2.3 二次根式（知识解读）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（北师大版）

本讲义聚焦二次根式核心知识，系统梳理从概念（含定义、有意义条件）到性质（双重非负性、回归性、转化性），再到乘除、加减、混合运算，延伸至最简、同类二次根式及化简求值、实际应用、分母有理化的完整学习支架。 资料以13类题型（含典例与变式）构建训练体系，结合矩形菜地计算、海伦公式应用等实例，通过问题解决培养抽象能力、运算能力与应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

2.3 二次根式（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 1··二次根式的概念】 2 【题型 2··二次根式有意义的条件】 2 【题型 3··利用二次根式的性质化简)】 3 【题型 4·二次根式的乘法运算】 3 【题型 5·二次根式的除法运算】 5 【题型 6··二次根式的乘除法运算】 5 【题型 7·最简二次根式的判定)】 7 【题型 8··同类二次根式的相关概念】 7 【题型 9·二次根式的加减运算)】 8 【题型10·二次根式的混合运算】 9 【题型11·二次根式的化简求值】 10 【题型 12·二次根式的实际应用】 10 【题型13·分母有理化】 12 【随堂检测】 13 知识点1 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【题型 1··二次根式的概念】 【典例1】下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】下列各式中，属于二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【题型 2··二次根式有意义的条件】 【典例2】若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】若，则的取值范围是（    ） A．为全体实数 B． C． D． 【变式2-3】化简的值为________． 知识点2 二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （2） 转化性： 题型 3··利用二次根式的性质化简)】 【典例3】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【变式3-1】化简：________． 【变式3-2】当时，化简：________． 【变式3-3】已知，化简______． 知识点3 二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 题型 4·二次根式的乘法运算】 【典例4】计算． (1)； (2)； (3)． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【变式4-2】计算： (1)． (2)． 【变式4-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点4 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型 1·求一个数的算术平方根】 【题型 5·二次根式的除法运算】 【典例5】计算： (1)； (2)． 【变式5-1】计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【变式5-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式5-3】计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【题型 6··二次根式的乘除法运算】 【典例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式6-1】计算：． 【变式6-2】计算: 【变式6-3】计算： (1)； (2)． 知识点5 最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 【题型 7·最简二次根式的判定)】 【典例7】在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】下列式子中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式7-3】在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 知识点6 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 题型 8··同类二次根式的相关概念】 【典例8】若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【变式8-1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式8-3】若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点7 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型 9·二次根式的加减运算)】 【典例9】计算：． 【变式9-1】计算： 【变式9-2】计算：． 【变式9-3】计算：． 知识点8 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型10·二次根式的混合运算】 【典例10】计算： (1)； (2)． 【变式10-1】计算： (1)； (2) 【变式10-2】计算 (1)； (2)． 【变式10-3】计算： (1) (2) 题型11·二次根式的化简求值】 【典例11】已知，． (1)求和的值； (2)求的值． 【变式11-1】已知，． (1)求代数式的值； (2)求代数式的值． 【变式11-2】已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 【变式11-3】已知，，求的值． 【题型 12·二次根式的实际应用】 【典例12】如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 【变式12-1】如图，某居民小区有一块矩形菜地，菜地的长为，宽为．现要在该菜地中挖一口圆形水井（阴影部分），水井的半径为．（取） (1)求该菜地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)若除去水井部分，其他区域（图中空白部分）全部种植白菜，求种植白菜部分的面积． 【变式12-2】已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)求这两个正方形的周长之和． 【变式12-3】我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 知识点9 分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型13·分母有理化】 【典例13】阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 【变式13-1】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 【变式13-2】先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【变式13-3】．阅读下面问题：；；．试求： (1)的值； (2)的值； (3)（n为正整数）的值． 随堂检测 【随堂检测】 1.下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．计算：（     ） A． B． C． D． 4．实数 ， 在数轴上对应，点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（     ） A． B． C． D． 5．如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 6．按一定规律排列的单项式：；第个单项式为（     ） A． B． C． D． 7．__________． 8．若能与最简二次根式合并，则的值为________． 9．对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 10．计算： (1)； (2)． 11．如图，从正方形中裁去面积为和的两个小正方形，，求阴影部分的面积和． 12．南宋数学家秦九韶提出利用三边计算三角形面积的公式：，其中a，b，c为三角形的三边长，．请利用该公式解决下列问题． (1)若三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积； (2)若，，求该三角形面积S的最大值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次根式（知识解读） 【北师大版2024】 题型归纳 【题型 1··二次根式的概念】 2 【题型 2··二次根式有意义的条件】 3 【题型 3··利用二次根式的性质化简)】 5 【题型 4·二次根式的乘法运算】 6 【题型 5·二次根式的除法运算】 9 【题型 6··二次根式的乘除法运算】 11 【题型 7·最简二次根式的判定)】 14 【题型 8··同类二次根式的相关概念】 16 【题型 9·二次根式的加减运算)】 18 【题型10·二次根式的混合运算】 18 【题型11·二次根式的化简求值】 20 【题型 12·二次根式的实际应用】 22 【题型13·分母有理化】 24 【随堂检测】 28 知识点1 二次根式的概念 一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【题型 1··二次根式的概念】 【典例1】下列各式中，属于二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：二次根式要求被开方数是非负数． A、中的，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项A不符合题意； B、中的，当时不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项B不符合题意； C、中的，当时，，不符合被开方数为非负数，故不是二次根式，选项C不符合题意； D，中的，符合被开方数为非负数，故是二次根式，选项D符合题意． 【变式1-1】下列式子中，是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的根指数为3，不是二次根式，故C选项不符合题意； 与的被开方数取值不确定，可能为负数，不一定是二次根式，故A、D选项不符合题意； 的根指数为2，被开方数为正数，符合二次根式的定义，故B选项符合题意； 【变式1-2】下列式子一定是二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一般地，形如的式子叫做二次根式，据此可得答案． 【详解】解：被开方数为负，根指数为3，均不是二次根式． 当时，的被开方数小于0，不是二次根式． ∵， ∴ ∴一定是二次根式． 【变式1-3】下列各式中，属于二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、被开方数，无意义，不是二次根式； B、根指数为3，是三次根式，不是二次根式； C、恒大于0，含二次根号，符合二次根式定义； D、当时被开方数为负，无意义，不是二次根式． 【题型 2··二次根式有意义的条件】 【典例2】若二次根式有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解即可得到x的取值范围 【详解】解：∵二次根式有意义时，被开方数必须是非负数 ∴， 解不等式得 【变式2-1】若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，利用二次根式被开方数为非负数的性质列不等式求解即可． 【详解】二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数， 代数式有意义，满足， 解不等式得． 【变式2-2】若，则的取值范围是（    ） A．为全体实数 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，等式成立需满足等式中所有二次根式的被开方数都符合非负要求，列出不等式组求解即可． 【详解】解：等式 成立，等式右侧两个二次根式都要有意义， 根据二次根式有意义的条件，可得不等式组：， 解不等式组得． 【变式2-3】化简的值为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围，再利用二次根式的性质，化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】 解：要使有意义，可得 解得 由，可得 化简原式： ． 知识点2 二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （2） 转化性： 题型 3··利用二次根式的性质化简)】 【典例3】实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】/ 【分析】由数轴可知，进而化简二次根式即可． 【详解】解：由数轴可知，， 所以， 根据二次根式的性质可得， 根据绝对值的性质可得， 所以． 【变式3-1】化简：________． 【答案】/ 【详解】解：． 【变式3-2】当时，化简：________． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴． 【变式3-3】已知，化简______． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式对被开方数因式分解，再根据二次根式的性质化简，最后结合的条件去掉绝对值符号得到结果． 【详解】解：对被开方数因式分解，得 ， ∴ ， ， ． 知识点3 二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 题型 4·二次根式的乘法运算】 【典例4】计算． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解： ； （3）解： 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答； （2）先计算二次根式的乘法以及化简二次根式，即可解答． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式4-2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）（2）根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式4-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，解答本题的关键是掌握二次根式的乘法运算法则． （1）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （2）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （3）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可； （4）先进行二次根式的乘法运算，然后进行化简即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）原式 ． 知识点4 二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型 1·求一个数的算术平方根】 【题型 5·二次根式的除法运算】 【典例5】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式的除法法则计算即可； （2）先将带分数化为假分数，再根据二次根式的除法法则计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式5-1】计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的除法，分母有理化； （1）直接分母有理化即可； （2）先计算二次根式的除法，再分母有理化即可； （3）先计算二次根式的除法，再分母有理化即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【变式5-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （2）先逆用二次根式相乘法则，把写成，进行约分即可； （3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （4）根据二次根式的除法法则：系数相除，根指数不变，被开方数相除进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式5-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据二次根式除法运算及逐题计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型 6··二次根式的乘除法运算】 【典例6】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题各小题根据二次根式的乘法和除法运算法则进行解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 【变式6-1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先将根号下的小数化为分数，再将除法转化为乘法，最后计算根号内的乘法即可． 【详解】解： ． 【变式6-2】计算: 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式乘除混合运算法则进行求解即可． 【详解】解： ． 【变式6-3】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则与运算顺序是解本题的关键； （1）按照从左至右的顺序进行计算即可； （2）按照从左至右的顺序进行计算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式      ． 知识点5 最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 【题型 7·最简二次根式的判定)】 【典例7】在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，可化简，不是最简二次根式； 不可以化简，是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； 根指数是 ，不是最简二次根式； 所以最简二次根式只有 个． 【变式7-1】下列二次根式中，最简二次根式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、的被开方数含分母，不是最简二次根式； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 【变式7-2】下列式子中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：最简二次根式需要同时满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；对各选项逐一判断： A. ，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； B. ，被开方数含分母，不是最简二次根式； C. ，被开方数含分母，不是最简二次根式； D. ，满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 【变式7-3】在二次根式，，，中，属于最简二次根式的有________个． 【答案】 【分析】满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式，1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对所给二次根式逐个判断即可得到答案． 【详解】解：，原被开方数含有能开得尽方的因数，故不是最简二次根式， 是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ，原被开方数含有分母，故不是最简二次根式， ∴最简二次根式只有，共1个． 知识点6 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 题型 8··同类二次根式的相关概念】 【典例8】若与最简二次根式能合并，则的值为______． 【答案】1 【分析】先将化为最简二次根式，根据能合并的二次根式是同类二次根式，得到被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：，与最简二次根式能合并， 两个二次根式为同类二次根式，被开方数相等， 即，解得． 【变式8-1】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的定义，先将各选项化为最简二次根式，再看被开方数是否与的被开方数相同即可得到答案. 【详解】解：∵ 选项A，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项B，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项C，，被开方数为，与的被开方数不同，不是同类二次根式； 选项D，，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式. 【变式8-2】下列二次根式中，不是同类二次根式的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】将每个选项中的二次根式化为最简二次根式，比较被开方数，找出被开方数不同的一组即可． 【详解】解：A选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； B选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； C选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数都是，是同类二次根式； D选项：∵，， ∴两个二次根式被开方数分别为和，不相同，不是同类二次根式． 【变式8-3】若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】能合并的最简二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并， ∴两个二次根式的被开方数相等， 即， 移项得， 解得， 检验：当时，且，符合题意． 知识点7 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型 9·二次根式的加减运算)】 【典例9】计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式9-1】计算： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式9-2】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 【变式9-3】计算：． 【答案】 【详解】解： ． 知识点8 二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型10·二次根式的混合运算】 【典例10】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式10-1】计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)1 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 【变式10-2】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式10-3】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11·二次根式的化简求值】 【典例11】已知，． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)18 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意完全平方公式的应用． （1）根据， ，可以得到和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可； （2）将所求式子变形，再将（1）中求出的和的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ，． ． （2）解：． 【变式11-1】已知，． (1)求代数式的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）根据平方差公式：求解即可； （2）根据完全平方公式：求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 【变式11-2】已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)20 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将、的值代入所求代数式计算即可得解； （2）先计算出，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式11-3】已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算．先求出再代值即可求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 【题型 12·二次根式的实际应用】 【典例12】如图，在一次手工课上，小红从一张大正方形卡纸上剪下了两张小正方形卡纸，这两张小正方形卡纸的面积分别为和． (1)这两张小正方形卡纸的边长分别为______，_____． (2)求剩余卡纸的面积． 【答案】(1)，（或，） (2) 【分析】.（1）根据正方形的面积公式求解即可； （2）先求出大正方形的边长，再根据剩余卡纸的面积大正方形的面积减去两个小正方形的面积求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴这两张小正方形卡纸的边长分别为和； （2）解：由（1）可得，大正方形的边长为， ∴剩余卡纸的面积 【变式12-1】如图，某居民小区有一块矩形菜地，菜地的长为，宽为．现要在该菜地中挖一口圆形水井（阴影部分），水井的半径为．（取） (1)求该菜地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)若除去水井部分，其他区域（图中空白部分）全部种植白菜，求种植白菜部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据矩形的周长公式列式，利用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）由菜地的面积减去水井的面积，利用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：矩形菜地的周长为． （2）解：∵水井的半径为， ∴水井面积为， ∵菜地面积为， ∴种植白菜部分的面积为． 【变式12-2】已知边长分别为，的两个正方形的面积分别为，． (1)求的值； (2)求这两个正方形的周长之和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵边长分别是的两个正方形的面积分别为，， ∴，， ∴ ； （2）解：两个正方形的周长分别为 和 ， 总周长为． 【变式12-3】我国古代著名数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，则其中三角形的面积．古希腊几何学家海伦提出如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积计算，二次根式的乘法； 根据题意先求出，再代入海伦公式计算即可． 【详解】解：由题意知：， 则三角形的面积 ． 知识点9 分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型13·分母有理化】 【典例13】阅读下列运算过程，并完成各小题： ；．数学上把这种将分母中的根号去掉的过程称作“分母有理化”．如果分母不是一个无理数，而是两个无理数的和或差，此时也可以进行分母有理化，如： ； ； 模仿上例完成下列各小题： (1)____________； (2)____________； (3)请根据你得到的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的加减运算，掌握分母有理化的法则是解本题的关键． （1）分子分母都乘以，即可得到答案； （2）分子，分母都乘以，即可得到答案； （3）根据题干提示的规律，把每个分母中的二次根号去掉，化为有理数，再合并即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ． 【变式13-1】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第个等式：______． (2)根据以上规律，计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，分母有理化，二次根式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）找出规律后，根据运算法则进行运算即可； （2）根据（1）中的规律把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解：第个等式：； 故答案为： （2）解： 【变式13-2】先阅读，再解答．由可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：，请完成下列问题： (1)的有理化因式是______；化简______； (2)计算：______； (3)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，理由： 设、， 则， ， 由于， 则，即， 因此． 【分析】本题考查二次根式的有理化因式、化简计算以及大小比较，熟练掌握有理化因式是解题的关键． （1）利用平方差公式求有理化因式和分母有理化即可； （2）通过有理化将每个项转化为差的形式，利用望远镜求和计算即可； （3）通过有理化将差值转化为倒数形式，比较分母大小得出结论即可． 【详解】（1）解：， 则的有理化因式是， ， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：对于任意的正整数，有， 则 故答案为：； （3）略 【变式13-3】．阅读下面问题：；；．试求： (1)的值； (2)的值； (3)（n为正整数）的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化，平方差公式是解题的关键． （1）分子分母同时乘以，即可求解； （2）分子分母同时乘以，即可求解 （3）分子分母同时乘以，即可求解 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 随堂检测 【随堂检测】 1.下列式子中，属于最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件：1被开方数不含分母；2被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，对每个选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． B选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式． C选项：，被开方数不含分母，且，不含能开得尽方的因数，是最简二次根式． D选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．【点睛】 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A ：，故A错误； 对选项B ：，故B错误； 对选项C：和不是同类二次根式，不能合并，，故C错误； 对选项D ：，故D正确. 3．计算：（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 4．实数 ， 在数轴上对应，点的位置如图所示，则化简代数式的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴可得，从而可得，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可得出结果． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 5．如果最简二次根式能与合并，那么的值为（     ） A．1 B．2 C．6 D．10 【答案】A 【分析】先将化为最简二次根式，根据可合并的最简二次根式被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵， 且最简二次根式能与合并， ∴ ， 解得． 6．按一定规律排列的单项式：；第个单项式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别找出单项式的系数和字母指数的规律，即可得到第个单项式． 【详解】解：将单项式分为系数和的指数两部分分别找规律： 时，第1个单项式为； 时，第2个单项式为； 时，第3个单项式为； ... ∵系数部分根号内的数随序号变化， 第个单项式的系数部分为； 的指数为连续奇数，第个单项式中的指数为； ∴第个单项式是． 7．__________． 【答案】 【分析】本题可根据平方差公式来计算． 【详解】解： 8．若能与最简二次根式合并，则的值为________． 【答案】5 【分析】先化简，根据同类二次根式可以合并的性质，得到最简二次根式的被开方数与化简后的被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：∵，能与最简二次根式合并， ∴与是同类二次根式，被开方数相等， ∴， ． 9．对任意正数，定义运算“※”：当，；当，则．若（），则的值为___________． 【答案】9或25/25或9 【分析】分两种情况，即或，分别列方程即可解答． 【详解】 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 当时， ， 则可得， ， ，符合题意； 综上，的值为或． 10．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式完成计算； （2）先分别计算二次根式除法、利用平方差公式计算乘法，最后将两部分结果相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．如图，从正方形中裁去面积为和的两个小正方形，，求阴影部分的面积和． 【答案】 【详解】解：依题意：正方形，的边长分别为 ， ． ∴正方形的边长为． ∴阴影部分的面积和为 ． 12．南宋数学家秦九韶提出利用三边计算三角形面积的公式：，其中a，b，c为三角形的三边长，．请利用该公式解决下列问题． (1)若三角形的三边长分别为5，6，7，求该三角形的面积； (2)若，，求该三角形面积S的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得，再利用公式求解即可； （2）求得，代入公式得到，而，求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：已知，，由， 得， ∴， 把，代入公式得， ， ， 又，即， ∴ ， ∴， ∴该三角形面积S的最大值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $