5.4 三角函数的图象与性质 课时练习- 2026-2027学年 高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质，通过基础巩固、综合应用、拓展提升三层设计，实现从概念理解到问题解决的递进，培养数学抽象、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对称性、奇偶性、周期等基本性质|单选题1-5题直接考查定义辨析，填空题11-12题强化定义域与单调区间求解，夯实概念理解| |中档|值域、单调性、图象变换综合应用|单选题6-10题结合参数讨论性质，填空题13-14题涉及最值与命题判断，提升知识迁移能力| |提升|三角恒等变换与性质综合应用|解答题15-18题含作图、周期计算、实际问题解决，如17题结合三角公式化简求值域，发展逻辑推理与数学建模能力|

5.4 三角函数的图象与性质 课时练习 一、单选题 1.函数 的图像（     ） A. 关于 轴对称        B. 关于直线 对称        C. 关于点 对称        D. 关于点 对称 2.若函数 是偶函数，则 的一个值可能是（    ） A. 0                                          B.                                           C.                                           D.  3.函数 的最小正周期是（    ） A.                                          B.                                          C.                                          D.  4.在 上的值域为     A.                            B.                            C.                            D.  5.的一个单调递增区间是 (   ) A. [ ， ]                  B. [－ ， ]                  C. [－ ， ]                  D. [ ， ] 6.函数 的值域为（    ）   A.                               B.                               C.                               D.  7.已知函数 的图像关于直线 对称，且 ，则 的最小值是(   ) A.                                            B.                                            C.                                            D.  8.定义在区间 的函数 的值域是 ，则 的最大值与最小值之和为（   ） A.                                        B.                                        C.                                        D.  9.将函数 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位，所得函数的一条对称轴为（   ） A.                                  B.                                  C.                                  D.  10.函数 ，则（   ） A. 函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数    B. 函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数 C. 函数的最小正周期为 ，且在 上是减函数     D. 函数的最小正周期为 ，且在 上是增函数 二、填空题 11.函数 的定义域为________． 12.函数 的单调递增区间为________． 13.设函数 ，若 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________． 14.关于函数 ，有以下命题： ①函数 的定义域是 ； ②函数 是奇函数； ③函数 的图象关于点 对称； ④函数 的一个单调递增区间为 ． 其中，正确的命题序号是________． 三、解答题 15.作出函数y=3sin（ x+ ）在长度为一个周期的闭区间上的简图. 16.已知 . （1）求 的最小正周期； （2）求 在区间 上的最大值和最小值. 17.设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3 （Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域为[0，2 +1]，求cos2θ的值． 18.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象如图所示． （1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间； （2）已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角，且f ，求cosA的值． 答案解析部分 一、单选题 1.答案： D 解：当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，A,C不符合题意； 当 时， ，函数值不为0，且无法取到最值，B不符合题意； 当 时， ，函数值为0，关于点 中心对称； 故答案为：D. 【分析】由已知利用正弦函数的对称性，分别判断各选项即可得结果. 2.答案： B 解：函数 是偶函数， ，即 ， 或 ， ， 当 时，可得 ，不满足偶函数定义中的任意性； 当 时， ， ， 当 时， . 故答案为：B. 【分析】由函数的奇偶性的定义可得 需满足的条件为 ， ，结合选项可得答案． 3.答案： B 解： ， ，  故答案为：B 【分析】由三角函数的最小正周期 ，即可求解。 4.答案： C 解：， ， ，即 ， 故答案为：C． 【分析】根据x的取值范围，结合不等式的性质及余弦函数的单调性，即可求出相应函数的值域. 5.答案： A 解：因为 ， 所以由 得 因此一个单调递增区间是[ ， ]， 故答案为：A. 【分析】先将x的系数根据诱导公式化为正数，再由正弦函数的单调性进行求单调增减区间． 6.答案：C 解： ， 当 时， 当 时， .所以值域为  . 故答案为：C 【分析】首先利用同角三角函数的基本关系式转化为关于sinx的一元二次函数，因为sinx故而转化为一元二次函数在指定区间上的最值情况，利用二次函数的单调性即可求出最小值和最大值。 7.答案： B 解：因为函数 的图像关于直线 对称， 所以 （1），由 ，可知 （2）， ⑴-⑵得， ， 又因为  所以 的最小值是2， 故答案为：B。 【分析】因为函数 的图像关于直线 对称，所以 （1），由 ，可知 （2），再将（1）和（2）联立求出和k的关系式，再利用得出 的最小值 。 8.答案： D 解： ，因为 ， 所以 ，由函数 在区间 上的值域为 ， 不妨令 ，则 ， 所以 的最大值为 ； 最小值为 ，所以 故答案为：D 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式为三角型函数，再利用三角型函数的图象，借助函数单调性和值域的条件求出b－a的最值，从而求出最值之和。 9.答案：D 解：函数 的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的解析式为： ，再向右平移 个单位得到函数为： = ，所得函数的图象的一条对称轴为： ． 故答案为：D． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求出所得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴． 10.答案：D 解：对于函数 ， 因为 ， 所以它的最小正周期为 ， 当 时， ，函数 单调递增， 故答案为：D. 【分析】根据题意结合正切函数的周期性和单调性逐一判断得出结论即可。 二、填空题 11.答案： 解：根据题意有 ,有 , 解得 ， 故定义域为 . 【分析】本题主要考查复合函数的定义域，由题中条件可得， 结合正弦函数的图像即可求出x的范围。 12.答案： 解：函数 =2sin（x+ ）， 令 ，k∈Z， 得： ， ∴函数f（x）的单调递增区为： ． 故答案为： ． 【分析】利用辅助角公式化简，结合三角函数的性质可得单调递增区间． 13.答案： 解：因为 对任意的实数x都成立， 所以，当 时函数 取最大值， 所以 因为 ，所以当 时，ω取最小值为 . 故答案为 . 【分析】本题主要考查余弦函数的定义域和最值，由题中条件可得当 时函数 取最大值，从而可得， 再结合， 即可求出ω的最小值。 14.答案：①③ 解：函数 应满足 ， ， 即 ， ，故①正确； 由于 ，故②错； 将 代入 ， 得到 ，故③正确； 由 ， ， 知函数的单调增区间为 ， ，故④错. 【分析】结合正切函数的图像以及性质逐一判断即可得出结论。 三、解答题 15.答案：解：对于函数y=3sin（ x+ ），列表： x+  0     π     2π  x ﹣              y  0  3  0 ﹣3  0 作图： 【分析】用五点法作函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的简图． 16.答案：（1）解：由条件得，   ， 所以 的最小正周期为 . （2）解：因为 ，所以 . 当 时， 的最大值为2； 当 时， 的最小值为-1. 【分析】（1）用辅助角公式对函数进行化简，再用T=求解。 （2）根据正弦函数求最值方法进行求解。 17.答案：解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3 =4sinxcosx﹣4sin2x+3=2sin2x﹣4× +3 =2sin2x+2cos2x+1=2 sin（2x+ ）+1， 令2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z， 解得kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z，又x∈（0，π）， 所以f（x）的单调递减区间是[ ， ]； （Ⅱ）由f（x）=2 sin（2x+ ）+1在[0，θ]上的值域为[0，2 +1]， 令x=0，得f（0）=2 sin +1=3； 令f（x）=2 +1，得sin（2x+ ）=1，解得x= ，∴θ＞ ； 令f（x）=0，得sin（2x+ ）=﹣ ， ∴2x+ ＜ ，解得x＜ ，即θ＜ ； ∴θ∈（ ， ），∴2θ+ ∈（ ， ）； 由2 sin（2θ+ ）+1=0，得sin（2θ+ ）=﹣ ， 所以cos（2θ+ ）=﹣ =﹣ ， 所以cos2θ=cos[（2θ+ ）﹣ ] =cos（2θ+ ）cos +sin（2θ+ ）sin =﹣ × +（﹣ ）× =﹣ ． 【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的单调减区间；（Ⅱ）根据题意，求出sin（2θ+ ）的值，再根据同角的三角函数关系和三角恒等变换求出cos2θ的值． 18.答案：（1）解：由函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的部分图象， 可得 ，∴ω=2， 再根据五点法作图可得2• +φ= ，∴φ= ，f（x）=sin（2x+ ）． （2）解：∵已知△ABC的内角分别是A，B，C，A为锐角， 且f =sinA= ，∴A= ，∴cosA= ． 【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得 cosA 的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $