精品解析：福建省泉州第五中学2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

泉州五中2025—2026学年下学期初一年期末考试 数学试卷 一、单选题 1. 下列各式中，属于方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 2. 能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（ ） A. 三角形的一条高 B. 三角形的一条中线 C. 三角形的一条角平分线 D. 三角形一边的垂直平分线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，由等底同高的三角形面积相等即可判断；理解三角形的中线是解题的关键． 【详解】解：A.三角形的一条高将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意； B.由等底同高的三角形面积相等得，三角形的一条中线将任意一个三角形分成的两部分积一定相等，结论正确，故符合题意； C.三角形的一条角平分线将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意； D.三角形一边的垂直平分线将任意一个三角形分成的两部分面积不一定相等，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 3. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A错误，B正确； ∵， ∴，，故C、D错误． 4. 下面四个图形绕各自的中心旋转后能与自身重合的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的定义分别判断A、B、C、D各选项图形绕各自的中心旋转后能不能与自身重合，能重合的正确，反之错误. 【详解】解：A.此选项的图形绕中心旋转后不能与自身重合，故A错误. B. 此选项的图形绕中心旋转后能与自身重合，故B正确. C. 此选项的图形绕中心旋转后不能与自身重合，故C错误. D.此选项的图形绕中心旋转后不能与自身重合，故D错误. 5. 二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 得：， 解得， 把代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． 6. 一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴，即一元一次不等式的解集是． 7. 如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，，  ，  ． 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】据旋转的性质得出及，从而判定为等腰直角三角形，即可得到的度数． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， ． 9. 如图所示的是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分，其中四边形的最小内角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面镶嵌，正五边形的性质，解题的关键是能够理解题意，将实际问题转化为平面镶嵌问题来求解． 先求出正五边形每个内角的度数，设对角相等的四边形的最小内角为，根据题意，列出关系式，求解即可． 【详解】解：正五边形的内角和为， 则每个内角为， 设对角相等的四边形的最小内角为，则 因为正五边形与四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分， 则，为正整数， 当时，，舍去， 当时，， 当时，， 当时，，舍去， 则对角相等的四边形的最小内角为，A选项符合． 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】由证明可判断①正确；证明可判断②正确；由①②结论得到，，由求解可判断③正确；根据三角形的三边关系可判断④错误． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴，故③正确； ∵在中，， ∴，故④错误， 综上，正确的是①②③． 二、填空题 11. 已知方程，用含的代数式表示，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用等式的性质对方程进行变形，再用含的代数式表示即可求解． 【详解】解：， 移项得：． 12. 已知等腰三角形的两边长分别为2和8，则第三边长为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】没有明确2、8的边的具体名称，要分两种情况进行讨论． 【详解】解：①若腰长为2，则底边为8， 由于，不能构成三角形； ②若腰长为8，则底边为2， 则第三边为8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 13. 若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数为，据此列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， 解得：． 14. 如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积为___． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称图形的性质可得下方的阴影部分的梯形面积等于上方空白部分的梯形面积，则阴影部分面积等于的面积，据此求解即可． 【详解】解：由轴对称图形的性质可得， 故答案为：； 15. 如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 【答案】9 【解析】 【分析】利用平角定义和直角三角形两锐角互余的性质，证明，结合已知条件利用证明，从而得出对应边相等，最后根据线段和差关系求解． 【详解】解：点，，在同一条直线上，， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数1428，，是“快乐数”；又如：四位数2534，，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则_______，若一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由“快乐数”的定义得，即可求出m的值； 由“快乐数”的定义得，整理得，结合、、、的取值范围得，对整理得，可得当或时，能被7整除，即可求解． 【详解】解：是一个“快乐数”， ∴， 解得； 这个数为； 自然数是“快乐数”， ， ， ， ，，，， ∴，， ，， ， ， ∴ ， 自然数能被7整除， 能被7整除， 当或时，能被7整除， ①当时， ，故此种情况不存在； ②当时， ， ， ， ， ， 解得：， ，且为整数， 最大取， 当时， ， ， ， ∴满足条件的数的最大值是6923． 三、解答题 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项即可． 【详解】解：先去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 18. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】； 将解集表示在数轴上，如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式或不等式组的解集的应用，能求出不等式的解集和不等式组的解集是解此题的关键． 先求出每个不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为． 19. 如图，已知，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】由等式的性质可得，由可得，进而可通过角角边的判定定理证明． 【详解】略 20. 如图，在长为，宽为的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，求其中一个小矩形花圃的长与宽． 【答案】一个小花圃的长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设小花圃的长为，宽为，根据大矩形的长和宽与小矩形的长和宽之间的关系，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：设小花圃的长为，宽为，由题意和图，可得： ， 解得， 答：一个小花圃的长为，宽为． 21. 在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： （1）如图，作出水平向右平移个单位长度得到的，再作出关于点成中心对称的； （2）连接（1）中的，，则四边形的面积___________． 【答案】（1）与如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）根据平移和中心对称的概念进行作图即可； （2）使用割补法计算四边形的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ． 22. 如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得； （2）利用面积法即可求出的长． 【小问1详解】 解：∵平分，于点，于点，且， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ， ∴， 又∵是的高， ∴， 即， 解得． 23. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，线段是的中线，求的取值范围． （1）课堂探究： ①小杰在组内经过合作交流，得到解决方法：如图2，延长到使得；再连接．请根据小杰的方法思考：由已知和作图能得到，依据是__________； A． B． C． D． ②若，，如图2，在①的方法下，利用三角形的三边关系可得到这条中线的取值范围是________________； （2）实践应用： 小杰看到校园内有一块五边形花圃，如图3，测得，且，，为边的中点，米，米，请帮小杰求出花圃的面积． 【答案】（1）①B ② （2）花圃的面积是108平方米 【解析】 【分析】（1）①根据中线性质得对应线段相等，结合已知条件，以及一组对顶角相等，可判定三角形全等． ②根据①中的全等三角形可得对应边相等，求出，在中，已知两边长度，根据“三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边”得到的取值范围，进而求出的取值范围． （2）首先作辅助线构造全等三角形，结合中点性质、对顶角相等以及多边形内角和公式，结合已知相等的线段，来判定两组三角形全等，将五边形中的两个小三角形通过全等三角形替换，从而将计算不规则五边形的面积转换为计算一个大三角形的面积来求解. 【小问1详解】 解：∵线段是的中线， ∴． 在和中，， ∴． ②∵， ∴． 在中，，， ∴，即， ∵，即D是的中点， ∴． 【小问2详解】 解：如图，延长至点F，使得．连接、、． ∵M为中点， ∴． 在和中，， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵五边形内角和为， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴. 又∵， ∴，米. 花圃的面积等于五边形内的四个小三角形面积之和， ∵，， ∴五边形的面积等于的面积平方米. 【点睛】计算不规则图形的面积运用割补法，将图形分解为几个小的规则图形面积之和，然后结合三角形全等将其转换为较规则的图形进行求解. 24. 图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 （1）若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块； （2）若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 【答案】（1） （2）解：∵， ∴只能先将的板材先切成四个的小长方形板材，再去切割桌面或者桌腿挡板， ∵桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为， ∴每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板， ∴板材最多可以切出四块桌面， ∵将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料， ∴满足条件的裁切方案： 方案一：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案二：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案三：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案四：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； （3）该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材 【解析】 【分析】（1）将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材即可求解； （2）先将的板材先切成四个的小长方形板材，每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板，据此设计方案即可； （3）根据题意还需要块桌面，块桌腿挡板，分别选择两种方案，设出每种方案需要用到的板材数量，根据桌面和桌腿挡板数量列方程组求解即可． 【小问1详解】 解：将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材，即桌腿挡板尺寸， ∴将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板块； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板， ∴还需要块桌面，块桌腿挡板， ①选择方案一和方案二， 设方案一和方案二用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材； ②选择方案一和方案三， 设方案一和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材； ③选择方案一和方案四， 设方案一和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得不是整数，不合题意； ④选择方案二和方案三， 设方案二和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑤选择方案二和方案四， 设方案二和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑥选择方案三和方案四， 设方案三和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； 综上所述，该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为块和块张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为块和块张板材． 25. 在中，，， （1）平分，交于点，点为延长线上的一点． ①如图1，当点为线段上一点时，连接，若，则是________三角形； ②如图2，当点为线段的延长线上一点时，若，求证：； （2）如图3，在上取点，使得，连接，将沿翻折，点的对应点为，取的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， ①请补全图形； ②求证：． 【答案】（1）①等腰三角形 ②证明：如图，作于F点， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）①如图： ②证明：如图，过D点作交的延长线于G点，则， ∵中，，， ∴， 根据翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质可得，从而可得是等腰三角形． ②作于F点，根据证明，，从而可得，．由即可得证． （2）①依据题意补全图形即可； ②过D点作交的延长线于G点，先根据证明，则可得，．由可得．再根据证明，则可得，由可得． 【小问1详解】 ①解：∵平分， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． ②略 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2025—2026学年下学期初一年期末考试 数学试卷 一、单选题 1. 下列各式中，属于方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 能将任意一个三角形分成面积相等的两部分的是（ ） A. 三角形的一条高 B. 三角形的一条中线 C. 三角形的一条角平分线 D. 三角形一边的垂直平分线 3. 如果，那么下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下面四个图形绕各自的中心旋转后能与自身重合的是（ ） A. B. C. D. 5. 二元一次方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 一元一次不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若点，，在同一条直线上，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的是15世纪艺术家阿尔布雷希特·丢勒利用正五边形和对角相等的四边形拼成的无缝隙、不重叠的平面图形的一部分，其中四边形的最小内角为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，、是斜边上两点，且，过点作，垂足是，过点作，垂足是，交于点，连接，下列结论：①；②；③若，，则；④，其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②③ D. ①②④ 二、填空题 11. 已知方程，用含的代数式表示，则_________ 12. 已知等腰三角形的两边长分别为2和8，则第三边长为__________． 13. 若是关于的一元一次不等式，则的值为______． 14. 如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积为___． 15. 如图，在和中，点，，在同一条直线上，，．若，，则_______． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，那么称这个四位数为“快乐数”．例如：四位数1428，，是“快乐数”；又如：四位数2534，，不是“快乐数”．若一个“快乐数”为，则_______，若一个“快乐数”能被7整除，则满足条件的数的最大值是______． 三、解答题 17. 解方程：． 18. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 如图，已知，，，求证：． 20. 如图，在长为，宽为的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，求其中一个小矩形花圃的长与宽． 21. 在边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，小正方形的顶点叫做格点，顶点都是格点的三角形叫做格点三角形．请按要求完成： （1）如图，作出水平向右平移个单位长度得到的，再作出关于点成中心对称的； （2）连接（1）中的，，则四边形的面积___________． 22. 如图，在中，平分，交于点，于点，于点，是的高，交于点．已知：，，． （1）求的长； （2）求的长． 23. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，线段是的中线，求的取值范围． （1）课堂探究： ①小杰在组内经过合作交流，得到解决方法：如图2，延长到使得；再连接．请根据小杰的方法思考：由已知和作图能得到，依据是__________； A． B． C． D． ②若，，如图2，在①的方法下，利用三角形的三边关系可得到这条中线的取值范围是________________； （2）实践应用： 小杰看到校园内有一块五边形花圃，如图3，测得，且，，为边的中点，米，米，请帮小杰求出花圃的面积． 24. 图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 （1）若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块； （2）若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 25. 在中，，， （1）平分，交于点，点为延长线上的一点． ①如图1，当点为线段上一点时，连接，若，则是________三角形； ②如图2，当点为线段的延长线上一点时，若，求证：； （2）如图3，在上取点，使得，连接，将沿翻折，点的对应点为，取的中点，连接，过点作，垂足为，交于点，连接， ①请补全图形； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $