第二章 估算，实数与二次根式 讲义 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

本讲义聚焦估算、实数与二次根式核心知识点，构建从估算方法（通过平方数立方数逼近）到实数概念分类（有理数与无理数），再到二次根式的概念、意义条件及性质的递进式学习支架，形成完整知识脉络。 资料设计凸显数学核心素养，通过“微点拨”联系生活情境培养数感，如估算结合日常数据需求，典例与变式训练（如无理数整数部分计算）提升推理意识，实数与数轴结合题型（用数轴表示无理数）发展几何直观。课中助力教师分层教学，课后作业附详细解析，帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第04讲 估算、实数与二次根式 知识清单 知识点01 估算 【微点拨】日常生活中有些数据不需要十分精确时，可以通过应用所学知识进行估算，但要尽可能地减小误差，方法要科学． 估算法：（1）若，则； （2）若，则； 根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小． 例如：，则；，则． 常见实数的估算值：，，． 注意： 还有其他比较实数大小的方法，如数形结合法（数轴上右边的实数始终比左边的大），作差法，作商法等． 知识点01 实数概念及分类 无理数：无限不循环小数统称为无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 无理数常见的三种类型：（1）开不尽的方根；（2）特定结构的无限不循环小数；（3）含有π的绝大部分数. 知识点02 二次根式 1．二次根式的概念：一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式． 2．二次根式满足条件：（1）必须含有二次根号；（2）被开方数必须是非负数． 知识点03 二次根式有无意义的条件 1．二次根式有意义：被开方数为非负数，即； 2．二次根式无意义：被开方数为负数，即； 知识点04 二次根式的性质 1．二次根式（）的非负性 （）表示的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即（）． 2．二次根式的性质：（） 3．二次根式的性质： 题型01  估计算术平方根的取值范围 【典例1】 1. 估计的值在（ ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式1】 2. 估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 题型02  无理数的大小估算 【典例2】 3. 把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ． 【变式2】 4. 写出一个介于和之间的整数 ． 题型03  无理数大小的比较 【典例3】 5. 比较大小： 2 【变式1】 6. 比较大小： （填“”“”或“”）． 题型04  无理数整数部分的有关计算 【典例3】 7. 已知的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 【变式1】 8. 阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来来表示的小数部分，小明的表示方法是有道理的，因为，将这个数减去其整数部分，差就是，又例如∵，即，∴的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是 ，小数部分 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，则的值． (3)已知x是的整数部分，y是其小数部分，直接写出的值． 题型01  实数概念理解 【典例1】 9. 下列说法正确的是（   ） A．正实数和负实数统称实数 B．正数、和负数统称有理数 C．带根号的数和负数统称实数 D．无理数和有理数统称实数 【变式1】 10. 下列说法正确的是（    ） A．两个无理数的和一定是无理数 B．无限小数都是无理数 C．实数可以用数轴上的点来表示 D．分数可能是无理数 题型02  实数的分类 【典例2】 11. 把下列各数填入相应的大括号内： 有理数集合： ；无理数集合： ； 正实数集合： ；负实数集合： ． 【变式1】 12. 把下列各数分别填入相应的集合内： ，0 ， ， ， ， ， 整数集合{                              }； 无理数集合{                           }； 负实数集合{                           }． 题型04  实数与数轴 【典例4】 13. 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ． 【变式2】 14. 如图，已知于点C，点C对应的数是，那么数轴上点B所表示的数是 ．    题型05  实数的大小比较 【典例5】 15. 比较大小（用“，，”表示）： ． 【变式1】 16. 下列四个数：、、、，其中，最小的实数是 ． 题型06  实数的混合运算 【典例6】 17.计算：． 【变式2】 18．计算： (1)． (2)． 题型07  程序设计与实数运算 【典例7】 19．有一个数值转换机，原理如下：当输入的时，输出的 ． 【变式1】 20.在信息技术课上，好学的小明制作了一个关于实数的运算程序如图所示，若输出的y值为时，则输入的实数x可取的负整数值是 ． 题型01 判断是否为二次根式 【典例1】 21.．下列式子不是二次根式的是（  ） A． B． C． D． 题型04 根据二次根式有意义条件求范围 【典例4】 22.若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型05 根据二次根式有意义求值 【典例5】 23.若，则 ． 题型06 根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 【典例6】 24． 当时，化简： ． 25．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答后面的问题： 化简：． 解：隐含条件，解得：， ． 原式． 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简：． 【类比迁移】 （2）实数在数轴上的位置如图所示，化简：． （3）已知为的三边长．化简：． 课后作业 一、单选题 26.估计的值是在（    ） A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间 27.如图，边长为的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，(点在点的右侧)且，则点所表示的数为(   ) A． B． C． D． 28.若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29.下列各式中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 30.与最接近的整数是 ． 31.比较大小：（1） ，（2） 32.使式子有意义，则x的值为 ． 33．，，在数轴上对应点的位置如图，化简： ． 三、解答题 34．计算：． 35．（1）比较与的大小； （2）比较与的大小． 36．若求的值． 37.已知a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示． (1)_______，_______； (2)_______； (3)化简： 38.请回答下列问题： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么__________，____________． (2)是的小数部分，是的整数部分，求____________，____________． (3)求的立方根． 由此我们还可以得到一个真命题：如果，其中x是整数，那么， 请解答下列问题： (1)如果，其中是整数， 且，那么 ， ； (2)已知，其中是整数， 且，求的值． 39．下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记． 无理数的估算： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用来表示的小数部分，你同意我的表示方法吗？ 事实上，我的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 例如： ∵，即， ∴的整数部分是2，小数部分是 根据以上笔记内容，请完成如下任务． (1)任务一：的小数部分为______． (2)任务二：a为 的小数部分，b为的整数部分，请计算的值． (3)任务三：其中x是整数，且求的相反数． 第04讲 估算、实数与二次根式参考答案： 1. ．A 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数，算术平方根，是解题的关键． 根据，得到，即可估算的取值范围． 【详解】解：∵， ∴，即． 故选：A． 2. D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 3. 【分析】本题考查了实数与数轴，估算无理数的大小即可得出答案，估算无理数的大小是解题的关键． 【详解】解：∵，∴不符合题意， ∵，∴符合题意， ∵，∴不符合题意， ∵，∴不符合题意， 故答案为：． 4. 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键．直接根据无理数比较大小即可得出结果． 【详解】解：， 介于和之间的数为：， 故答案为：． 5. 【分析】本题考查的是实数的大小比较，先确定的范围，即可完成比较． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 6. 【分析】此题主要考查了实数比较大小，正确估算无理数的大小是解题关键．直接利用估算无理数的大小方法分析可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7. 1 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，求得a，b的值是解题的关键．先估算出的整数部分，然后可求得a的值，在估算出的整数部分，可求得b的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：1． 8. (1)， (2) (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求出即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：，， ，， ，， ； （3）解：， ， ， ，， ． 9. D 【分析】此题主要考查实数的定义和分类，解题的关键是熟知实数的定义．根据实数的定义判断即可． 【详解】解：A、正实数和负实数统称实数，错误，0也是实数，故不符合题意； B、正数、0和负数统称有理数，错误，正数、0和负数统称实数，故不符合题意； C、带根号的数和分数统称实数，错误，故不符合题意； D、无理数和有理数统称实数，正确，故符合题意； 故选：D． 10. C 【分析】根据实数的有关概念、实数与数轴的关系对各项逐一分析判断即可． 【详解】A. 两个无理数的和可能是无理数，也可能是有理数，如互为相反数的一对无理数和，它们的和是0，是有理数，故本选项说法错误，不符合题意； B. 无理数是无限不循环小数，无限小数不一定是无理数，故本选项说法错误，不符合题意； C. 实数可以用数轴上的点来表示，说法正确，符合题意； D. 分数是有理数，故本选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的有关概念和实数与数轴的关系，熟练掌握实数的基本概念是解题的关键． 11. ，，，；：，，，；，，，，；，，． 【分析】根据实数的分类逐一填写即可． 【详解】解：∵， ∴中 有理数集合为：，，，； 无理数集合为：，，，； 正实数集合为：，，，，； 负实数集合为：，，． 【点睛】本题考查的是实数的分类，实数分为有理数与无理数，无限不循环的小数是无理数，熟记定义是解本题的关键． 12. ## 【分析】本题主要考查了圆的周长及实数与数轴， 解题的关键是求了出．运用圆的周长公式求出周长即可 ． 【详解】解：的长度为：， 点对应的数是， 故答案为：，． 13. ## 【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可． 【详解】解：由图可知： ． 故答案为： 14. 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理与无理数，勾股定理求出的长，进而得到的长，即可得出结果． 【详解】解：由题意，得：， ∴点B所表示的数是； 故答案为：． 15. 【分析】本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小的比较方法是解题的关键．根据两个负数，绝对值大的反而小，进行求解即可． 【详解】解： ，，， ， 故答案为：． 16. 【分析】本题考查实数的大小比较，记住任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 根据负实数绝对值大的反而小即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小， 故答案为：． 17. 24． 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算； （1）利用平方根以及立方根的性质化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案； （2）利用平方和立方根的性质化简，结合实数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19.28． 【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义是正确解答的关键．根据数值转换器，输入，进行计算，一直到是无理数则输出即可． 【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数， 因此第2次计算得，，而2是有理数， 因此第3次计算得，是无理数，则输出． 故答案为：． 20．或 【分析】本题考查了实数的运算，理解程序的运算步骤是解题的关键． 按照程序的运算步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：若1次运算输出的值是时， ， ， 解得：或； 若2次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； 若3次运算输出的值是时， ， ， 解答：或； ，且取负整数， 或， 故答案为：或． 21.B 【分析】此题主要考查了二次根式的概念，正确把握二次根式的定义是解题关键． 直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、是二次根式，故此选项不合题意； B、当时，不是二次根式，故此选项符合题意； C、是二次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项不合题意； 故选：B． 22.B 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解答此题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 根据二次根式有意义的条件，可得：，据此求出实数的取值范围即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：． 故选：B． 23. 【分析】本题主要考查了二次根式的非负性、代数式求值等知识点，根据二次根式的非负性求得x、y的值成为解题的关键． 先根据二次根式的非负性求得x，进而求得y，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 故答案为：． 24．## 【分析】本题考查二次根式性质化简、化简绝对值等知识，由得到，从而将化简即可得到答案，熟记二次根式性质、绝对值的代数意义是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 25．（1）1；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，绝对值的性质，熟练掌握相关法则是解题关键． （1）仿照例题，利用隐含条件得到，再根据二次根式的性质化简即可； （2）由数轴可知，，，进而得到，，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可； （3）由三角形的三边关系可知，，，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：（1）， 隐含条件，解得：， ， 原式； （2）由数轴可知，，， ， ； （3）解：由三角形的三边关系可知，，， ，， ． 26．B 【分析】本题考查估算无理数大小，解题的关键是掌握算术平方根的定义，能估算无理数大小．由，可得，即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：B 27.B 【分析】本题主要考查实数与数轴．根据题意得到，根据实数与数轴的概念即可求解． 【详解】解：，， ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点所表示的数为． 故选：B． 28.C 【分析】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键．根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有， 解得． 故选：C． 29.A 【分析】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简各数是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简，进而判断得出答案． 【详解】解：，故A选项不正确，符合题意； ，故B选项正确，不符合题意； ，故C选项正确，不符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：A． 30. 7 【分析】本题考查估算无理数的大小．估算无理数的大小，再确定更接近的整数，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴最接近的整数是7， 故答案为：7． 31. 【分析】本题考查实数的大小比较，根据平方法和估算法，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即：； 故答案为：；． 32. 且 【分析】本题考查的是零次幂的含义，二次根式，分式有意义的条件，根据代数式的特点可得且，再进一步可得答案． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， 解得：且； 故答案为：且 33．## 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据数轴得到，则，据此求算术平方根和化简绝对值后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 34． 【分析】本题考查实数的运算，根据去括号法则，绝对值的代数意义，立方根和算术平方根将原式化简，再进行加减运算即可．掌握相应的运算法则和性质是解题的关键． 【详解】解： ． 35．（1）；（2）． 【分析】本题考查了实数的大小比较产，做题关键是要掌握一些比较大小的方法。 （1）先确定的范围，再确定的范围，即可比较； （2）先确定的范围，再确定的范围，即可比较； 【详解】解：（1）因为， 所以， 所以 因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， ， 所以， ， 所以. 36． 【分析】此题主要考查了非负数性质以及二次根式，正确得出，的值是解题关键．直接利用算术平方根和偶次方的非负数性质得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ． 37．(1)，c (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，运用数轴判定式子的正负性，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据数轴信息得出，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答． （2）同理，得出，即，再结合二次根式的性质进行化简，即可作答． （3）同理得，再结合二次根式的性质、绝对值进行化简，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ∴， 故答案为：，c； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴ ． 38．(1)2；3 (2)；3 (3)2 【分析】本题考查无理数的估算及立方根的定义，结合已知条件求得对应字母的值是解题的关键． （1）估算出在哪两个连续整数之间即可； （2）结合（1）中所求，估算出，分别在哪两个连续整数之间即可求得，的值； （3）将，的值代入中计算后，根据立方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）， ， 介于连续的两个整数和之间，且， ，， 故答案为：2；3； （2）， ，， 则，， 故答案为：；3； （3）结合（2）可得， 故的立方根为：2． 39.(1) (2)1 (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，相反数，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键． （1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案； （2）根据，可求得a值，根据，可求得b值，代入即可求解； （3）根据，其中x是整数，且可求得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴的小数部分为． （2）解：∵，即， ∴的小数部分为，即； ∵，即， ∴的整数部分为3，即； ∴． （3）解：∵ ∴ ∵其中x是整数，且 ∴，， ∴的相反数． 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $