课时作业38 -4.5.2用二分法求方程的近似解-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二分法核心概念与应用，通过基础辨析、方法操作到综合探究的三层设计，实现从概念理解到问题解决的能力进阶，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二分法定义、适用条件、区间判断|选择1-6题辨析概念，填空11-12题强化区间划分原理，夯实数学抽象基础| |进阶层|二分法步骤、精确度计算|选择7-10题训练多次二分操作，填空13-14题结合函数零点计算，提升数学运算能力| |综合层|实际应用与证明|解答16-20题涉及方程近似解、函数性质证明及假币问题，发展逻辑推理与数学建模素养|

课时作业38　用二分法求方程的近似解 一、选择题 1．下面关于二分法的叙述中，正确的是(　　) A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 2．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　) A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3 C．f(x)＝x2＋2 x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1 3．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 4．(多选)在用“二分法”求函数f(x)的零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A． B．[－2，1] C． D． 5．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，(1，)内，则与f(0)符号相同的是(　　) A．f(1) B．f(2) C．f() D．f(4) 6．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(－1，1) D．[－1，1] 7．已知函数f(x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)在区间内一定有零点 B．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是 C．函数f(x)在内无零点 D．函数f(x)在区间或内有零点 8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375) ＝－0.260 f(1.437 5) ＝0.162 f(1.406 25) ＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为(　　) A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 9．(多选题)某同学求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084 f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066 则方程lnx＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　) A．2.52 B．2.56 C．2.66 D．2.75 10．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为(　　) A. B. C. D. 二、填空题 11．已知图象是连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)内有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，那么应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________． 12．“二分法”是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求的近似值时，构造的函数是________，选定的初始区间是________(答案不唯一，写出一个即可). 13．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由函数零点存在定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝ . 14．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现这枚假币． 15．(1)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝，那么下一个有根的区间是 . (2)已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为 . 三、解答题 16．求方程lgx＝x－1的近似解．(精确度为0.1) 17．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根． 18．用二分法求方程ln (2x＋6)＋2＝3x的解的近似值时，令f(x)＝ln (2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9 由表中的数据，求方程ln (2x＋6)＋2＝3x的一个近似解．(精确度为0.1) 19．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1) 20．已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)内有一个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)内的一个解． 课时作业38　用二分法求方程的近似解 （答案） 一、选择题 1．下面关于二分法的叙述中，正确的是(　　) A.用二分法可求所有函数零点的近似值 B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 解析：用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故选项D错误，故选B. 答案：B 2．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　) A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3 C．f(x)＝x2＋2 x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1 解析：因为f(x)＝x2＋2 x＋2＝(x＋)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点． 答案：C 3．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：设f(x)＝log3x－(5－x)，因为f(3)＝－1＜0，f(4)＝log34－1＞0，所以f(3)·f(4)＜0，由零点存在定理可知函数f(x)在区间(3，4)上至少存在一个零点，故方程log3x＝5－x的近似解可取区间(3，4).故选D. 答案：D 4．(多选)在用“二分法”求函数f(x)的零点近似值时，第一次所取的区间是[－2，4]，则第三次所取的区间可能是(　　) A． B．[－2，1] C． D． 解析：因为第一次所取的区间是[－2，4]，所以第二次所取的区间可能为[－2，1]，[1，4]. 所以第三次所取的区间可能为，，，，故选ACD. 答案：ACD 5．已知函数f(x)是R上的单调函数，且f(x)的零点同时在区间(0，4)，(0，2)，(1，2)，(1，)内，则与f(0)符号相同的是(　　) A．f(1) B．f(2) C．f() D．f(4) 解析：零点在(0，4)内，则有f(0)·f(4)<0，不妨设f(0)>0，f(4)<0，取中点2； 零点在(0，2)内，则有f(0)·f(2)<0，则f(0)>0，f(2)<0，取中点1；零点在(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，则f(1)>0，f(2)<0，取中点；零点在(1，)内，则有f(1)·f()<0，则f(1)>0，f()<0.所以与f(0)符号相同的是f(1). 答案：A 6．函数y＝x2＋2px＋1的零点一个大于1，一个小于1，则p的取值范围是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) C．(－1，1) D．[－1，1] 解析：记f(x)＝x2＋2px＋1，则函数f(x)的图象开口向上，当f(x)的零点一个大于1，一个小于1时，即f(x)与x轴的交点一个在点(1，0)的左方，另一个在点(1，0)的右方，∴必有f(1)<0，即12＋2p＋1<0. ∴p<－1.∴p的取值范围为(－∞，－1). 答案：A 7．已知函数f(x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)在区间内一定有零点 B．函数f(x)在区间或内有零点，或零点是 C．函数f(x)在内无零点 D．函数f(x)在区间或内有零点 解析：根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在或中或零点是. 答案：B. 8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)＝－0.984 f(1.375) ＝－0.260 f(1.437 5) ＝0.162 f(1.406 25) ＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为(　　) A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 解析：依据题意，因为f(1.375)＝－0.260， 且f(1.437 5)＝0.162，故可取[1.375,1.437 5]内任一数值作为近似解．又由题意，近似解精确到0.1， 故方程的一个近似解为1.4，故选C. 9．(多选题)某同学求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： f(2)≈－1.307 f(3)≈1.099 f(2.5)≈－0.084 f(2.75)≈0.512 f(2.625)≈0.215 f(2.562 5)≈0.066 则方程lnx＋2x－6＝0的近似解(精确度为0.1)可取为(　　) A．2.52 B．2.56 C．2.66 D．2.75 解析：由表格可知方程ln x＋2x－6＝0的近似解在(2.5,2.562 5)内，因此选项A中2.52符合，选项B中2.56也符合，故选AB. 10．函数f(x)＝log3x－在区间[1,3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为(　　) A. B. C. D. 二、填空题 11．已知图象是连续不断的函数y＝f(x)在区间(0，0.1)内有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，那么应将区间(0，0.1)等分的次数至少为________． 解析：设等分的最少次数为n，则<0.01，得2n>10，故n的最小值为4. 答案：4 12．“二分法”是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求的近似值时，构造的函数是________，选定的初始区间是________(答案不唯一，写出一个即可). 解析：由于是方程x2－17＝0的一个根，故构造函数f(x)＝x2－17，根据函数零点存在定理，可以选区间[4，5]. 答案：f(x)＝x2－17　[4，5] 13．已知二次函数f(x)＝x2－x－6在区间[1,4]上的图象是一条连续的曲线，且f(1)＝－6<0，f(4)＝6>0.由函数零点存在定理可知函数在[1,4]内有零点．用二分法求解时，取(1,4)的中点a，则f(a)＝ . 解析：(1,4)的中点为2.5. f(2.5)＝2.52－2.5－6＝－2.25. 答案：－2.25. 14．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称 次就可以发现这枚假币． 解析：将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那13枚金币里面；从这13枚金币中拿出1枚，然后将剩下的12枚金币平均分成两份，放在天平上，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚；若不平衡，则假币一定在质量小的那6枚金币里面；将这6枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币一定在质量小的那3枚金币里面；从这3枚金币中任拿出2枚放在天平上，若天平平衡，则剩下的那一枚即是假币；若不平衡，则质量小的那一枚即是假币．综上可知，最多称4次就可以发现这枚假币． 答案：4. 15．(1)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝，那么下一个有根的区间是 . (2)已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为 . 解析：(1)令f(x)＝x3－2x－5.因为f(2)＝23－4－5＝－1<0，f＝3－5－5＝>0，f(3)＝33－11＝16>0，故下一个有根区间为. (2)设最多需要的次数为n，f(x)的零点所在区间的长度为1，则<0.01，即2n>100，当n＝6时，26＝64<100，当n＝7时，27＝128>100，∴最多需要的次数是7. 答案：；7. 三、解答题 16．求方程lgx＝x－1的近似解．(精确度为0.1) 解：如图所示，由函数y＝lgx和y＝x －1的图象可知，方程lgx＝x－1有唯一实数解，且在区间(0,1)内． 设f(x)＝lgx－x＋1，f(1)＝>0，用计算器计算，列表如下： 区间 中点的值 中点函数近似值 区间长度 (0,1) 0.5 －0.008 1 1 (0.5,1) 0.75 0.280 5 0.5 (0.5,0.75) 0.625 0.147 5 0.25 (0.5,0.625) 0.562 5 0.073 0 0.125 (0.5,0.562 5) 0.531 25 0.033 3 0.062 5 由于区间(0.5,0.562 5)的长度为0.062 5<0.1，所以原方程的近似解可取为0.562 5. 17．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根． 证明：∵f(1)>0，∴f(1)＝3a＋2b＋c>0， 即3(a＋b＋c)－b－2c>0. ∵a＋b＋c＝0， ∴a＝－b－c，－b－2c>0， ∴－b－c>c，即a>c. ∵f(0)>0，∴f(0)＝c>0，∴a>0. 取区间[0,1]的中点，则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0. ∵f(0)>0，f(1)>0， ∴函数f(x)在区间和上各有一个零点． 又f(x)为二次函数，最多有两个零点， ∴f(x)＝0在[0,1]内有两个实根． 18．用二分法求方程ln (2x＋6)＋2＝3x的解的近似值时，令f(x)＝ln (2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表： x 1.00 1.25 1.375 1.50 f(x) 1.079 4 0.191 8 －0.360 4 －0.998 9 由表中的数据，求方程ln (2x＋6)＋2＝3x的一个近似解．(精确度为0.1) 解：因为f(1.25)·f(1.375)<0，所以根据二分法，可知函数f(x)的零点在区间(1.25，1.375)内，但区间(1.25，1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取区间(1.25，1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25，1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解． 19．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1) 解：∵f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，即f(0)·f(1)<0，∴f(x)在区间(0，1)内有零点． 又f(x)在区间(－∞，＋∞)内是增函数， ∴f(x)只有一个零点x0∈(0，1). 取区间(0，1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0， ∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5，1). 取区间(0.5，1)的中点x2＝0.75，f(0.75)＝－0.156 25<0， ∴f(0.75)·f(1)<0，即x0∈(0.75，1). 取区间(0.75，1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0， ∴f(0.75)·f(0.875)<0，即x0∈(0.75，0.875). 取区间(0.75，0.875)的中点x4＝0.812 5， f(0.812 5)≈0.073>0，∴f(0.75)·f(0.812 5)<0， 即x0∈(0.75，0.812 5).∵|0.812 5－0.75|<0.1， ∴f(x)的零点的近似值可取为0.75. 20．已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)内有一个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)内的一个解． 解：(1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，所以a≠0. 由题意得f(－1)f(1)＝8(a－1)(a－2)<0， 得1<a<2. 故实数a的取值范围为(1,2)． (2)若a＝， 则f(x)＝x3－x＋， 所以f(－1)＝>0，f(0)＝>0，f(1)＝－<0， 所以函数f(x)的零点在区间(0,1)内．区间中点为.因为f＝0， 所以方程f(x)＝0在区间(－1,1)内的一个解为. 学科网（北京）股份有限公司 $