第04讲 指数与指数函数（专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为逻辑主线，通过基础夯实、重难创新、真题实战三阶训练，系统覆盖指数与指数函数核心考点，提炼分类讨论、数形结合等数学思想，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础演练|10题型41题|指数幂运算公式、图像性质应用、分类讨论|从根式运算到指数函数概念、图像、单调性、值域，形成“运算-性质-应用”链条| |重难创新|15题|转化与化归、新定义问题处理、综合交汇|结合新考法/情境，融合函数奇偶性、恒成立等，深化逻辑推理| |真题实战|5题|高频考点突破、性质灵活运用|聚焦指数幂比较、单调性应用等高考热点，强化模型意识|

第04讲 指数与指数函数 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 根式与指数幂的运算 2 题型02 指数函数的概念、定义域及解析式 2 题型03 指数函数的定点问题 2 题型04 指数函数的图象问题 3 题型05 指数函数的单调性 3 题型06 指数函数的值域（最值） 4 题型07 根据指数函数的最值求参数 4 题型08 比较指数幂的大小 5 题型09 解指数不等式 5 题型10 指数应用题 6 重难·创新演练 7 真题·实战演练 10 模拟·基础演练 考查重点：考查指数幂的化简与运算、指数函数的概念、定义域与解析式求解；重点考查指数函数定点、图象识别、单调性、值域与最值问题，同时涵盖指数幂大小比较、指数不等式求解、指数模型实际应用等核心考点。侧重考查基本公式运用、函数图象性质理解以及分类讨论、数形结合的数学思想，题目难度以基础、中档为主，全面夯实指数函数基础知识与常规解题方法。 题型01 根式与指数幂的运算 1.（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2.计算：__________. 3.已知，则的最小值为__________. 4.（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 题型02 指数函数的概念、定义域及解析式 5.（25-26高三上·广东湛江·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 6.函数的定义域为 （ ） A． B． C． D． 7.下列函数中，定义域为的是（ ） A． B． C． D． 8.若指数函数满足，则___________． 9.（2026·湖南长沙·三模）若为指数函数，且，则______ 题型03 指数函数的定点问题 10.（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（ ） A． B． C． D． 11．（2026·山西太原·模拟）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A． B．8 C． D． 12.（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________． 题型04 指数函数的图象问题 13.已知函数f(x)＝ax－a(a>1),则函数f(x)的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 14.函数f(x)＝的部分图象大致为（ ） 15．（多选）（25-26高三上·山西·阶段检测）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（ ） A． B． C． D． 16.（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是___________． 17.若函数的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是___________． 题型05 指数函数的单调性 18.“”是函数在R上单调递增的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19.（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 20.（25-26高三下·江西赣州·开学）若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 21．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型06 指数函数的值域（最值） 22.函数的定义域为，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 23．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（ ） A． B． C． D． 24.函数的值域为___________． 25.（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 题型07 根据指数函数的最值求参数 26．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（ ） A．3 B． C．3或 D．5或 27.已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________． 28．（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知函数，其中且． （1）若，求的最小值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 题型08 比较指数幂大小 29.设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 30.当时，下列不等式中正确的是（ ） 1. B． C． D． 31.（2026·北京大兴·三模）若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 32.（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（ ） A． B． C． D． 题型09 解指数不等式 33.设，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 34.（2026·四川内江·二模）已知，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 35.（2026·江西萍乡·一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 36.（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为___________． 37.已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为___________． 38.（2026·福建福州·模拟检测）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． （1）求的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 题型10 指数应用题 39．（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（   ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A．6 B．7 C．8 D．9 40．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（   ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 41.（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是___________. 重难·创新演练 设题创新: 本板块在常规考点基础上进行题型创新、情境创新与设问创新。结合新定义、新考法、新载体、新情境命题，融合函数奇偶性、对称性、恒成立、存在性等综合问题；设置多选、分段函数、复合函数综合题型，深度考查指数函数与其他知识的交汇应用。侧重考查逻辑推理、转化与化归能力，区分度较高，贴合新高考命题趋势，强化知识综合运用与数学思维拓展。 1．【新考法】（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·广东广州·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 3. 【新考法】（2026·安徽合肥·模拟）已知指数函数的图象过点，函数，则的最小值为（ ） A． B．0 C．2 D． 4．【新考法】若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5.比较大小，，，则（ ） A． B． C． D． 6．【新考法】（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7. 【新载体】（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8. 【新题型】（多选）已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（ ） A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 9．（2026·江苏南通·模拟）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 10．【新考法】（多选）（2026·广东肇庆·二模）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 11．【新情境】（多选）（2026·河南·三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（ ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 12. 【新定义】若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“a阶依赖函数”.若函数是上的“a阶依赖函数”，则实数的取值范围是___________． 13.已知a>0且a≠1,函数f(x)＝若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大,则a的值为___________． 14. 【新考法】（2026高三上·四川成都·专题练习）已知函数， （1）判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意恒成立，求的取值范围． 15. 【新定义】（2026·河北廊坊·阶段检测）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”. （1）判断函数，是否是“型函数”； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数（其中，为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数，满足的关系式. 真题·实战演练 高频考点：汇总近年高考真题高频考查方向：指数式大小比较、指数型函数零点判断、指数函数单调性综合应用、函数性质综合辨析。命题常结合幂函数、二次函数、不等式等知识交汇考查，以选择题为主，难度中等，重点考查学生对指数函数核心性质的灵活运用，是高考高频命题模块。 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ） A． B． C． D． 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A． B． C． D． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 指数与指数函数 目 录 模拟·基础演练 2 题型01 根式与指数幂的运算 2 题型02 指数函数的概念、定义域及解析式 3 题型03 指数函数的定点问题 4 题型04 指数函数的图象问题 5 题型05 指数函数的单调性 7 题型06 指数函数的值域（最值） 8 题型07 根据指数函数的最值求参数 10 题型08 比较指数幂的大小 11 题型09 解指数不等式 13 题型10 指数应用题 15 重难·创新演练 17 真题·实战演练 27 模拟·基础演练 考查重点：考查指数幂的化简与运算、指数函数的概念、定义域与解析式求解；重点考查指数函数定点、图象识别、单调性、值域与最值问题，同时涵盖指数幂大小比较、指数不等式求解、指数模型实际应用等核心考点。侧重考查基本公式运用、函数图象性质理解以及分类讨论、数形结合的数学思想，题目难度以基础、中档为主，全面夯实指数函数基础知识与常规解题方法。 题型01 根式与指数幂的运算 1.（2026·四川泸州·模拟预测）若正数满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又是正数， 则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故选：D 2.计算：__________. 【答案】 【详解】原式 . 故答案为：38 3.已知，则的最小值为__________. 【答案】18 【详解】易知，由可得； 当且仅当时，即时，等号成立； 因此的最小值为18. 故答案为：18 4.（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【详解】因为，所以，所以． 故答案为： 题型02 指数函数的概念、定义域及解析式 5.（25-26高三上·广东湛江·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合，，故，∴． 故选：B． 6.函数的定义域为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，函数，则函数，即，所以. 故选：C 7.下列函数中，定义域为的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 8.若指数函数满足，则___________． 【答案】27 【详解】令且，因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：. 9.（2026·湖南长沙·三模）若为指数函数，且，则______ 【答案】 【详解】为指数函数，可设且， ，解得：，， 则. 故答案为：. 题型03 指数函数的定点问题 10.（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． 故选：D 11．（2026·山西太原·模拟）已知函数恒过定点，且点在函数的图象上，则的最小值为（ ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【详解】令，即，，所以恒过定点， 因为点在函数的图象上，则有， ， 当且仅当，即时等号成立.则的最小值为. 故选：D 12.（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________． 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 故答案为： 题型04 指数函数的图象问题 13.已知函数f(x)＝ax－a(a>1),则函数f(x)的图象不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】选B.y＝ax(a>1)是增函数,经过点(0,1),因为a>1, 所以函数f(x)的图象需由函数y＝ax(a>1)的图象向下平移超过1个单位长度得到, 所以函数f(x)＝ax－a的图象如图所示.故函数f(x)的图象不经过第二象限. 故选：B. 14.函数f(x)＝的部分图象大致为（ ） 【解析】选B. 由题意得,f(x)的定义域为R,排除C,D;当x≥－2时,f(x)＝,因为0<<1,所以f(x)在[－2,＋∞)上单调递减,排除A. 故选B. 15．（多选）（25-26高三上·山西·阶段检测）若函数的图象经过第二、三、四象限，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若函数的图象经过第二、三、四象限，则的图象如下图所示： 函数单调递减，所以，所以， 由题意可知，解得，所以，， 故选：AC. 16.（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】①当时，作出函数的图像如图（1）． 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，所以． ②当时，作出函数的图像如图（2）， 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，此时无解．所以实数的取值范围是． 故答案为： 17.若函数的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【详解】函数的图象与x轴有公共点，即有实数解．由于，故，解得． 故答案为： 题型05 指数函数的单调性 18.“”是函数在R上单调递增的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由函数在R上单调递增， 可得，解得， 则“”是函数在R上单调递增的必要不充分条件. 故选：B 19.（25-26高三上·贵州安顺·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是奇函数，且在上单调递增 B．是奇函数，且在上单调递减 C．是偶函数，且在上单调递增 D．是偶函数，且在上单调递减 【答案】A 【详解】函数的定义域为，又， 所以为奇函数，又、、均在上单调递增， 所以在上单调递增. 故选：A 20.（25-26高三下·江西赣州·开学）若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上单调递减，令， 又因为单调递减，则在上单调递增，则，所以实数的取值范围是. 故选：A 21．（2026·甘肃金昌·三模）已知，，若函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由在上单调递减知；由在上单调递减知： 当，即满足题意；当，，所以， 由在上单调递减，得，所以， 综上，a的取值范围是. 故选：C 题型06 指数函数的值域（最值） 22.函数的定义域为，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以．即，则，所以函数的值域为． 故选：B 23．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知函数则的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，单调递增，，当时，．综上所述，的值域是． 故选：A 24.函数的值域为___________． 【答案】 【详解】，当且仅当，即时等号成立， 又在上单调递增，所以，所以函数的值域为. 故答案为： 25.（2026·河南开封·模拟预测）高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】,设，因为，则， 所以， 因为，则，即， 所以当时，，当时，，当时，， 所以的值域是. 故选：A 题型07 根据指数函数的最值求参数 26．（2026高三·全国·专题练习）若函数在区间上的最大值是14，则实数的值是（ ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】按分类，借助单调性求出最大值列式求解. 【详解】当时，函数都是R上的减函数，则函数是R上的减函数， 当时，，，则； 当时，函数都是R上的增函数，则函数是R上的增函数， 当时，，，则，所以实数的值是或. 故选：C 27.已知函数， 的值域为，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，取得最小值，最小值为，此时的值域为， 当时，， ①当时，函数在上为单调递增，可得的值域为， 要使得函数的值域为，则，解得； ②当时，函数在为单调递减，可得的值域为， 此时函数的值域不可能为，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. 故答案为：. 28．（25-26高三上·湖南长沙·开学）已知函数，其中且． （1）若，求的最小值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【详解】（1）当时，， 则， ∴当即时，． （2）当时，则在上为增函数， 故的值域为，不符合条件；∴，此时在上为减函数， 故，由题意得，得，又， 解得，即实数的取值范围为． 题型08 比较指数幂大小 29.设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 故选：B. 30.当时，下列不等式中正确的是（ ） 1. B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由，则，， 易知函数在上单调递减，所以，故A错误； 对于B，由，则，易知，故B错误； 对于C，由，则，， 易知函数在上单调递减，所以，故C错误； 对于D，由，则， 易知函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以，故D正确； 故选：D. 31.（2026·北京大兴·三模）若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因为在上递增， 且，所以，即，， 1，因为在上递增，且， 所以，即，所以 故选：D 32.（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，单调递增，单调递减， 单调递增，则单调递增， 故，且，，所以. 故选：D 题型09 解指数不等式 33.设，则关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，解得. 故选：B 34.（2026·四川内江·二模）已知，则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以是奇函数， 则等价于， 则，得，故关于的不等式的解集为. 故选：B 35.（2026·江西萍乡·一模）设和分别为上的偶函数和奇函数，若，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是偶函数，是奇函数，且对任意，有：， 所以，即， 解得：， 代入不等式：.化简可得，即，即， 解得：.所以不等式的解集为. 故选：D 36.（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为___________． 【答案】 【详解】，，即， 即，故不等式的解集为． 故答案为： 37.已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为___________． 【答案】 【详解】，定义域为关于原点对称，所以为偶函数， 又当时，为增函数；当时，为减函数， 所以即， 两边平方整理可得，解得， 所以不等式成立的实数m的取值范围为. 故答案为：. 38.（2026·福建福州·模拟检测）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，． （1）求的解析式； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)． 【详解】（1）解：因为函数的图象过点和，可得，所以， 又因为，所以，则，所以． （2）解：由（1）知：，， 因为不等式在上恒成立，即当时，恒成立， 即在上恒成立，又因为与在上均单调递减， 所以在上也单调递减，所以当时，有最小值，所以， 所以实数的取值范围是． 题型10 指数应用题 39．（2026·广西南宁·三模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过（   ）个小时才能驾驶．（参考数据：，） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】设他经过个小时后血液中酒精含量为， 则， 当时，，即， 解得， 因为时间必须大于小时才能使酒精含量低于，结合选项为整数，故至少需要经过小时才能驾驶.故选项C正确. 故选：C 40．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）某放射性物质在衰变过程中，剩余质量与时间的关系式为，其中为初始质量，T为半衰期（放射性物质的剩余质量衰减到原来一半所需的时间）.已知该物质的半衰期为8天，则大约经过（   ）天后，剩余质量变为初始质量的. 参考数据： A．25 B．27 C．29 D．31 【答案】B 【详解】由题意，，设大约经过天后，剩余质量变为初始质量的， 则有，所以，（天）， 故大约经过27天后，剩余质量变为初始质量的. 故选：B 41.（25-26高三上·黑龙江·阶段检测）碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是___________. 【答案】 【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为， 那么死亡1年后生物体内碳14含量为，死亡2年后生物体内碳14含量为， 死亡5730年后生物体内碳14含量为， 所以，，所以． 故答案为：． 重难·创新演练 设题创新: 本板块在常规考点基础上进行题型创新、情境创新与设问创新。结合新定义、新考法、新载体、新情境命题，融合函数奇偶性、对称性、恒成立、存在性等综合问题；设置多选、分段函数、复合函数综合题型，深度考查指数函数与其他知识的交汇应用。侧重考查逻辑推理、转化与化归能力，区分度较高，贴合新高考命题趋势，强化知识综合运用与数学思维拓展。 1．【新考法】（2026·山东日照·模拟预测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 ，又因为， 所以. 故选：D 2．（2026·广东广州·阶段检测）已知函数的图象如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由于关于直线对称，由图可知对称轴在之间，即， 且在处函数值在之间，即． 故选：A． 3. 【新考法】（2026·安徽合肥·模拟）已知指数函数的图象过点，函数，则的最小值为（ ） A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【详解】设（且），则的图象过点，所以， 所以，所以，则， 令，则， 当且仅当时，即时取等号，所以在上单调递增， 又由，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 故选：C. 4．【新考法】若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得或， 由为增函数，解得或， 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则有或， 则存在，使得不等式，不符合； 当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立， 因此，即.因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 5.比较大小，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 当时，，在上单调递增. ， 因，则,两边取对数得，则，即； 设，则， 在上单调递增. 又，即对恒成立. 令得，,又，∴，，又 综上可得，. 故选：D 6．【新考法】（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得；整理得，解得. 故的取值范围为. 故选：B 7. 【新载体】（2026·河北保定·二模）已知函数 若关于z的不等式 在上有解，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，令函数，即， ，故是奇函数， 因为是上的增函数， 所以是上的减函数，是上的减函数， 因此是上的减函数，也是上的减函数， 将代入不等式， 即，化简可得， 因为是奇函数，所以， 代入可得， 因为是减函数，，所以， 令，，故，， 是对勾函数，在上单调递增， 因此当时，，当时，， 即，则， 在上有解，即大于在上的下确界， 因此实数的取值范围是. 故选：C 8. 【新题型】（多选）已知函数，其中为常数，若函数的图象如图所示，则（ ） A．的图象与坐标轴有三个交点 B．的图象的对称轴在轴左侧 C．关于的方程有两个不等实根 D．在区间上单调递增 【答案】D 【详解】因，函数的图象在上为减函数，则，即得，又图象经过点，即，故得，解得， 于是，，易得该抛物线开口向上，顶点坐标为， 对于A，因函数在上单调递增， 则，即的图象与轴没有交点， 又的图象与轴有唯一交点，即的图象与坐标轴只有一个交点，故A错误； 对于C，关于的方程的实根个数，等于直线与曲线的交点个数， 由A项，因，则直线与曲线的交点个数为0，故C错误； 对于B，的图象的对称轴是直线，在轴右侧，故B错误； 对于D，因的图象对称轴：，在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 9．（2026·江苏南通·模拟）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．若，则实数的最大值为 D．若，则实数的最大值为1 【答案】BC 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以的定义域为， 故A错误；因为函数在上单调递增，则也单调递增，因此单调递减， 则单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为，则，所以， 所以，所以，即. 若恒成立，则要小于等于的下确界，即， 所以实数的最大值为，故C正确； 若，则要小于的上确界，即， 所以实数没有最大值，故D错误. 故选：BC 10．【新考法】（多选）（2026·广东肇庆·二模）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【详解】因为函数在上单调递增，所以原命题等价于“存在，使得函数在区间和上单调递减”. 又因为，所以，故A错误､B正确； 此时在上单调递增，在和上单调递减， 所以在上单调递增，在和上单调递减，故C正确､D错误. 故选：BC 11．【新情境】（多选）（2026·河南·三模）一款运动APP测得某运动员百米赛跑后半小时内心率y（单位：次/分钟）与停止运动后的时间t（单位：分钟）之间的关系满足，其中为正整数，表示不超过的最大整数.当时，心率为120次/分钟，当心率不低于90次/分钟时，身体处于“运动后活跃期”.该运动员的静息心率（休息时的心率）为60次/分钟，则下列结论正确的是（ ） A． B．的最大值为124 C．该运动员第9分钟时恢复到静息心率 D．该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟 【答案】ABD 【详解】对于A，当时，，则，其中，为正整数， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意， 因为单调递减，且为正整数，所以，故A正确； 对于B，当且时，， 所以当时，取得最大值：， 当且时，，， 因为在上单调递减，所以， 所以当时，取得最大值：， 综上，的最大值为124，故B正确； 对于C，当时，， 所以该运动员第9分钟时没有恢复到静息心率，故C错误； 对于D，当且时，， 当时，取得最小值，，所以此阶段该运动员身体一直处于“运动后活跃期”， 当且时，， ，即， 所以，即，解得，所以有，， 综上，当且时，， 因此该运动员的“运动后活跃期”持续时间为5分钟，故D正确. 故选：ABD 12. 【新定义】若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“a阶依赖函数”.若函数是上的“a阶依赖函数”，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【详解】由题意可得，对于任意，总存在使得， 即有，则，即. 故答案为： 13.已知a>0且a≠1,函数f(x)＝若函数f(x)在区间[0,2]上的最大值比最小值大,则a的值为___________． 【答案】或 【解析】①当0<a<1时,函数f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上也单调递减.∵f(0)＝a0＝1>－1＋a,∴函数f(x)在[0,2]上的最大值为f(0)＝1,∵f(2)＝－2＋a<a＝f(1),∴函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)＝－2＋a, ∴－2＋a＋＝1,解得a＝∈(0,1),符合题意. ②当a>1时,函数f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,2]上单调递减. ∵f(1)＝a>－1＋a,∴函数f(x)在[0,2]上的最大值为f(1)＝a.f(2)＝－2＋a,f(0)＝a0＝1, 当a∈(1,3)时,－2＋a<1,此时函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(2)＝－2＋a, 因此有－2＋a＋＝a,无解;当a∈[3,＋∞)时,－2＋a≥1,此时函数f(x)在[0,2]上的最小值为f(0)＝1, 因此有1＋＝a,解得a＝∈(3,＋∞),符合题意.综上所述,实数a的值为. 故答案为：或 14. 【新考法】（2026高三上·四川成都·专题练习）已知函数， （1）判断并用定义证明函数的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）若存在，使得不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)在R上单调递增，证明见解析； (2)； (3) 【详解】（1），函数定义域为在R上单调递增，证明如下， 令，则， 因为，所以，即， 因为，所以，即，所以在R上单调递增； （2）令，因为，所以， 依题意可得在上恒成立，因为，所以在上恒成立， 令，所以，又函数在[1,7]上单调递增， 所以当时，[(，所以； （3）由（1）知，在上的最大值为，所以对任意恒成立， 即，令， ①，即时，在[1,2]上单调递增，所以， 所以，所以； ②，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以； ③，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，所以； ④，即时，在[1,2]上单调递减， 所以，所以，所以 综上可得，的取值范围为． 15. 【新定义】（2026·河北廊坊·阶段检测）对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”. （1）判断函数，是否是“型函数”； （2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若函数（其中，为常数，且）是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数，满足的关系式. 【答案】（1）不是型函数，是型函数 （2） （3） 【详解】（1）因为不可能恒成立，所以不是型函数； 因为，令，所以是型函数. （2）因为任意，恒成立，所以恒成立， 令，因为，所以，则， 由于，的最小值为，所以，即. （3）因为是“型函数”，且存在满足条件的实数对， 所以， 所以，，即. 真题·实战演练 高频考点：汇总近年高考真题高频考查方向：指数式大小比较、指数型函数零点判断、指数函数单调性综合应用、函数性质综合辨析。命题常结合幂函数、二次函数、不等式等知识交汇考查，以选择题为主，难度中等，重点考查学生对指数函数核心性质的灵活运用，是高考高频命题模块。 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则. 所以. 故选：D 3．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为在上递增，且，所以， 所以，即，因为在上递增，且， 所以，即，所以， 故选：D 4．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，，又为增函数，故，即. 故选：A. 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $