精品解析：陕西榆林市府谷县府谷中学2025-2026学年高一下学期7月期末检测数学试题

府谷中学2025~2026学年第二学期高一年级期末检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列情况中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查某产品的市场占有率 B. 调查某地区饮用水的状况 C. 高考考生进入考场前的安检 D. 调查某市市民对中央电视台春节联欢晚会的意见 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于平面向量描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则向量与的夹角为锐角 C. 若，，则 D. 若为非零向量，则与的方向相同 4. 若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（ ） A. 只有一条，不在平面内 B. 有无数条，不一定在平面内 C. 只有一条，且在平面内 D. 有无数条，且在平面内 5. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 平行四边形可以确定一个平面 B. 若两条直线与没有公共点，则与平行 C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D. 若直线，相交，平面，则与平面的位置关系为平行或相交 10. 在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ） A. B. 考生成绩的众数为72 C. 考生成绩的第70百分位数为75 D. 估计该市考生成绩的平均分为70.6 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则符合条件的三角形仅有一个 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 13. 已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______. 14. 如图，点均在球的表面上，，，平面平面，则球的体积为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数k的值． 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． （1）若乙投球2次均未命中的概率为，求； （2）若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 17. 如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 如图，在中，，D为边AC上一点，且，． （1）若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； （2）若，求的取值范围． 19. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷中学2025~2026学年第二学期高一年级期末检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5m的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列情况中，适合用全面调查的是（ ） A. 调查某产品的市场占有率 B. 调查某地区饮用水的状况 C. 高考考生进入考场前的安检 D. 调查某市市民对中央电视台春节联欢晚会的意见 【答案】C 【解析】 【分析】根据全面调查及抽样调查的特征进行逐项分析判断可得. 【详解】全面调查（普查）是对所有调查对象进行调查，它适用于调查范围小、不具有破坏性、且事关重大必须逐一核查的情况. 抽样调查适用于范围广、具有破坏性或不必要全面调查的情况. 选项A：调查产品市场占有率，涉及对象范围极广，全面调查成本极高、可行性差，适合抽样调查； 选项B：调查某地区饮用水状况，逐一检测所有水体不现实，且检测具有一定破坏性，适合抽样调查； 选项C：高考考生安检事关考试公平与考场安全，必须对每一位考生逐一检查，符合全面调查的适用要求； 选项D：调查市民对春晚的意见，涉及的市民数量多、范围广，适合抽样调查. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简所求复数，利用复数的概念可得结果. 【详解】因为，故复数的虚部为. 故选：A. 3. 下列关于平面向量描述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则向量与的夹角为锐角 C. 若，，则 D. 若为非零向量，则与的方向相同 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量不能比较大小，所以A错误； 当时，与的夹角可以为，所以B错误； 当时，和可以是任意向量，不一定共线，所以C错误； 为的同方向单位向量，所以D正确. 4. 若平面平面，点，那么过点P且与平面垂直的直线（ ） A. 只有一条，不在平面内 B. 有无数条，不一定在平面内 C. 只有一条，且在平面内 D. 有无数条，且在平面内 【答案】C 【解析】 【详解】设，因为，在平面内，过点P作，垂足为A， 由面面垂直的性质定理可知，， 假设过点P有两条直线都与平面垂直，根据线面垂直的性质，这两条直线平行， 又因为都过点P，所以这两直线重合， 因此，过点P且与平面垂直的直线只有一条，且在平面内， 5. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 由正弦定理得：，，， 代入整理化简得，所以， 所以， 又因为，所以. 6. 已知圆锥的侧面展开图是半径为，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设该圆锥的底面圆半径为，由弧长公式求出，即可求出圆锥的高，再由锥体的体积公式计算可得. 【详解】设该圆锥的底面圆半径为，所以，解得， 所以该圆锥的高， 所以该圆锥的体积． 故选：B． 7. 已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过分类讨论得出，再由古典概率公式求解． 【详解】当时，，得（舍）， 当时，，得， 当时，，得（舍）， ， 从1，2，3，5，4中任取2个数结果: 共10种， 符合题意，共4种， 所以概率为． 故选：A． 8. 如图，在中，，，P为上一点，且满足，若，，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，由三点共线有，再用分别表示出、，最后应用向量数量积的运算律求即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为C，P，D三点共线，所以，即， 所以，又， 所以 . 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 平行四边形可以确定一个平面 B. 若两条直线与没有公共点，则与平行 C. 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D. 若直线，相交，平面，则与平面的位置关系为平行或相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间直线与平面的位置关系及平面的性质判断可得. 【详解】选项A ：平行四边形的两组对边分别平行，根据“两条平行直线可以唯一确定一个平面”， 平行四边形的四个顶点都在这个平面内，因此平行四边形能确定一个平面，A正确； 选项B： 空间中两条直线没有公共点，包含两种情况：一是同一平面内的平行直线，二是不同在任一平面内的异面直线. 因此与不一定平行，B错误； 选项C： 设三条直线为，两两相交且不共点， 设交点分别为（不共线）， 根据“不共线的三点” 确定唯一平面，而分别经过平面内的两点， 因此三条直线都在平面内，即确定一个平面，C正确； 选项D： 若平面，则与无公共点； 又因为和相交，设，因为与无公共点 ，所以平面. 若平面，则平面，与平面矛盾，因此不可能在平面内， 因此与平面只能是平行或相交，D正确. 10. 在某市初三年级举行的一次体育统考考试中，共有500人参加考试．为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为n的部分考生成绩，已知所有考生成绩均在，按照，，，，的分组作出如图所示的频率分布直方图．若在样本中，成绩落在区间的人数为32，则由样本估计总体可知下列结论正确的为（ ） A. B. 考生成绩的众数为72 C. 考生成绩的第70百分位数为75 D. 估计该市考生成绩的平均分为70.6 【答案】AD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图的特征先计算，再计算样本数即可得A，由频率分布直方图计算众数、百分位数、平均数并估计总体即可判定B、C、D选项. 【详解】由频率分布直方图可知， ∴，故A正确； 由频率分布直方图可知众数落在区间上，则考生成绩的众数为75，故B错误； 同时可知考生成绩的第70百分位数为：，故C错误； 由频率分布直方图可知样本中， 考生成绩的平均分为， 可估计整体学生的平均分为70.6，故D正确． 故选：AD． 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形 B. 若，，，则符合条件的三角形仅有一个 C. 若为钝角三角形，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】由和正弦定理得，， 即， 因，，所以，则，即，故A正确； 由，故，故三角形仅有一个解，故B正确； 当，则为钝角，而为钝角三角形，A不一定是钝角，故C错误； ， 故，当且仅当时等号成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】，所以． 13. 已知四位数，任意交换两个位置的数字之后，两个奇数相邻的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】任意交换两个数的位置之后有：，，，，，，共种， 两个奇数相邻有，，共种， 所以两个奇数相邻的概率为. 故答案为： 14. 如图，点均在球的表面上，，，平面平面，则球的体积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理和性质、勾股定理的逆定理、平行线的性质建立空间直角坐标系，结合球的性质，利用空间两点间距离公式、球的体积公式进行求解即可. 【详解】取的中点为， 因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 因为，， 所以，因此， 因为平面，平面， 所以，因为平面， 所以平面，而平面， 所以，， . 在平面内，过作，交于点， 所以， 所以可以建立如图所示的空间直角坐标系， 于是有， 设，显然有， 所以有， 所以球的半径为， 所以球的体积为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，满足，，与的夹角为． （1）求； （2）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，，， 则 【小问2详解】 因为， 所以， 解得. 16. 甲、乙两个篮球运动员互不影响的在同一位置各投球10次，其中甲投进5个，乙投进个． 注：用此次投进球的频率去估计概率． （1）若乙投球2次均未命中的概率为，求； （2）若，甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算可得答案. 【小问1详解】 由题意知，，故； 【小问2详解】 用表示“两人共命中2次”， ． 17. 如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：如图，取的中点，连， 且， 且， 四边形为平行四边形，， 平面平面， 平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连,利用中位线证明四边形为平行四边形，即可证明. （2）利用即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连， 且为直三棱柱， 为直角三角形且，平面， 平面，， 由（1）知， 为直三棱柱，为中点，， ， ， 平面，平面， ， ， 设点到平面的距离为， ， ， 有，得， 故点到平面的距离为. 18. 如图，在中，，D为边AC上一点，且，． （1）若． （ⅰ）求； （ⅱ）求的面积； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）（i）；（ⅱ） （2） 【解析】 【详解】（1）（ⅰ）在中，，，， 由余弦定理得：，即， 所以是等腰三角形，即． 所以，即； （ⅱ），即是等腰三角形，所以， 所以； （2）因为，即，即． 设，则，则， 所以， 又因为，因为， 所以，即， 又因为，令，则， 所以，，因为函数在上单调递增， 所以． 19. 如图，长方体的底面ABCD是正方形，，，M，N分别为棱，的中点，． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）通过证明，平面，证得平面. （2）作出二面角的平面角，解三角形求得其余弦值. （3）根据与平面所成角的正弦值求得，结合余弦定理求得. 【小问1详解】 连接，，，因为是长方体， M，N分别为棱，的中点，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为，，所以， ，， 则有，则有； 同理，，并且，BM，平面BDM， 所以平面BDM，又因为，所以平面BDM； 【小问2详解】 分别取BM，的中点为E，F，连接MF，则有，所以， 又因为是边长为的正三角形，则有， 则即为二面角的平面角， 且，，， 由余弦定理，， 所以二面角的余弦值为； 【小问3详解】 设点P到平面BDM的距离为d，PM与平面BDM所成的角为，则． 因为，平面BDM，平面BDM，所以平面BDM， 则点P到平面BDM的距离等于点到平面BDM的距离，根据， 即，解得， 又因为与平面所成角的正弦值为， 则． 连接，是边长为的正三角形， 在中，由余弦定理得,， 即，整理得：， 即，解得或， 又因为，， 所以或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $