课时训练(39) 第6章 第2节 等差数列（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

课时训练（39）　等差数列 一、单选题 1．(2025·长沙开学考试)等差数列2，0，－2，－4，…，则－48是这个数列的第几项(　　) A．24 B．25 C．26 D．27 C　解析：由等差数列前几项可得，该等差数列首项为2，公差为－2，则该等差数列通项公式为2＋(n－1)×(－2)＝4－2n.令－48＝4－2n，则－48是这个数列的第26项． 2．(2025·南宁开学考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5＋a9＝14，a2＝－3，则S8＝(　　) A．－7 B．7 C．－16 D．16 D　解析：因为数列{an}为等差数列，所以a5＋a9＝2a7＝14，所以a7＝7，所以S8＝＝.又a2＝－3，所以S8＝16. 3．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则立夏当日日影长为(　　) A．16.5尺 B．13尺 C．3.5尺 D．2.5尺 D　解析：设十二节气自冬至日起的日影长构成等差数列{an}，则立春当日日影长为a4＝9.5尺，春分当日日影长为a7＝6尺，所以立夏当日日影长为a10＝2a7－a4＝2.5尺． 4．(2025·南京开学考试)已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn.若S3＝6，S6＝3，则S9＝(　　) A．－18 B．－9 C．9 D．18 B　解析：由等差数列的性质可知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以(S9－S6)＋S3＝2(S6－S3)，则S9＝3S6－3S3＝3×3－3×6＝－9. 5．(2025·上海开学考试)已知等差数列{an}中，|a6|＝|a15|，且公差d<0，则其前n项和取得最大值时n的值为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 C　解析：因为|a6|＝|a15|，且公差d<0，故a6>0>a15，a6＋a15＝0，所以a10＋a11＝a6＋a15＝0，则a10>0，a11<0，故等差数列{an}中，前10项为正数，后面都为负数，故前n项和取得最大值时n的值为10. 6．(2025·邯郸开学考试)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且＝，则＝(　　) A．3 B．2 C． D． B　解析：＝＝＝，所以＝2. 二、多选题 7．等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的是(　　) A．a7 B．a8 C．S15 D．S16 BC　解析：由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，则a8为定值，S15＝＝15a8为定值，但S16＝＝8(a8＋a9)不是定值． 8．(2025·昆明模拟)数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝kn2－2n(k∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．{an}为等差数列 B．{an}不可能为常数列 C．若{an}为递增数列，则k>0 D．若{Sn}为递增数列，则k>1 AC　解析：当n＝1时，a1＝S1＝k－2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝kn2－2n－[k(n－1)2－2(n－1)]＝2kn－(k＋2)，显然n＝1时，上式也成立，所以an＝2kn－(k＋2).对于A，因为an－an－1＝2kn－(k＋2)－[2k(n－1)－(k＋2)]＝2k，所以{an}是以2k为公差的等差数列，A正确；对于B，由上可知，当k＝0时，{an}为常数列，B错误；对于C，若{an}为递增数列，则公差2k>0，即k>0，C正确；对于D，若{Sn}为递增数列，由函数性质可知解得k>，D错误． 三、填空题 9．(2025·大理开学考试)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7＋a11＋a12＝6，则S19＝________． 答案：38　解析：因为数列{an}为等差数列，由等差数列下标和性质得a7＋a11＋a12＝3a10＝6，解得a10＝2，而S19＝(a1＋a19)＝×2a10＝19a10＝38. 10．在等差数列{an}中，a2＝，a3＋a4＝4，设bn＝[an]，[x]表示不超过x的最大整数，如[0.2]＝0，[3.5]＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝________． 答案：10　解析：若{an}的公差为d，则a3＋a4＝2a2＋3d＝＋3d＝4，即d＝，所以an＝a2＋(n－2)d＝＋n，故a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，a6＝3，所以b1＝b2＝b3＝1，b4＝b5＝2，b6＝3，则数列{bn}的前6项和S6＝10. 四、解答题 11．(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和．已知＋n＝2an＋1. (1)证明：{an}是等差数列； (2)若a4，a7，a9成等比数列，求Sn的最小值． (1)证明：由＋n＝2an＋1， 得2Sn＋n2＝2ann＋n　①， 所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)　②， ②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1， 化简得an＋1－an＝1， 所以数列{an}是公差为1的等差数列． (2)解：由(1)知数列{an}的公差为1. 由a4，a7，a9成等比数列，得a＝a4a9， 即(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12. 所以Sn＝－12n＋＝ ＝(n－)2－， 所以当n＝12或13时，Sn取得最小值，最小值为－78. 12．(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则(　　) A．a9＝17 B．a10＝18 C．S9＝81 D．S10＝91 BD　解析：∵对于任意n＞1，n∈N*，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2，∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2.又a1＝1，a2＝2，则a9＝2＋7×2＝16，a10＝2＋8×2＝18，S9＝1＋8×2＋×2＝73，S10＝1＋9×2＋×2＝91. 13．在等差数列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此数列前10项和S10＝36，前18项和S18＝12，则数列{|an|}的前18项和T18＝________． 答案：60　解析：由a1>0，a10·a11<0知d<0，且a10>0，a11<0，所以T18＝a1＋a2＋…＋a10－a11－a12－…－a18＝2S10－S18＝60. 14．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数． (1)当a2＝－1时，求λ及a3的值； (2)数列{an}是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，请说明理由． 解：(1)因为an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，且a1＝1， 所以当a2＝－1时，－1＝2－λ，解得λ＝3， 所以a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3. (2)数列{an}不可能为等差数列．理由如下： 由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an， 得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)·(2－λ)， 若存在常数λ，使{an}为等差数列， 则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3， 于是a2－a1＝1－λ＝－2， a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24， 这与{an}为等差数列矛盾， 所以对于任意常数λ，{an}都不可能是等差数列． 15．(2023·新课标Ⅰ卷)设等差数列{an}的公差为d，且d>1.令bn＝，记Sn，Tn分别为数列{an}，{bn}的前n项和． (1)若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d. 解：(1)因为3a2＝3a1＋a3，所以3(a2－a1)＝a1＋2d， 所以3d＝a1＋2d，所以a1＝d， 所以an＝nd. 因为bn＝，所以bn＝＝， 所以S3＝＝＝6d，T3＝b1＋b2＋b3＝＋＋＝. 因为S3＋T3＝21， 所以6d＋＝21，解得d＝3或d＝. 因为d>1，所以d＝3， 所以{an}的通项公式为an＝3n. (2)因为bn＝，且{bn}为等差数列， 所以2b2＝b1＋b3，即2×＝＋， 所以－＝，所以a－3a1d＋2d2＝0， 解得a1＝d或a1＝2d. ①当a1＝d时，an＝nd，所以bn＝＝＝， S99＝＝＝99×50d， T99＝＝＝. 因为S99－T99＝99， 所以99×50d－＝99， 即50d2－d－51＝0， 解得d＝或d＝－1(舍去). ②当a1＝2d时，an＝(n＋1)d，所以bn＝＝＝， S99＝＝＝99×51d， T99＝＝＝. 因为S99－T99＝99， 所以99×51d－＝99， 即51d2－d－50＝0， 解得d＝－(舍去)或d＝1(舍去). 综上所述，d＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$