陕西省榆林市府谷县府谷中学2024-2025学年高一下学期期末模拟预测数学试题

2023~2024学年高一期末质量检测卷·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是号=子故选C 2.D因为2+3=+解，所以：2+解-+斜-是+部号器-2+.所以=2-.所以 2+3i 复数在复平面内对应的点为(2，一1)，位于第四象限.故选D. 3.B由频率分布直方图可得，小于110cm的树苗的频率P=(0.002十0.006+0.012+0.024)×10=0.44，所 以可推测，4000棵树苗中高度小于110cm的树苗棵数约为4000×0.44=1760.故选B 4.C设摸出红球的概率为P(A),摸出白球的概率为P(B),摸出黑球的概率为P(C),所以P(A)+P(B)一 0.56,P(A)+P(C)=0.68,且P(A)+P(B)+P(C)=1,所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.44,P(B)=1 P(A)一P(C)=0.32,所以P(B)十P(C)=0.76,即摸出的球是白球或黑球的概率为0.76.故选C. 5.D记ACOBD=-0,连接PO,所以PO1平面ABCD.又AB=2,PA=22,所以A0=2AC=2V2+2 -E,P0-V22)-（2)-6,因为点E是棱PC的中点，所以ruE=rw=合×号Sx· P0-×号×合×2X2×6=号故选D 6.C因为a+b+c=0,所以a+e=-b,所以(a十c)2=(-b)2,即a2+2a·c+c=b,所以4+2a·c+52 52,解得a·c=-8.又a+b十c=0,所以b十c=-a,所以(b十c)3=(-a)2,即b+2b·c+c2=a2,所以5 +2b·c+52=42,解得b·c=一17，所以(a-b)·c=a·c一b·c=一8-（一17）=9，所以向量a一b在向量 c上的投影向量为0：.c一号c故选C c 7,B设球的半径为R,所以4R=婴x,解得R=牙，设△ABC的外接圆的半径为r,所以2= AB sin∠ACB 0解得=25.又PAL平面A,所以R√F+(受).即要√(2婴+()，解得PA 2 =2.取PA,PB,BC的中点D,E,F,连接DE,EF,DF,AF,因为PA⊥平面ABC,又AC,AFC平面ABC,所 以PA⊥AC,PA⊥AF,所以DF=√JAD+AF=2,PC=√2+2=2√2，又D,E,F分别为PA,PB,BC的 中点，所以DE=号AB=1,EF=号PC=2,DE∥AB,EF∥PC,所以∠DEF为直线PC与AB所成的角或 其补角，由余弦定理得c©s∠DEF-ED+FPF=1+2=2,即直线PC与AB所成角的余弦值 2ED·EF 22 为源故选B 8.A因为asin A=(b+c)sinB,由正弦定理得a2=(b十c)b,由余弦定理得？十c2-2 bccos A=(b十c)b,即 【高一期末质量检测卷·数学参考答案第1页（共6页）】 241855D e-b=2osA,由正弦定理得sinC-sinB=2 sin Bcos A,又sinC=sin[x-(A+B)]=sin(A+B)= sin Acos B+cos Asin B,所以sin Acos B+cos Asin B-sinB=2 sin Bcos A,所以sinB=sin Acos B- sin Bcos A=sin(A一B),又A∈(0，x),B∈(0，x),则A一B∈（一x,π），所以B=A一B或B+(A一B)=π，即 02B<π， A=2B或A=π（舍去），则C=π一A一B=π一3B,所以 解得0<B<,则号<sB<1.所以 0<π-3B<π absin A-sin B sin 2B-sin B sin 2B-sin B 2sin Bcos B-sin B 2sin Bcos B-sin B sin C sin(x-3B) sin 3B sin(2B-B) sin 2Bcos Bcos 2Bsin B 2n5B十20)snB2oB行∈（分，2），即的取值范围是（分，之）.故选A sin B(2cos B-1) 9.BC若BA,则P(AB)=P(B)=0.2,故A错误：若A与B互斥，则P(AUB)=P(A)十P(B)=0.9, 故B正确：若A与B相互独立，则A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=[1一P(A)]P(B)= 0.06,故C正确：若A与B相互独立，则P(AUB)=P(A)十P(B)一P(AB)=0.76,故D错误.故选BC. 10.ABD因为bsin30°<a<b,所以符合条件的△ABC恰有两个，故A正确：若ccos A=a(1一cosC),由正弦 定理得sin Ccos A=sinA(1-cosC)=sinA-sin Acos C,所以sinA=sin Ccos A十sin Acos C= sin(A十C)=sinB,所以A=B,所以△ABC是等腰三角形，故B正确；若acos A=bcos B,由正弦定理得 sin Acos A=sin Beos B,即sin2A=sin2B,所以2A=2B或2A+2B=元，即A=B或A+B=交，即△ABC 是等腰三角形或直角三角形，故C错误；若sin2B十sin2C=sin2A,所以2 sin Acos A=sin2A=sin2B十 sin2C=2sin(B+C)cos(B-C)=2 sin Acos(B-C).所以cosA=cos(B-C).所以0=cos(B-C)- cosA=cos(B-C)+cos(B+C)=2 cos Beos C.所以cosB=0或cosC=0,即B=乏或C=乏，故D正 确.故选ABD. 11.ACD当点P是棱AA,的中点时，PC⊥平面AEF.因为在正方形ABB1A中，点P是棱AA,的中点，点F 是棱AB的中点，所以BP⊥AF.在正方体ABCD-A1B,CD中，BC⊥平面ABBA1,又AFC平面 ABBA:,所以BC⊥AF,又BP∩BC=B,BP,BCC平面BPC,所以AF⊥平面BPC,又PCC平面BPC,所 以AF⊥PC,同理可得AE⊥PC,又AE∩AF=A,AE,AFC平面AEF,所以PC⊥平面AEF,故A正确：取 EF的中点O,连接AO,CO,AC,在△AEF中，AE=AF=2√5，EF=2√2，所以AO⊥EF,AO= √AE-E了=32.在△CEF中，CE=CF=6,EF=2√2，所以CO⊥EF,CO=√CE-E=√34，所以 ∠AOC是二面角A-EF-C的平面角.在△AOC中，AO=3√2，CO=√34，AC=4V2,由余弦定理得 ∠A0COC=5平，即二面角A-EF-C的余弦值为，故B错误：设三棱锥 20A·0C A-AEF的内切球半径为R,Ve=V=号X×S XAA=号×号×2X2X4=号，又Sr 号×EFXA0=号×22X3巨=6，又V4g=号×RX(S+S4世+Sa4w+Sa)=景X 3 【高一期末质量检测卷·数学参考答案第2页（共6页）】 241855D (合×2X2+号×4×2+号×2×4+6)=号，解得R=合，所以三校锥A:-AEF的内切球的体积为专R =音，故C正确：将平面ABBA沿AA展开到与平面ADD,A共面，此时当E,P,B三点共线时，EP+ PB取得最小值，所以(EP+PB)m=√6+4=2√I3,又EB=6,所以△PBE的周长的最小值为6十 2√13，故D正确.故选ACD. 121些△AC的面积S=气(6+-).又msA=公中亡，所以9.2k·msA=snA.所以 4 tanA=3,又0<A<,所以A=号，设△ABC外接圆的半径为r,所以2r=0==85,解得r sin A 3 3 2 .所以△ABC外接圆的面积为矿- 3 1837设正四棱台的高为A,所以+（号AB一号AB)=A4,即V公+（号×8-号×4】 (2√1)，解得h=6.因为AB=8,AB=4,所以截面（图中阴影部分）是边长为6的正方形，当水的高度 恰好是正四棱台高度的一半时，甲容器内水的体积为号(16+36+24)×3=76，设注水的速度为，则19 =76,解得0=4当乙容器中水的高度恰好是正四棱台高度的一半时，水的体积为号(36+64十48)×3 148,当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时为148=37分钟。 因为PA·AB=-2,P克·AB=2,所以Pi.AB-PA.AB=AB=2-(-2)=4,所以AB1=2.设 BCx(1<<5),在△ABC中，由余弦定理得os∠ACB=C2CACAR=32- 2CB·CA 2.x×3 2-当且仅当=5时，等号成立，所以o∠ACB的最小值为停 6.2a 15.解：1)样本平均数为x=945+10.2+9.7+98+10.0+9.6+10.1+9.7+10.1+10.3-9.9.…3分 10 样本方差为=b2（石-2)=02-2=98.078-线.9=0.068、…7分 (2)因为改进后随机抽取的10件产品的评分是改进前抽取的10件产品的评分每个提高0.3分， 所以改进后生产的产品评分的平均数=x十0.3=10.2，…10分 方差为号==0.068.…13分 16.解：(1)由题意知Di-C第-CD. 因为点F是线段BD的中点，所以C亦-C成+号C. 【高一期末质量检测卷·数学参考答案第3页（共6页）】 241855D 又点E是线段AB上的一点，且AE=2EB,所以D正=Di+A正=CB+号AB=CB-号CD.…3分 又Di=xDi+yCF, 所以C-i=x(C店-号C市)+(2C+2)=(x+2y)+(2y-号x)市 x+2y=1, 所以 4分 2 2J- 解得x= 6 …5分 所以x十y=5 …6分 (2)设D=xD(0≤A≤1)，所以C市=CD+D亦-CD+xDi=CD+a(C店-CD)=λC+(1-A)CD, 求-D-Di-A(C成-CD)-(C成-号cD)=(a-1)C+(号-a)cD, 所以C.E亦=[aC+1-)C市)·[(a-1+(号-)] =(a-1)C座+（号-a)aC第.Ci+1-x)a-1)C弦.CD+(1-X)(号-x)D =a-10+9(1-a0(号-2)=10-16+6=10(a-号）广-号， 10分 所以当X=专时，C亦，取得最小值，最小值为-号， 12分 当入=0时，C京·EF取得最大值，最大值为6. .......................0 14分 所以本，的取值范围是[一号，6] …15分 1.解：q)因为CD⊥AB,所以ama-B-CD,anB CD CDCD 2分 2ang,所以CD 2x 又a=23,所以tana=tan23= 3 1-tan'8' …5分 1- (CDY 3 解得CD=√3. 7分 (2)因为ana十tanB计3 tan atan-5,所以tana十tang-3(I--tan atan),所以tan a tan且=3，即 1-tan atan B tan(a十BD=3,又a+Be(0,x),所以a十B=晋，所以∠ACB=x-a-9= 9分 3 在△ABC中，由余弦定理得AB=CA+CB一2CA·CBcos,∠ACB,即16=CA+CB+CA·CB. 10分 【高一期末质量检测卷·数学参考答案第4页（共6页）】 241855D 在△ADC中，由余弦定理得Os∠ADC-DA+DC-AC_ 1+()-Ac 3 2DA·DC 2x1xV 3 在△BDC中，由余弦定理得cos∠BDC=DW十DC-BC_ +()广-c 2DB·DC 2×3X2互 +(④)'-Ac3+(）广-Bc 又∠ADC+∠BDC=π，所以cOs∠ADC+cOs∠BDC= =0,即 2X1X2 3 2X3x图 3CA2+CB=64 13分 又16=CA+CB+CA·CB,解得CA=CB=4 3 14分 所以△ABC的面积S=CA·CBsin∠ACB=4 15分 18.解：(1)记“乙至少有1个回答正确”为事件M, 所以P(M0=1-PM)=1-(1-2)×(1-2)×(1-2)×(1-2)= 即乙至少有1个间答正确的概率是号， …5分 (2)记“甲答对第i个问题”为事件A(=1,2,3),“乙答对第i个问题”为事件B,(=1,2,3),则甲回答正 确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个为事件A1A2AB:BB十AA2AB,B2B十A1A2ABB2B +AA2 A:B B2 B+A:A2 As B:B:B+AA2 A BB:B, P(A:A:As B B2 Bs+Ai A2As BB:B+A:A:As B:B:B+A A2As BB:B+A A2 As B:B2 B +AA本瓦瓦属)=号×号×号×合×(1-号)×(1-)+号×号×号×(1-)× (1-2)×名+号×号×号×(1-)×2×(1-)+(1-号)×号×号×(1-2)×(1-2)× (1-2)+号×(1-号)×号×(1-号)×(1-2)×(1-2)+号×号×(1-号)×(1-2)× (1-2)×(1-2)=6. 即甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个的概率是石· 11分 (3)记“甲答对第i个问题”为事件A(i=1,2,3,4,5),则甲恰好回答5次被退出比赛为事件A1A2AAA十 AA2As A:As+A A2A:A.As. 所以P(A1A2AA4A十A1AA3AA+A1A2AgA:A)=P(A1A2AAA5)+P(AA2AAA5)+ PA压A五A)=号×号×号×(1-号)×(1-号)+(1-号)×号×号×(1-号)×(1-号)+ 【高一期末质量检测卷·数学参考答案第5页（共6页）】 241855D 号×(1-号)×号×(1-号)×1-号)=品 即甲恰好回答5次被退出比赛的概率是鼎 …17分 19.(1)证明：在△ABC中，AB=BC=2,AC=2√2，所以AB+BC=AC,所以AB⊥BC, 又点D,E分别为边AB,AC的中点，所以DE∥BC,DE⊥AB,所以DE⊥BD,DE⊥PD,所以BC⊥BD,BC ⊥PD, 又BD∩PD=D,BD,PDC平面PBD,所以BC⊥平面PBD,…3分 又BC℃平面PBC,所以平面PBC⊥平面PBD.…5分 (2)解：因为DE⊥BD,DE⊥PD,所以二面角P-DE-C的平面角为∠PDB,所以∠PDB=60°，·7分 又PD=DB=1,所以△PDB是等边三角形，取PD的中点O,连接BO,如图所 示，所以EBO1PD,BO-马 2 由(1)知BC⊥平面PBD,又BOC平面PBD,所以BC⊥BO,又DE∥BC,所以 DE⊥BO,又DE∩PD=D,DE,PDC平面PDE,所以BO⊥平面PDE. ……8分 因为DE∥BC,DEC平面PDE,BC过平面PDE,所以BC∥平面PDE, 所以emE=Vone=号sae·B0-号×号X1X1X号-得 …9分 因为BC⊥平面PBD,BPC平面PBD,所以BC⊥BP,所以CP=√BC+BP严=√5. 在△Pc中.CP5,DC=5,PD=1,所以Sam=PD·√PC-(四y-厘 设点E到平面PDC的距离为d,又Vs=enE,所以号×平d= 12 10分 解得d,即点E到平面PC的距离为得已 19 11分 (3)解：由(2)知B)L平面PDE,所以BG与平面PDE所成的角为∠BGO.…13分 在△PG0中，P0-=,∠OPG=45,设PG=x(0<<2), 由余弦定理得0G=P0+PG-2P0:PGos∠OPG=}+r- 2 因为BO1平面PDE,又OGC平面PDE,所以BO1OG,所以BG=BO+OG=2- 2x+1, 即BG 2x+1,所以sin∠BGO= BO 36 BG 8 …15分 2x+1 整理得18r-9v区x+2-0,解得x一号或-号，即PG的长为号或号 …17分 【高一期末质量检测卷·数学参考答案第6页（共6页）】 241855D数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版必修第二册。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.采用简单随机抽样的方法，从含有8个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体 被抽到的概率为 A吉 B名 c是 D克 2.若复数x满足(2+31)x=2+8,则复数在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.某部门为了了解一批树苗的生长情况，在4000棵树苗中随机抽取400棵，统计这400棵树 苗的高度（单位：cm),将所得数据分成7组：[70,80），[80,90)，[90,100)，[100,110)， [110,120),[120,130),[130,140],并绘制了如图所示的频率分布直方图，那么根据该图可 推测，在这4000棵树苗中高度小于110cm的树苗棵数约是 0.02 0.02 0.020 0.012 88 0.002 708090100110120130140高度/cm A.1680 B.1760 C.1840 D.1920 4.袋子中有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或 白球的概率为0.56，摸出的球是红球或黑球的概率为0.68，则摸出的球是白球或黑球的概 率为 A.0.64 B.0.72 C.0.76 D.0.82 【高一期末质量检测卷·数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的目墙AP中 5.在正四棱锥P-ABCD中，AB=2,PA=2√2，点E是棱PC的中点，则三棱锥P-ADE的体 积为 A20 3 c号 n号 6.已知向量a,b,c满足|a|=4,lb|=|c|=5,且a+b十c=0,则向量a一b在向量c上的投影 向量为 A-款 B-9 n号c 7,.已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在表面积为号元的球的球面上，PAL平面ABC,AB=BC =CA=2,则直线PC与AB所成角的余弦值为 A号 B号 C 8.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A=(b+c)sinB,则二的取值范 围是 A(停) B(合) c停 n(停》 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知事件A,B,且P(A)=0.7,P(B)=0.2,则下列说法正确的是 A.若B二A,则P(AB)=0.7 B.若A与B互斥，则P(AUB)=0.9 C.若A与B相互独立，则P(AB)=0.06D.若A与B相互独立，则P(AUB)=0.9 10.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若a=4,b=6,A=30°，则符合条件的△ABC恰有两个 B.若ccos A=a(1-cosC),则△ABC是等腰三角形 C,若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 D.若sin2B+sin2C=sin2A,则△ABC是直角三角形 11.如图，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别为棱 D AD,AB,的中点，点P是棱AA1上的一点，则下列说法正确 的是 A.存在点P,使得PC⊥平面AEF B二面角A-EF-C的余弦值为严 17 C.三棱锥A1~AEF的内切球的体积为君 D.△PBE的周长的最小值为6+2√13 【高一期末质量检测卷·数学第2页（共4页）】 CS扫描全能王 】亿人都在用的目猫AP时 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,若△ABC的面积S=(+-a),且 4 a=4,则△ABC外接圆的面积为 13.现有甲、乙两个形状完全相同的正四棱台容器如图所示，其中AB=8,A1B,=4,AA,= 2√T,现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用 时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的 一半时用时 分钟。 D 14,在△ABC中，AC=3,点P是△ABC所在平面内的一点，且PA·AB=-2,PB.AB=2,则 cos∠ACB的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共T7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某工厂生产某款产品，该产品市场评级规定：评分在10分及以上的为一等品，低于10分的 为二等品.下面是检验员从一批产品中随机抽取的10件产品的评分： 9.510.29.79.810.09.610.19.710.110.3 经计算得品号=98.078，其中五为抽取的第i件产品的评分，=1,23，，10， (1)求这组样本的平均数和方差： (2)若厂家改进生产线，使得生产出的每件产品评分均提高0.3.根据以上随机抽取的10件 产品改进后的评分，估计改进后该厂生产的产品评分的平均数和方差。 16.(本小题满分15分) 如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点E是线段AB上的一点，且AE=2EB,点F是线 段BD上的一点. (1)若DF=FB,且D成=xD苑+yC克，求x十y的值： (2)求C京.EF的取值范围. 【高一期末质量检测卷·数学第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的目播AP单 17.(本小题满分15分) 在△ABC中，点D是边AB上一点，且AD=1,BD=3,记∠CAB=a,∠ABC=R (1)若a=2B,且CD⊥AB,求CD的长； (2)②若ana+tan+万tanatan=尽，CD=,求△ABC的面积 18.(本小题满分17分) 为培养学生的核心素养，协同发展学科综合能力，促进学生全面发展，某校数学组举行了数 学学科素养大赛，素养大赛采用回答问题闯关形式.现有甲、乙两人参加数学学科素养大赛， 甲、乙两人能正确回答问题的概率分别是号和分·假设两人是吞回答出问题，相互之间设有 影响；每次回答是否正确，也没有影响 (1)若乙回答了4个问题，求乙至少有1个回答正确的概率； (2)若甲、乙两人各回答了3个问题，求甲回答正确的个数比乙回答正确的个数恰好多2个 的概率； (3)假设某人连续2次未回答正确，则退出比赛，求甲恰好回答5次被退出比赛的概率. 19.(本小题满分17分) 如图1，在△ABC中，AB=BC=2,AC=2√2，点D,E分别为边AB,AC的中点，将△ADE 沿着DE折起，使得点A到达点P的位置，如图2，且二面角P-DE-C的大小为60°. D 图1 图2 (1)求证：平面PBC⊥平面PBD: (2)求点E到平面PDC的距离； (3)在棱PE上是否存在点G,使得BG与平面PDE所成角的正弦值为3？若存在，求 PG的长；若不存在，请说明理由. 【高一期末质量检测卷·数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的归播Ap时