精品解析：陕西榆林市府谷县府谷中学2025-2026学年第二学期高一5月期中检测数学试题

府谷中学2025~2026学年第二学期高一年级期中检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第二册第六章至第八章第五节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 2. （ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 4. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，，则 7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（　　） A. B. C. D. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（），则下列说法正确的有（ ） A. 复数z的实部为3 B. 复数z的共轭复数为 C. D. 若z为实数，则 10. 已知，，为非零向量，下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，，则 C. 若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线 D. 若，则 11. 如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. ，E，F，B四点共面 B. 直线与直线为异面直线 C. 该正方体的外接球和内切球的表面积之比为 D. 三棱锥的体积是三棱锥的两倍 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 13. 在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是__________. 14. 在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）． （1）求复数z； （2）求的模． 16. 已知向量，，若，，与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 17. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长. （1）这种“浮球”的体积是多少? （2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？ 18. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． （1）求证：点是的中点； （2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，. （1）求的值； （2）已知，为的中点，，求的周长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 府谷中学2025~2026学年第二学期高一年级期中检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，请将答题卡上交. 4．本卷主要命题范围：必修第二册第六章至第八章第五节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线定理及坐标运算列式计算即可. 【详解】因为，所以，则，解出. 故选：D. 2. （ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘方运算、模的计算法则以及复数的除法法则可得结果. 【详解】由题意得 故选：A． 3. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面的基本性质求解. 【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格， 所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”. 故选：A 4. 在中，角、、的对边分别为、、，若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理及三角形的性质即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可得， 又因为，可得，即，所以. 故选：A 5. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算可得，还原图形后可得原图形中各边长，即可得其高. 【详解】在直角梯形中，，， 则， 直角梯形对应的原平面图形为如图中直角梯形， 则有， 所以该平面图形的高为. 故选：C. 6. 已知，为两个不同的平面，，，为三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，，则 D. 若，，且，，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面位置关系中平行的有关判定和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由面面平行的定义可知，若两个平面平行，则其中一个面内的任意一条直线平行于另一个平面，故A正确； 对于B，若则或，故B错误； 对于C，若，，则或异面或 相交，故C错误； 对于D，若，且，则，或，故D错误， 故选：A. 7. 如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用中线所在向量结合向量加减法，不难把转化为，得解． 【详解】解：∵ ， 故选D． 【点睛】本题考查用基底表示向量，考查平面向量线性运算，属于基础题. 8. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中为常数，若，且，则的面积取最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正弦定理和三角恒等变换得到，再结合余弦定理用去表示，最后利用三角形面积公式求解最大值时的取值. 【详解】中，由正弦定理得，又代入上式得，即. 又，，，，即. 又，，. 由余弦定理得. ，，有，，. 中，且，，， . 因为为常数，要使的面积最大，则取得最大值. ，，结合正弦函数的单调性可知，当，即时，有最大值. 故面积取最大值时，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数（），则下列说法正确的有（ ） A. 复数z的实部为3 B. 复数z的共轭复数为 C. D. 若z为实数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由复数的概念即可判断ABD，求复数的模即可判断C. 【详解】，则实部为3，故A正确；共轭复数为，故B正确； 当z为实数时，故D正确；，故C错误. 故选：ABD． 10. 已知，，为非零向量，下列说法正确的是（ ） A. 向量在向量上的投影向量可表示为 B. 若，，则 C. 若向量可由向量，线性表出，则，，一定不共线 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】利用投影向量的定义判断A；利用共线向量定理推理判断B；举例说明判断CD. 【详解】对于A，由投影向量的定义，得向量在向量上的投影向量可表示为，A正确； 对于B，均为非零向量，存在实数m，n使得，，则，B正确； 对于C，令，，，有，而共线，C错误； 对于D，令，，，有，而，D错误. 故选：AB 11. 如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. ，E，F，B四点共面 B. 直线与直线为异面直线 C. 该正方体的外接球和内切球的表面积之比为 D. 三棱锥的体积是三棱锥的两倍 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由可得四点共面；对于B，由异面直线的定义判断即可；对于C，根据正方体内切球与外接球的特征及体积公式可判定；对于D，由三棱锥的高是三棱锥的高的两倍，可得三棱锥的体积是三棱锥的两倍. 【详解】对于A，如图所示，连接， 因为，则四边形是平行四边形， 所以，又E，F分别为棱，的中点， 所以，则， 所以，E，F，B四点共面，故A正确； 对于B，如图所示， 取的中点，连接， 则，则四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以直线与直线为异面直线，故B正确； 对于C，根据正方体的特征可知其内切球直径为棱长，外接球直径为体对角线， 设正方体的棱长为1，则内切球的半径为，外接球的半径为， 故外接球与内切球的表面积之比为，故C错误； 对于D，根据正方体的特征与已知可知，点到底面的距离是点到底面的距离2倍， 即三棱锥的高是三棱锥的高的两倍，由两个三棱锥的底面积相等， 所以三棱锥的体积是三棱锥的体积两倍，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】，所以. 13. 在中，三边长分为，则最大角和最小角之和是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定最大角和最小角，再根据余弦定理求出角B，最后求出即可. 【详解】设A为的最小角，C为的最大角，由余弦定理可得， 因为，所以，所以，即最大角和最小角之和是. 故答案为：. 14. 在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】将向量进行转化得，从而得解. 【详解】记，又，所以，所以， 解得. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位）． （1）求复数z； （2）求的模． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设复数，根据题意为实数，为纯虚数，利用复数的运算即可求解； （2）根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可求解. 【小问1详解】 设复数， 因为为实数，所以，则复数， 又因为为纯虚数， 则，得， 所以复数. 【小问2详解】 由（1）可知复数，则， 所以的模为. 16. 已知向量，，若，，与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积定义计算结合模长公式求解； （2）应用垂直数量积为0结合数量积运算律计算求参即可. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得． 所以当时，向量与向量互相垂直. 17. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长. （1）这种“浮球”的体积是多少? （2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？ 【答案】（1） （2）克 【解析】 【分析】（1）利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果； （2）结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积，进而确定所需胶的质量. 【小问1详解】 该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，， 两个半球的体积之和为， 又， 该“浮球”的体积是. 【小问2详解】 上下两个半球的表面积， “浮球”的圆柱筒侧面积为， 个“浮球”的表面积为， 个“浮球”的表面积的和为， 每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，交于点，点是棱上的一点，且平面． （1）求证：点是的中点； （2）在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）点为棱BC的中点时，平面平面， 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证得，再根据四边形是平行四边形得点是的中点，从而得结论； （2）若平面平面，根据面面平行的性质定理，得线面平面，再由线面平行的性质定理得，从而可确定点在棱上的位置. 【小问1详解】 因为平面，平面平面， 又平面，所以， 因为四边形是平行四边形， 所以点是的中点，则点是的中点； 【小问2详解】 当点为棱BC的中点时，平面平面，理由如下： 若平面平面，由于平面， 所以平面， 又平面平面， 则，又点是的中点，所以点是的中点， 故点为棱BC的中点时，平面平面，则. 19. 在中，内角，，的对边分别为，，，记的面积为，. （1）求的值； （2）已知，为的中点，，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合数量积和面积公式运算求解即可； （2）根据面积可得，中，利用余弦定理可得，再求边即可. 【小问1详解】 因为，则，整理可得， 且，所以. 【小问2详解】 因为，可得， 又因为为的中点， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得， 解得或（舍去）， 结合，可得， 在中，由余弦定理可得， 即， 所以的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $