第3单元 05 增分微练4 构造法在解决函数、导数问题中的应用（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦构造法在函数导数中的系统应用，通过多样化题型培养数学抽象与逻辑推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式与比较大小|5题（1,3,5,8,9）|含指数、对数、三角结构的大小比较|从式子结构抽象共性，构造辅助函数（如f(x)=lnx/x），利用单调性转化| |导数与函数性质|3题（2,6,10）|结合导数条件的不等式求解、函数值比较|依据导数关系构造新函数（如f(x)e^x），通过导数判断单调性解决问题| |恒成立与参数范围|3题（7,11,12）|含参数的恒成立问题|构造函数转化为最值问题，利用导数研究函数极值点与单调性确定参数范围|

增分微练4　构造法在解决函数、导数问题中的应用 1.不等式2ln x>xln 2的解集是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.(1,2) B.(2,4) C.(2,+∞) D.(4,+∞) 2.已知函数f(x)的导函数为f'(x),对任意实数x,都有f(x)+f'(x)>0,且f(1)=1,则f(x)ex>e的解集为 (　 ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.[2025·南京六校联考] 已知2024m=2025,2023m=x+2024,2025m=y+2026,则 (　 ) A.0<x<y B.x<y<0 C.y<x<0 D.x<0<y 4.[2025·十堰四月调考] 已知sin5α+5cos α>cos5α+5sin α,α∈[0,2π),则α的取值范围为 (　 ) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪(π,2π) 5.已知a=,b=,c=,其中e为自然对数的底数,则 (　 ) A.b<a<c B.b<c<a C.a<b<c D.c<b<a 6.已知函数f(x)的定义域为R,设f(x)的导函数是f'(x),若f(x)·f'(x)+sin x>0恒成立,则 (　 ) A.f<f B.f>f C.< D.> 7.已知xx-1≥ln x+对任意x>0恒成立,则a的最大值为 (　 ) A.0 B. C.e D.1 8.[2026·长沙一中月考] 已知实数x,y,z满足ex-e2=e(x-2)≠0,ey-ee=e(y-e)≠0,ez-e3=e(z-3)≠0,其中e为自然对数的底数,则x,y,z的大小关系是 (　 ) A.x<y<z B.y<x<z C.z<x<y D.z<y<x 9.(多选题)已知x>y>0,则下列结论正确的有 (　 ) A.ex-ey>x-y B.ln x-ln y>x-y C.ln x≥1- D.> 10.已知奇函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,f(1)=2,当x>0时,xf'(x)+f(x)>0,则使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是　　　　　　　　.  11.对任意x1,x2,当1<x1<x2<e时,-<0,则a的取值范围为　　　　.  12.[2025·重庆八中月考] 若aeax≥ln x-a对任意x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 增分微练4　构造法在解决函数、导数问题中的应用 1.B　[解析] 设f(x)=(x>0),则f'(x)=,当0<x<e时,f'(x)>0,当x>e时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.原不等式可化为>,即f(x)>f(2),结合f(2)=f(4),可得2<x<4,所以原不等式的解集为(2,4).故选B. 2.B　[解析] 由f(x)ex>e,f(1)=1,可得f(x)ex>ef(1),令g(x)=f(x)ex,则g'(x)=ex[f'(x)+f(x)],又f(x)+f'(x)>0,所以g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增.原不等式等价于g(x)>g(1),所以x>1,则原不等式的解集为(1,+∞).故选B. 3.D　[解析] 因为2024m=2025,所以m=log20242025>1.构造函数f(x)=xm-x-1,x∈[1,2025],则f'(x)=mxm-1-1.令g(x)=f'(x)=mxm-1-1,x∈[1,2025],则g'(x)=m(m-1)xm-2>0,则g(x)=f'(x)在[1,2025]上单调递增,得f'(x)≥f'(1)=m-1>0,则f(x)在[1,2025]上单调递增.又f(2024)=0,f(2023)=x,f(2025)=y,所以x<0<y.故选D. 4.C　[解析] 令f(x)=x5-5x,则f'(x)=5(x4-1),当x∈[-1,1]时,f'(x)≤0,所以函数f(x)在[-1,1]上单调递减.因为sin5α+5cos α>cos5α+5sin α,所以sin5α-5sin α>cos5α-5cos α,即f(sin α)>f(cos α),又sin α,cos α∈[-1,1],所以sin α<cos α,即sin α-cos α=sin<0,因为0≤α<2π,所以-≤α-<,所以-≤α-<0或π<α-<,解得0≤α<或<α<2π,则α的取值范围是∪.故选C. 5.A　[解析] 由题意得a==,b==,c===.设f(x)=,则f'(x)=,当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)单调递增,又0<<<2<e,所以f()<f()<f(2),即<<,所以b<a<c.故选A. 6.D　[解析] 设g(x)=[f(x)]2-2cos x,则g'(x)=2f(x)·f'(x)+2sin x>0,故y=g(x)在R上单调递增,所以g>g,即>,所以>.故选D. 7.D　[解析] 由xx-1≥ln x+(x>0),得xx≥xln x+a,所以exln x-xln x≥a对任意x>0恒成立.令f(x)=xln x,则f'(x)=ln x+1在(0,+∞)上单调递增,令f'(x)=0,得x=,当0<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)≥f=-,即xln x≥-.令t=xln x,g(t)=et-t,则g'(t)=et-1在上单调递增,令g'(t)=0,得t=0,所以当-≤t<0时,g'(t)<0,当t>0时,g'(t)>0,所以g(t)在上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g(t)min=g(0)=1,所以a≤1,所以a的最大值为1.故选D. 8.D　[解析] 设函数f(t)=et-et,其定义域为R,且f'(t)=et-e,当t>1时,f'(t)>0,则f(t)在(1,+∞)上单调递增;当t<1时,f'(t)<0,则f(t)在(-∞,1)上单调递减.因为ex-e2=e(x-2)≠0,ey-ee=e(y-e)≠0,ez-e3=e(z-3)≠0,所以ex-ex=e2-2e,ey-ey=ee-e2,ez-ez=e3-3e,即f(x)=f(2),f(y)=f(e),f(z)=f(3)且x≠2,y≠e,z≠3,所以f(x)<f(y)<f(z)且x<1,y<1,z<1,所以z<y<x.故选D. 9.ACD　[解析] 设f(x)=ex-x(x>0),则f'(x)=ex-1>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以f(x)>f(y),即ex-x>ey-y,即ex-ey>x-y,故A正确;令x=e,y=1,则ln x-ln y=1,而x-y=e-1>1,所以ln x-ln y<x-y,故B不正确;设h(x)=ln x-1+(x>0),则h'(x)=-=,当0<x<1时,h'(x)=<0,函数h(x)单调递减,当x>1时,h'(x)=>0,函数h(x)单调递增,则h(x)=ln x-1+在x=1处取得最小值,最小值为h(1)=ln 1-1+=0,所以ln x≥1-,故C正确;设g(x)=x·ex(x>0),则g'(x)=(x+1)ex>0,所以g(x)=x·ex在(0,+∞)上单调递增,又x>y>0,所以g(x)>g(y),即x·ex>y·ey,即>,故D正确.故选ACD. 10.(-∞,-1)∪(1,+∞)　[解析] 当x>0时,因为xf'(x)+f(x)>0,所以[xf(x)]'>0.令F(x)=xf(x),则当x∈(0,+∞)时,F'(x)>0,所以F(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f(x)是奇函数,即f(x)=-f(-x),所以F(-x)=(-x)f(-x)=-x[-f(x)]=xf(x)=F(x),所以F(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.因为f(1)=2,所以F(1)=f(1)=2,所以F(-1)=2,作出F(x)的大致图象如图所示.由图可知,使不等式xf(x)>2成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞). 11.[e,+∞)　[解析] 由-<0,得<,两边取自然对数,得x1x2ln<ax2-ax1,即ln x2-ln x1<-,则ln x2+<ln x1+.令h(x)=ln x+,则h(x)在(1,e)上单调递减,所以h'(x)≤0在(1,e)上恒成立,则-≤0对x∈(1,e)恒成立,所以a≥x对x∈(1,e)恒成立,所以a≥e. 12.　[解析] 根据题意得axeax≥(x+1)ln x-ax,即ax(eax+1)≥(x+1)ln x=(eln x+1)ln x.令n(x)=x(ex+1),则n(ax)≥n(ln x),n'(x)=ex+1+xex,令m(x)=n'(x),则m'(x)=(x+2)ex,当x∈(-∞,-2)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,当x∈(-2,+∞)时,m'(x)>0,m(x)单调递增,所以m(x)=n'(x)=ex+1+xex≥n'(-2)=1->0,所以n(x)在R上单调递增.因为n(ax)≥n(ln x),所以ax≥ln x,所以a≥.令φ(x)=(x>0),则φ'(x)=(x>0),当0<x<e时,φ'(x)>0,当x>e时,φ'(x)<0,所以φ(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以φ(x)max=φ(e)==,所以a≥,所以实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $