第3章 方程讲义--2026年初升高衔接新高一数学人教A版必修第一册

2026-2027学年 高一数学上册（人教A版2019） 暑假预习讲义 第3章 方程 一、学习路线图 知识脉络 本章复习初中方程知识，重点是一元二次方程的解法、判别式和韦达定理，同时引入试根法和二元二次方程组，为高中学习做准备。 初中阶段你已经学过： - 一元一次方程 → 直接解 - 一元二次方程 → 配方法、公式法、因式分解法 - 二元一次方程组 → 代入消元、加减消元 高中还会遇到： - 含参数的一元二次方程（讨论根的存在性和分布） - 方程与函数的关系（二次函数零点就是方程的根） - 韦达定理在不等式、集合中的应用 衔接→高一映射 初中知识 高中应用 高中章节 一元二次方程解法 求函数零点、解不等式 第三章 不等式 判别式 判断二次函数与x轴交点个数 第三章 二次函数与一元二次不等式 韦达定理 不等式证明、集合运算 第二章 集合、第三章 不等式 配方法 求二次函数最值、证不等式 第三章 基本不等式 根的分布 函数零点分布、区间根问题 第三章 二次函数与一元二次不等式 学习策略 方程这块，解法是基本功，判别式和韦达定理是核心工具。练的时候注意三点：一是每种解法都练到位，遇到题目能快速选最合适的；二是含参数的方程要多练，这是高中最常见的题型；三是韦达定理不光要记住公式，更要会用它求对称式，比如 、 这类。 二、知识点精讲 一元二次方程的解法 一元二次方程 的四种解法： 1. 直接开平方法：形如 ，直接开方得 1. 配方法：把方程化为 的形式，再开方 1. 公式法： 1. 因式分解法：把方程化为 ，则 或 理解提示：四种解法本质上都一样——配方是万能的，公式是配方的结果，因式分解法是看出了结构能更快地配方。做题时选最快的就行。 判别式 一元二次方程 的判别式 ： · ：两个不相等的实数根 · ：两个相等的实数根 · ：没有实数根 理解提示：判别式的本质是配方后右边那个常数，配方把 变成 ，右边能开方就两个根，右边是零就一个根，右边负就没根。 韦达定理（根与系数的关系） 若 的两个根为 ，则： 使用前提：（方程确实有实根） 理解提示：韦达定理说白了就是——不用算出根，也能知道两根之和和两根之积。这在求对称式的时候特别好用，比如 ，把和与积代入就行。 三、题型分类训练 题型1 解一元二次方程 例1 一元二次方程 的根是 A. 　B. 　C. 　D. 解题思路：，开方得 ，所以 或 。 答案：A 变式1 若将一元二次方程 化成 的形式，则 的值为 A. 　B. 　C. 　D. 变式2 解方程： 1. ；(2) ；(3) ；(4) 变式3 若 ，则代数式 的值为 A. 或 　B. 或 　C. 　D. 变式4 若 ，则 的值为 变式5 已知 ，则代数式 的值是 题型2 解二元二次方程组 例2 解下列方程组： 1. ；(2) 解题思路：(1) 由第二个方程得 ，代入第一个消元；(2) 由第二个方程得 ，代入第一个，注意 。 变式6 解方程组： 变式7 解方程组： 题型3 试根法解一元三次方程 例3 解方程： 解题思路：试 ，，所以 是根。用多项式除法或分组分解：，根为 。 理解提示：试根法就是先猜一个整数根（通常是0、1、2、-1这种），代入试一下，如果是根就用因式分解把三次降成二次，再解二次方程。猜的时候看常数项——常数项是-6，可能根就是6的因数1、2、3、6、-1、-2、-3、-6。 变式8 解方程： 变式9 解方程： 变式10 解方程： 题型4 一元二次方程的根的判别式 例4 一元二次方程 的根的情况是 A. 有两个相等的实数根　B. 没有实数根　C. 有两个不相等的实数根　D. 只有一个实数根 解题思路：，没有实数根。 答案：B 变式11 已知 是关于 的方程 的两个根，下面结论一定正确的是 A. 　B. 　C. 　D. 变式12 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 A. 且 　B. 　C. 且 　D. 变式13 关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 A. 　B. 且 　C. 　D. 且 题型5 利用韦达定理求参数 例5 若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，则 的值是 A. 　B. 　C. 　D. 解题思路：，由韦达定理 ，，所以 。 答案：B 变式14 已知 是方程 的两个实数根，则 的值为 变式15 设 是关于 的方程 的两个根，且 ，则 变式16 已知两个不等实数 满足 ，，则 的值为 A. 　B. 　C. 或 　D. 题型6 利用韦达定理求对称式的值 例6 已知 是方程 的两个实数根，则 解题思路：。 变式17 已知关于 的一元二次方程 。 1. 若方程有两个实数根，求 的取值范围； 1. 在 (1) 中，设 是该方程的两个根，且 ，求 的值。 变式18 已知 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 变式19 关于 的方程 的两个实根分别为 ，则 的最小值是 题型7 根和系数与判别式的综合应用 例7 关于 的一元二次方程 的两实根 ，且满足 ，则 的值为 A. 或 　B. 或 　C. 　D. 解题思路：，由韦达定理 ，，所以 ，化简得 … 需要验根是否满足 。 答案：D（需要验 ） 变式20 若 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则 的值是 变式21 已知关于 的一元二次方程 。 1. 求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 1. 如果方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值。 变式22 (1) 方程 的两个实数根分别为 ，则 的值为， 的值为； 1. 方程 的两个实数根分别为 ，求 的值； 1. 若 是关于 的方程 的两个实数根且 ，求 的值。 变式23 已知关于 的一元二次方程 的两个根为 ，其中 ，且 。 1. 求实数 的值； 1. 求 和 的值。 题型8 根据根的分布情况求参数 例8 已知关于 的方程 有两个负根，则实数 的取值范围是 A. 　B. 　C. 　D. 解题思路：两根均为负，需要：、、。由韦达定理 ，。所以 即 ，此时 恒成立，且 即 。综合得 。 答案：B 变式24 已知关于 的方程 有一个正根和一个负根，则实数 的取值范围为 变式25 关于 的一元二次方程 有两个不相等的正实数根，则 的取值范围是 A. 　B. 　C. 　D. 且 变式26 关于 的方程 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，则 的取值范围为 A. 　B. 　C. 或 　D. 或 四、巩固检测卷 一、单选题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是 A. 　B. 　C. 　D. 1. 某企业今年一月份产值达40亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为140亿元，若设平均每月的增长率为 ，根据题意可列方程 A. 　B. C. 　D. 1. 若 是方程 的两个根，则 的值是 A. 　B. 　C. 　D. 1. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 A. 　B. 　C. 且 　D. 且 1. 方程 有两个相等的实数根，且满足 ，则 的值是 A. 或 　B. 　C. 　D. 或 1. 若关于 的一元二次方程 的两个实数根为 和 ，则 的值是 A. 　B. 　C. 　D. 1. 已知 ，关于 的一元二次方程 的解为 ，则下列结论正确的是 A. 　B. C. 　D. 二、多选题 1. 已知一元二次方程 ，下列说法正确的有 A. B. 若 是方程的根，则 C. 若 ，则方程有两个不等的实数根 D. 若方程有两个不等的实数根分别为 ，则有 ， 1. 关于 的方程 有两个不相等的正实数根，则 A. 　B. 　C. 　D. 1. 已知 ，关于 的方程 有两个不相等的正实数根 ，则 可取的值为 A. 　B. 　C. 　D. 三、填空题 1. 如果关于 的一元二次方程 的一个根是 ，那么 1. 若一元二次方程 的两根分别为 ，则 1. 若 ，且一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 四、解答题 1. 已知关于 的一元二次方程 有实数根。 1. 求 的取值范围； 1. 若方程有一个根为 ，求 的值及另一个根。 1. 已知关于 的一元二次方程 有两根 。 1. 求 的取值范围； 1. 若 ，求 的值。 1. 已知关于 的方程 （其中 均为实数）有两个不等实根 。 1. 若 ，求 的取值范围； 1. 若 为两个整数根， 为整数，且 ，，求 。 五、易错清单 1. 含参数方程忘记 ：讨论 有两个不等实根时，除了 还要加 。要是 就变成一次方程了，根的数量不一样。 1. 韦达定理忘了验 ：用 、 之前，必须先确认 ，方程确实有实根。没有根的话这些式子根本不成立。 1. 非负量约束容易漏： 解出 或 ，但 所以只能取4。这种非负量的约束很容易漏。 1. 根的分布漏条件：两正根需要 、、；一正一负只需要 （此时 一定大于0）；两负根需要 、、。别漏。 1. 对称式展开出错：，不是 ；。展开的时候一步一步写，别跳步。 1. 配方算错常数： 配方得 ，常数 要移到右边变成 ，然后加上 变成 。这步算错最常见。 1. 试根法只写一个根：试根法找出一个根后，分解因式得二次方程，还要解二次方程得出全部根，不是只写一个根就完事。 1. 方程组代入计算出错：二元二次方程组代入消元后，展开 时别算错，一步一步来。 六、方法总结墙 核心方法归类 方法 适用场景 关键步骤 直接开平方法 型 开方，注意 配方法 需要配方形式时 移常数，两边加 公式法 任何一元二次方程 先算 ，再代入公式 因式分解法 能看出因式结构时 化为 代入消元法 二元方程组 一个变量用另一个表示 试根法 一元三次方程 猜整数根→分解→解二次方程 韦达定理法 求对称式 先求和与积，再代入展开 思维路径图 遇到一元二次方程问题： 看方程形式 → 能直接开方？→ 直接开平方法 → 能因式分解？→ 因式分解法 → 都不行？→ 公式法或配方法 遇到含参数方程： 讨论根的存在 → 先看 a≠0 → 再算 Δ → 综合判断 遇到求对称式： 有具体方程 → 韦达定理求和与积 → 展开代入 高中预告：高中第三章会学二次函数与一元二次不等式，方程的根就是函数图像与x轴交点的横坐标，也就是零点。判别式决定交点个数，根的分布对应零点在哪个区间——到时候方程这块就是基础工具了。 ANSWER_START 变式1答案 ，配方：，，所以 ，。选C。 变式2答案 1. ，移项得 ， 或 。 1. ，， 或 。 1. 令 ，方程变为 ，， 或 ，即 或 。 1. ，。 变式3答案 令 ，，， 或 。因为 ， 舍去，所以 。选D。 变式4答案 令 ，，，， 或 。因为 ，舍去 ，所以 。 变式5答案 即 。。 变式6答案 由 得 ，代入 ：，。 或 。 变式7答案 ，所以 或 。 当 ：，，解为 或 。 当 ：，，解为 或 。 变式8答案 试 ：， 是根。， 的根为 。方程的根为 。 变式9答案 试 ：， 是根。，根为 。 变式10答案 试 ：， 是根。，根为 。 变式11答案 方程 ，，两根不等。，A成立； 保证 ，B一定成立；，C错；一正一负根，D错。选B。 变式12答案 ，。还需 即 。选A。 变式13答案 当 时：，。当 时：方程变为 ，有一个实根 ，也算有实数根。综上 。选A。 变式14答案 。，。。。 变式15答案 ，。，。验证：，符合。 变式16答案 是 的两不等实根。，。 。选A。 变式17答案 1. ，。 1. ，，， 或 。 验证 ： 时 ，满足； 时 ，不满足。所以 。 变式18答案 。 变式19答案 ，。。 ：，，。 在 范围内， 随 增大而增大，最小值在 ：。 在 范围内， 随 减小而增大，最小值在 ：。 整体最小值是8。 变式20答案 ，。，，， 或 。 验证 ： 时 ，两等根，满足； 时 ，两不等根，满足。所以 或 。 变式21答案 1. 恒成立，所以无论 取何值方程都有两个不等实根。 1. ，。。 ，， 或 。 验证 ： 时 ，满足； 时 ，满足。所以 或 。 变式22答案 1. ，。 1. ，。。 1. ，。，，， 或 。 验证 ： 时 ； 时 。两解都满足。 变式23答案 1. ，。，。，所以 。 1. 。 。 ，。，。 。 变式24答案 一正一负根只需 。，。 此时 （因为 即 ，）。答案：。 变式25答案 方程 有两不等正实根。 需要：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 ，。 ： 即 时，需要 即 ，所以 。 ，恒成立。 综合：。选B。 变式26答案 令 ，开口向上，一根大于1一根小于1意味着 。 ，。选A。 检测卷答案 1 A。 是一元二次方程；B含有分式不是；C化简后 是一次方程；D有两个变量。 2 D。一月份40亿元，二月份 亿元，三月份 亿元，总产值为 。 3 B。 是方程 的根，所以 。由韦达定理 。。 4 B。，。 5 C。：，，，， 或 。验证 ： 时 , , ； 时 , , 。所以 。 6 B。，。。 7 A。方程即 。当 时两根为 和 ； 时函数上移，两根分别向两侧移动，即 ，。 8 ABC。A对（）；B对（代入 得 ）；C对（ 即 ）；D错（韦达定理应为 ，，D选项把和与积的公式写反了）。 9 AC。，C对。，即 ，A对。，即 ，，D错。由 和 得 与 异号，，B错。 10 BC。方程 有两不等正实根。 即 或 。（ 时恒成立）。 即 。综合 。 。 时 ，所以 。 取 ：，，B可取。 取 ：，，C可取。 选BC。 11 2024。，，。。 12 7。 是根，，即 。。。。 13 。 得 。方程 有实数根： 时 有实根； 时 ，。综合 。 14 (1) 时 有实根 ； 时 ，。综合 。 1. 代入：，。方程 即 ，，另一根 。 15 (1) ， 或 。 1. 即 ，，， 或 。验证 ： 时 ，满足； 时 ，不满足。所以 。 16 (1) 时方程为 。，。且 （否则只有一根）。 且 。 1. 代入 ，：方程变为 。，。 为正整数。 ：，，，整数根。 ：，，不是整数根。 ：，不是整数根。 只有 时有整数根，。 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年 高一数学上册（人教A版2019） 暑假预习讲义 第3章 方程 一、学习路线图 知识脉络 本章复习初中方程知识，重点是一元二次方程的解法、判别式和韦达定理，同时引入试根法和二元二次方程组，为高中学习做准备。 初中阶段你已经学过： - 一元一次方程 → 直接解 - 一元二次方程 → 配方法、公式法、因式分解法 - 二元一次方程组 → 代入消元、加减消元 高中还会遇到： - 含参数的一元二次方程（讨论根的存在性和分布） - 方程与函数的关系（二次函数零点就是方程的根） - 韦达定理在不等式、集合中的应用 衔接→高一映射 初中知识 高中应用 高中章节 一元二次方程解法 求函数零点、解不等式 第三章 不等式 判别式 判断二次函数与x轴交点个数 第三章 二次函数与一元二次不等式 韦达定理 不等式证明、集合运算 第二章 集合、第三章 不等式 配方法 求二次函数最值、证不等式 第三章 基本不等式 根的分布 函数零点分布、区间根问题 第三章 二次函数与一元二次不等式 学习策略 方程这块，解法是基本功，判别式和韦达定理是核心工具。练的时候注意三点：一是每种解法都练到位，遇到题目能快速选最合适的；二是含参数的方程要多练，这是高中最常见的题型；三是韦达定理不光要记住公式，更要会用它求对称式，比如 、 这类。 二、知识点精讲 一元二次方程的解法 一元二次方程 的四种解法： 1. 直接开平方法：形如 ，直接开方得 1. 配方法：把方程化为 的形式，再开方 1. 公式法： 1. 因式分解法：把方程化为 ，则 或 理解提示：四种解法本质上都一样——配方是万能的，公式是配方的结果，因式分解法是看出了结构能更快地配方。做题时选最快的就行。 判别式 一元二次方程 的判别式 ： · ：两个不相等的实数根 · ：两个相等的实数根 · ：没有实数根 理解提示：判别式的本质是配方后右边那个常数，配方把 变成 ，右边能开方就两个根，右边是零就一个根，右边负就没根。 韦达定理（根与系数的关系） 若 的两个根为 ，则： 使用前提：（方程确实有实根） 理解提示：韦达定理说白了就是——不用算出根，也能知道两根之和和两根之积。这在求对称式的时候特别好用，比如 ，把和与积代入就行。 三、题型分类训练 题型1 解一元二次方程 例1 一元二次方程 的根是 A. 　B. 　C. 　D. 解题思路：，开方得 ，所以 或 。 答案：A 变式1 若将一元二次方程 化成 的形式，则 的值为 【解答区】 A. 　B. 　C. 　D. 变式2 解方程： 【解答区】 1. ；(2) ；(3) ；(4) 变式3 若 ，则代数式 的值为 【解答区】 A. 或 　B. 或 　C. 　D. 变式4 若 ，则 的值为 【解答区】 变式5 已知 ，则代数式 的值是 【解答区】 题型2 解二元二次方程组 例2 解下列方程组： 1. ；(2) 解题思路：(1) 由第二个方程得 ，代入第一个消元；(2) 由第二个方程得 ，代入第一个，注意 。 变式6 解方程组： 【解答区】 变式7 解方程组： 【解答区】 题型3 试根法解一元三次方程 例3 解方程： 解题思路：试 ，，所以 是根。用多项式除法或分组分解：，根为 。 理解提示：试根法就是先猜一个整数根（通常是0、1、2、-1这种），代入试一下，如果是根就用因式分解把三次降成二次，再解二次方程。猜的时候看常数项——常数项是-6，可能根就是6的因数1、2、3、6、-1、-2、-3、-6。 变式8 解方程： 【解答区】 变式9 解方程： 【解答区】 变式10 解方程： 【解答区】 题型4 一元二次方程的根的判别式 例4 一元二次方程 的根的情况是 A. 有两个相等的实数根　B. 没有实数根　C. 有两个不相等的实数根　D. 只有一个实数根 解题思路：，没有实数根。 答案：B 变式11 已知 是关于 的方程 的两个根，下面结论一定正确的是 【解答区】 A. 　B. 　C. 　D. 变式12 已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是 【解答区】 A. 且 　B. 　C. 且 　D. 变式13 关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是 【解答区】 A. 　B. 且 　C. 　D. 且 题型5 利用韦达定理求参数 例5 若关于 的一元二次方程 的两个实数根分别为 和 ，则 的值是 A. 　B. 　C. 　D. 解题思路：，由韦达定理 ，，所以 。 答案：B 变式14 已知 是方程 的两个实数根，则 的值为 【解答区】 变式15 设 是关于 的方程 的两个根，且 ，则 【解答区】 变式16 已知两个不等实数 满足 ，，则 的值为 【解答区】 A. 　B. 　C. 或 　D. 题型6 利用韦达定理求对称式的值 例6 已知 是方程 的两个实数根，则 解题思路：。 变式17 已知关于 的一元二次方程 。 【解答区】 1. 若方程有两个实数根，求 的取值范围； 1. 在 (1) 中，设 是该方程的两个根，且 ，求 的值。 变式18 已知 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，则 【解答区】 变式19 关于 的方程 的两个实根分别为 ，则 的最小值是 【解答区】 题型7 根和系数与判别式的综合应用 例7 关于 的一元二次方程 的两实根 ，且满足 ，则 的值为 A. 或 　B. 或 　C. 　D. 解题思路：，由韦达定理 ，，所以 ，化简得 … 需要验根是否满足 。 答案：D（需要验 ） 变式20 若 是关于 的方程 的两个实数根，且 ，则 的值是 【解答区】 变式21 已知关于 的一元二次方程 。 【解答区】 1. 求证：无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根； 1. 如果方程的两个实数根为 ，且 ，求 的值。 变式22 (1) 方程 的两个实数根分别为 ，则 的值为， 的值为； 【解答区】 1. 方程 的两个实数根分别为 ，求 的值； 1. 若 是关于 的方程 的两个实数根且 ，求 的值。 变式23 已知关于 的一元二次方程 的两个根为 ，其中 ，且 。 【解答区】 1. 求实数 的值； 1. 求 和 的值。 题型8 根据根的分布情况求参数 例8 已知关于 的方程 有两个负根，则实数 的取值范围是 A. 　B. 　C. 　D. 解题思路：两根均为负，需要：、、。由韦达定理 ，。所以 即 ，此时 恒成立，且 即 。综合得 。 答案：B 变式24 已知关于 的方程 有一个正根和一个负根，则实数 的取值范围为 【解答区】 变式25 关于 的一元二次方程 有两个不相等的正实数根，则 的取值范围是 【解答区】 A. 　B. 　C. 　D. 且 变式26 关于 的方程 有两个根，其中一个大于1，另一个小于1，则 的取值范围为 【解答区】 A. 　B. 　C. 或 　D. 或 四、巩固检测卷 一、单选题 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是 A. 　B. 　C. 　D. 1. 某企业今年一月份产值达40亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为140亿元，若设平均每月的增长率为 ，根据题意可列方程 A. 　B. C. 　D. 1. 若 是方程 的两个根，则 的值是 A. 　B. 　C. 　D. 1. 若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是 A. 　B. 　C. 且 　D. 且 1. 方程 有两个相等的实数根，且满足 ，则 的值是 A. 或 　B. 　C. 　D. 或 1. 若关于 的一元二次方程 的两个实数根为 和 ，则 的值是 A. 　B. 　C. 　D. 1. 已知 ，关于 的一元二次方程 的解为 ，则下列结论正确的是 A. 　B. C. 　D. 二、多选题 1. 已知一元二次方程 ，下列说法正确的有 A. B. 若 是方程的根，则 C. 若 ，则方程有两个不等的实数根 D. 若方程有两个不等的实数根分别为 ，则有 ， 1. 关于 的方程 有两个不相等的正实数根，则 A. 　B. 　C. 　D. 1. 已知 ，关于 的方程 有两个不相等的正实数根 ，则 可取的值为 A. 　B. 　C. 　D. 三、填空题 1. 如果关于 的一元二次方程 的一个根是 ，那么 1. 若一元二次方程 的两根分别为 ，则 1. 若 ，且一元二次方程 有实数根，则 的取值范围是 四、解答题 1. 已知关于 的一元二次方程 有实数根。 1. 求 的取值范围； 1. 若方程有一个根为 ，求 的值及另一个根。 1. 已知关于 的一元二次方程 有两根 。 1. 求 的取值范围； 1. 若 ，求 的值。 1. 已知关于 的方程 （其中 均为实数）有两个不等实根 。 1. 若 ，求 的取值范围； 1. 若 为两个整数根， 为整数，且 ，，求 。 五、易错清单 1. 含参数方程忘记 ：讨论 有两个不等实根时，除了 还要加 。要是 就变成一次方程了，根的数量不一样。 1. 韦达定理忘了验 ：用 、 之前，必须先确认 ，方程确实有实根。没有根的话这些式子根本不成立。 1. 非负量约束容易漏： 解出 或 ，但 所以只能取4。这种非负量的约束很容易漏。 1. 根的分布漏条件：两正根需要 、、；一正一负只需要 （此时 一定大于0）；两负根需要 、、。别漏。 1. 对称式展开出错：，不是 ；。展开的时候一步一步写，别跳步。 1. 配方算错常数： 配方得 ，常数 要移到右边变成 ，然后加上 变成 。这步算错最常见。 1. 试根法只写一个根：试根法找出一个根后，分解因式得二次方程，还要解二次方程得出全部根，不是只写一个根就完事。 1. 方程组代入计算出错：二元二次方程组代入消元后，展开 时别算错，一步一步来。 六、方法总结墙 核心方法归类 方法 适用场景 关键步骤 直接开平方法 型 开方，注意 配方法 需要配方形式时 移常数，两边加 公式法 任何一元二次方程 先算 ，再代入公式 因式分解法 能看出因式结构时 化为 代入消元法 二元方程组 一个变量用另一个表示 试根法 一元三次方程 猜整数根→分解→解二次方程 韦达定理法 求对称式 先求和与积，再代入展开 思维路径图 遇到一元二次方程问题： 看方程形式 → 能直接开方？→ 直接开平方法 → 能因式分解？→ 因式分解法 → 都不行？→ 公式法或配方法 遇到含参数方程： 讨论根的存在 → 先看 a≠0 → 再算 Δ → 综合判断 遇到求对称式： 有具体方程 → 韦达定理求和与积 → 展开代入 高中预告：高中第三章会学二次函数与一元二次不等式，方程的根就是函数图像与x轴交点的横坐标，也就是零点。判别式决定交点个数，根的分布对应零点在哪个区间——到时候方程这块就是基础工具了。 学科网（北京）股份有限公司 $