第11讲指数与指数函数专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦指数与指数函数核心素养，以真题模拟题为载体，覆盖概念、性质及应用，注重运算能力与推理意识培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题1、6|指数幂运算|概念生成：从指数定义到运算性质| |概念辨析|题2、13|指数函数定义判断|原理推导：定义与定义域的关联| |性质应用|题3、4、5、8、10|单调性、奇偶性、图像交点|应用拓展：性质与比较大小、充要条件结合| |综合应用|题9、14、15|实际问题、不等式求解|模型意识：函数性质解决实际与综合问题|

第11讲　指数与指数函数 (时间:45分钟) 1.= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.9 B. C.3 D. 2.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为 (　 ) A.2 B.3 C. D.4 3.[2024·北京顺义区二模] 已知a=log42,b=,c=,则 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 4.“>”是“a<b+1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.[2024·北师大附中模拟] 已知函数f(x)=2x,则对任意x1,x2∈R,且x1<x2,下面说法错误的是 (　 ) A.f(x1)<f(x2) B.f< C.f(x1x2)=f(x1)+f(x2) D.f(x1+x2)=f(x1)f(x2) 6.若函数y=ax(a>1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则a=　　　　.  7. [2025·八省联考] 已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=　　　　.  8.[2024·天津卷] 若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 9.某银行拟在乡村开展小额贷款业务,根据调查的数据,建立了实际还款比例P关于还款人的年收入x(单位:万元)的函数模型:P(x)=(k为常数).已知当贷款人的年收入为9万元时,其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%,则贷款人的年收入约为(参考数据:ln 3≈1.1,ln 2≈0.7) (　 ) A.4万元 B.5万元 C.6万元 D.8万元 10.(多选题)若直线y=与函数y=|ax-1|(a为常数,a>0,且a≠1)的图象有两个公共点,则a的值可以是 (　 ) A. B. C. D.3 11.(多选题)已知函数f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=2x,则 (　 ) A.f(x)-g(x)=2-x B.f(x)在(-∞,+∞)上单调递增 C.f(x)=g(x)有唯一解 D.g(x)≥1 12. 若不等式≤的解集为(-∞,-5]∪[6,+∞),则实数a=　　　　.  13.设f(x)=x,若函数y=f(x)的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),则关于x的不等式ax≥f(a)的解集为　　　　.  14.[2024·肇庆一模] 已知函数f(x)=b·ax(其中a,b为常数,且a>0,a≠1,b≠0)的图象经过点A(1,10),B(2,50). (1)求a,b的值; (2)若关于x的不等式bx-≥m+3在[-2,2]上有解,求m的取值范围. 15.[2024·安徽滁州模拟] 已知函数f(x)=+. (1)求函数f(x)的值域; (2)若x>0时,恒有f(x)<2x-2-x+成立,求实数a的取值范围. 16.(多选题)[2024·长沙长郡中学月考] 已知f(x)=aex+be-x(其中a,b是非零常数),则以下结论正确的是 (　 ) A.如果a=b,那么f(x)为奇函数 B.如果ab<0,那么f(x)为单调函数 C.如果ab>0,那么f(x)没有零点 D.如果ab=1,那么f(x)的最小值为2 17.[2024·山东聊城模拟] 设函数f(x)=ax-a-x(a>0,且a≠1),若f(1)=,且函数g(x)=+-2mf(x)在区间[1,+∞)上的最小值为-2,则实数m的值为　　　　.  参考答案 第11讲　指数与指数函数 1.B　[解析] ==(==3-2=.故选B. 2.A　[解析] ∵函数f(x)=·ax是指数函数,∴a-3=1且a>0,a≠1,解得a=8,∴f(x)=8x,∴f==2.故选A. 3.D　[解析] 因为a=log42=,b=<=,c=>π0=1,所以c>a>b.故选D. 4.A　[解析] 解不等式>得a<b,由a<b可推出a<b+1;由a<b+1不能推出a<b,例如当a=3,b=3时,a<b+1,但a=b.所以“>”是“a<b+1”的充分不必要条件.故选A. 5.C　[解析] 由指数函数的单调性可知f(x)在R上单调递增,因为x1<x2,所以f(x1)<f(x2),故A中说法正确;因为>>0,所以=>==f,故B中说法正确;令x1=1,x2=2,则f(x1x2)==4,f(x1)+f(x2)=+=6,此时f(x1x2)≠f(x1)+f(x2),故C中说法错误;f(x1+x2)=,f(x1)f(x2)=·==f(x1+x2),故D中说法正确.故选C. 6.2　[解析] 因为函数y=ax(a>1)在区间[1,2]上单调递增,所以根据题意得a2-a=2,解得a=2或a=-1(舍去).. 7. e　[解析] 由f(ln 2)f(ln 4)=8,可得aln 2·aln 4=8,即aln 2+ln 4=a3ln 2=8,即(aln 2)3=23,∵a>0,且a≠1,∴aln 2=2,两边取自然对数得ln 2·ln a=ln 2,解得a=e. 8.B　[解析] 因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,即0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0<a<1<b.因为y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,且0<0.2<1,所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0.综上可得,b>a>c,故选B. 9.B　[解析] 由题意得当x=9时,P=50%,则=,得e-0.9+9k=1,所以9k-0.9=0,解得k=0.1,因此P(x)=.当P=40%时,由=,得3e-0.9+0.1x=2,所以e-0.9+0.1x=,所以-0.9+0.1x=ln=ln 2-ln 3≈0.7-1.1=-0.4,解得x≈5,所以当银行希望实际还款比例为40%时,贷款人的年收入约为5万元,故选B. 10.ABC　[解析] 当a>1时,函数y=|ax-1|的大致图象如图①所示,若直线y=与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<<1,即0<a<2,所以1<a<2;当0<a<1时,函数y=|ax-1|的大致图象如图②所示,若直线y=与函数y=|ax-1|的图象有两个公共点,则0<<1,即0<a<2,所以0<a<1.综上可知,a的取值范围为(0,1)∪(1,2),因此结合选项,a的值可以是,,,不可以是3.故选ABC. 11.BD　[解析] 由f(x)+g(x)=2x得f(-x)+g(-x)=2-x,因为函数f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数,所以-f(x)+g(x)=2-x,因此f(x)=,g(x)=.对于A, f(x)-g(x)=-2-x,故A错误;对于B,因为函数y=2x在(-∞,+∞)上单调递增,y=2-x在(-∞,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(-∞,+∞)上单调递增,故B正确;对于C,因为f(x)-g(x)=-2-x<0,所以f(x)=g(x)无解,故C错误;对于D,g(x)=≥=1,当且仅当x=0时取等号,故D正确.故选BD. 12.1　[解析] 原不等式可化为≤,因为y=在定义域R上为减函数,所以x2+x≥2ax+30,即x2+(1-2a)x-30≥0,又原不等式的解集为(-∞,-5]∪[6,+∞),所以关于x的方程x2+(1-2a)x-30=0的两根为-5,6,所以解得a=1. 13.[1,+∞)　[解析] 若a≤0,则对任意的x∈R,2x-a>0恒成立,则函数f(x)的定义域为R,不符合题意,所以a>0.由2x-a≠0可得x≠log2a,因为函数y=f(x)的定义域为{x|x≠1},所以log2a=1,解得a=2,所以f(x)=x,则f(a)=f(2)=2×=2.由ax≥f(a)可得2x≥2,解得x≥1,因此不等式ax≥f(a)的解集为[1,+∞). 14.解:(1)由函数f(x)=b·ax的图象经过点A(1,10),B(2,50), 得解得 (2)由(1)得a=5,b=2,因为函数y=bx=2x在[-2,2]上单调递增,函数y==在[-2,2]上单调递减,所以g(x)=bx-=2x-在[-2,2]上单调递增, 所以g(x)在[-2,2]上的最大值为g(2)=22-=. 因为关于x的不等式bx-≥m+3在[-2,2]上有解, 所以m+3≤,解得m≤, 即m的取值范围为. 15.解:(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}. 当x>0时,f(x)=+1,因为4x>1,所以>0,所以f(x)>1; 当x<0时,f(x)=-1,因为0<4x<1,所以<-2,所以f(x)<-3.综上可得,函数f(x)的值域为(-∞,-3)∪(1,+∞). (2)因为x>0,所以2x-2-x>0,f(x)=+1,则f(x)<2x-2-x+即为+1<2x-2-x+,两边同时乘2x-2-x得2×2-x+2x-2-x<(2x-2-x)2+a+4, 即4x+4-x-(2x+2-x)+2+a>0, 即(2x+2-x)2-(2x+2-x)+a=-+a>0,即a>-+恒成立. 令t=2x+2-x>2,g(t)=-+,由二次函数的性质可知g(t)=-+在(2,+∞)上单调递减,所以当t>2时,g(t)<g(2)=-2,所以a≥-2, 所以实数a的取值范围是[-2,+∞). 16.BC　[解析] 对于A,当a=b时,函数f(x)=ae-x+aex,其定义域为R,满足f(-x)=aex+ae-x=f(x),则f(x)为偶函数,故A错误.对于B,令a>0,b<0,则函数y=aex在其定义域上为增函数,函数y=在其定义域上也为增函数,故函数f(x)=aex+在其定义域上为增函数;令a<0,b>0,则函数y=aex在其定义域上为减函数,函数y=在其定义域上也为减函数,故函数f(x)=aex+在其定义域上为减函数.综上,如果ab<0,那么f(x)为单调函数,故B正确.对于C,当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+be-x≥2=2>0,当且仅当e2x=时等号成立;当a<0,b<0时,函数f(x)=-(-aex-be-x)≤-2=-2<0,当且仅当e2x=时等号成立.综上,如果ab>0,那么函数f(x)没有零点,故C正确.对于D,当ab=1时,b=,所以当a<0,b<0时,函数f(x)=-≤ -2=-2,当且仅当=时等号成立;当a>0,b>0时,函数f(x)=aex+e-x≥2=2,当且仅当=时等号成立.综上,如果ab=1,那么函数f(x)没有最小值.故D错误.故选BC. 17.　[解析] 由f(1)=a-=,且a>0,解得a=3,则f(x)=3x-3-x,则g(x)=+-2m(3x-3-x)=(3x-3-x)2-2m(3x-3-x)+2,令t=3x-3-x(x≥1),因为t=3x-3-x在区间[1,+∞)上单调递增,所以t≥.依题意知函数h(t)=t2-2mt+2在区间上的最小值为-2,函数h(t)=t2-2mt+2的图象的对称轴为直线t=m.当m>时,h(t)在区间上的最小值为h(m)=-m2+2,由-m2+2=-2,解得m=±2,不符合题意;当m≤时,函数h(t)在区间上的最小值为h=-m,由-m=-2,解得m=,符合题意.故实数m的值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $