的导函数为， 则， 则在上递减，故，故在上递减. 故，故， 而，， 取时，， 故由零点存在性定理可知， 当时，必存在三个不同实数，，， 且，使得.故. 2．（2026·天津和平·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. (3) 【难度】0.3 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）求出函数的定义域，求出，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）参变量分离得，令，所以，构造函数，，利用导数求出该函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， ，则， 所以当时，曲线在处的切线方程为， 即. （2）函数的定义域为， 则， 当时，对任意的，恒成立， 此时函数的增区间为，无减区间； 当时，对于函数，. 若时，即当时，对任意的，， 此时函数的增区间为，无减区间； 若时，即当时，由可得， 由可得或， 此时函数的减区间为， 增区间为、. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （3）因为不等式对任意恒成立，则， 因为，则，所以，则， 即， 令，所以， 令，，则， 令，其中， 则， 由（2）知，当时，函数在上为增函数， 因为，则， 所以， 即函数在上为增函数， 此时，则， 所以函数在上单调递增，则，所以， 故实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3-2 导数与函数的单调性 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 2．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 3．（2025·全国二卷·高考真题）（多选题）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B．当时， C．当且仅当 D．是的极大值点 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 5．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选题）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 8．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 9．（2025·全国二卷·高考真题）若是函数的极值点，则___________ 10．（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求，的值； (2)求的极值点个数； (3)求与交点个数． 11．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 12．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 重难点题型1 导函数与原函数的关系 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足） 1．观察导函数的部分图像，则解析式可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·三模）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中最有可能为图象的是（   ）    A．     B．   C．   D．   3．（2026·云南昆明·模拟预测）函数的图象如图所示，为的导函数，下列排序正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·全国·一轮复习）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 5．已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（    ） A． B． C． D． 重难点题型2 求单调区间 求函数的单调区间的步骤如下： （1）求的定义域 （2）求出． （3）令，求出其全部根，把全部的根在轴上标出，穿针引线． （4）在定义域内，令，解出的取值范围，得函数的单调递增区间；令，解出的取值范围，得函数的单调递减区间．若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“”、“或”连接，而应用“和”、“，”隔开． 1．（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江西宜春·期末）已知，则函数的单调递增区间为（    ） A． B．R C． D． 3．（2025·陕西西安·一模）已知函数，则（    ） A．的单调递增区间为 B．的最大值为4 C．有两个零点 D． 4．（2025·四川·模拟预测）已知函数，则的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 5．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 6．（2026·云南红河·模拟预测）已知函数，则在上单调递减的区间为_____ 重难点题型3 由函数的单调性，求参数范围 （1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为导函数恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析导函数的形式及图像特点，如一次函数最值落在端点，开口向上的抛物线最大值落在端点，开口向下的抛物线最小值落在端点等． （2）已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． （3）已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解． 1．（25-26高三上·云南曲靖·阶段检测）已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北邢台·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·北京西城·期中）“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数是上的单调递增函数，则的值为______. 6．（2026·河北承德·一模）已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 7．（2026·广东广州·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 8．（25-26高三下·北京海淀·开学考试）若函数在区间上单调递增，则实数m的值为________，实数a的取值范围为________． 重难点题型4 不含参数单调性讨论 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 1．（2026·山西运城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围． 2．（2026·河北邢台·二模）已知函数 (1)求f(x)的单调区间; (2)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； (3)证明: 3．（2026·河北·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的单调递减区间； (2)若在区间上，为增函数，求的取值范围； (3)若时，的最小值为0，求． 4．（24-25高三上·浙江·期末）已知函数 (1)若求的单调区间; (2)若在上不单调，求的取值范围. 重难点题型5 含有参数单调性讨论 情形一：一次函数型 1．（2026·海南三亚·一模）已知函数（），． (1)讨论函数的单调性； (2)若的图像在处的切线与的图像相切，求实数的值； (3)当时，证明：对任意的，恒成立． 2．（2026·河北张家口·三模）已知函数，，． (1)讨论的单调性； (2)求的零点个数； (3)当时，记与的各零点之和为T，证明：． 参考数据：，． 3．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 4．（2026·江苏·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 5．（2026·贵州黔东南·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 情形二：二次函数型（可分解因式） 1．（2026·重庆万州·三模）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程; (2)讨论的单调性; (3)若，求正数a的取值范围. 2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 3．（2026·黑龙江·一模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，求证：． 4．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 情形三：二次函数型（不可分解因式） 1．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若有三个零点，，，且，求实数a的取值范围. 2．（2026·天津和平·三模）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程： (2)讨论函数的单调性； (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $