第2章 第6节 指数函数、对数函数的关系与幂函数（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 聚焦幂函数与指数对数函数关系，以定义辨析、图像识别、性质应用为主线，通过典例提炼定义法、图像法、单调性比较等解题方法，构建“概念-图像-性质-应用”的知识逻辑链，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础训练组|10题（8选择2填空）|定义法求参数、图像特征分析、单调性比较大小|从幂函数定义（系数、指数）到图像与性质（单调性、奇偶性）| |能力提升组|4题（1选择1填空2解答）|反函数性质应用、函数图像综合判断、不等式恒成立问题转化|结合指数对数函数关系（反函数），形成完整应用体系|

课时冲关13　指数函数、对数函数的关系与幂函数 学生用书　P290 [基础训练组] 1．(2024·呼和浩特市模拟)已知点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图像上，则函数f(x)是(　　 ) A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．定义域内的增函数 解析：B　[∵点在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图像上，∴a－1＝1，解得a＝2，∴2b＝，解得b＝－3， ∴f(x)＝x－3，∴函数f(x)是定义域上的奇函数，且在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数．] 2．(2024·唐山市模拟)已知，c＝ln 3，则(　　 ) A．a＜c＜b　　　　　 B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．b＜a＜c 解析：D　[ 在(0，＋∞)上单调递减． ∴b＜a＜1，又c＝ln 3＞1，则b＜a＜c.] 3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 解析：D　[幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图像上凸，∴0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图像可得2－1<2n，∴－1<n<0，综上所述．] 4．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图像过点(2,1)，其反函数图像过点(2,8)，则a＋b等于(　　) A．6　　 B．5　　 C．4　　 D．3 解析：C　[由题意，知f(x)＝loga(x＋b)的图像过点(2,1)和(8,2)，所以所以解得所以a＋b＝4.] 5．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－的图像可能是(　　) 解析：C　[当a<0时，函数y＝ax－是减函数，且在y轴上的截距－>0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数， ∴A，B，C，D项均不正确．若a>0，则y＝ax－是增函数，截距－<0，y＝xa在(0，＋∞)上是增函数，∴只有C可能正确．] 6．(2024·济宁模拟)放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设初始质量为M0，质量M与时间t(单位：天)的函数关系为M＝M0· (其中h为常数)，若锶89的半衰期(质量衰减一半所用的时间)约为50天，那么锶89的质量从M0衰减至0.66M0所经过的时间约为(参考数据：log20.66≈－0.6)(　　) A．10天 B．20天 C．30天 D．40天 7．设函数f(x)＝a＋bx|x|＋c(a，b，c∈Z)，则点(f(2)，f(－2))不可能在下列函数的图象上(　　) A．y＝x＋2 023 B．y＝x＋2 024 C．y＝x2 023 D．y＝x2 024 解析：A　[因为(f(2)，f(－2))即为(a＋4b＋c，a－4b＋c)， 对于A：若点在函数上，则有a－4b＋c＝a＋4b＋c＋2 023，所以b＝－， 显然b∉Z，所以点不可能在y＝x＋2 023上； 对于B：若点在函数上，则有a－4b＋c＝a＋4b＋c＋2 024，所以b＝－＝－253， 所以当a，c∈Z，b＝－253时，点在y＝x－2 024上； 对于C：若点在函数上，则有(a＋4b＋c)2 023＝a－4b＋c， 若取a＝1，b＝0，c＝0时，(a＋4b＋c)2 023＝a－4b＋c显然成立，所以点可能在y＝x2 023上； 对于D：若点在函数上，则有(a＋4b＋c)2 024＝a－4b＋c，若取a＝1，b＝0，c＝0时，(a＋4b＋c)2 024＝a－4b＋c显然成立，所以点可能在y＝x2 024上．] 8．若，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为________． ＝－23＜0，所以a＞b＞c. 答案：a＞b＞c 9．已知函数f(x)＝y＝在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________. 解析：取值验证．当α＝1时，y＝x0，不满足；当α＝2时，y＝x－在(0，＋∞)上是减函数．因为它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；当α＝3时，y＝满足题意． 答案：3 10．已知幂函数f(x)＝ (m∈N＋)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若该函数经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围． 解：(1)m2＋m＝m(m＋1)，m∈N＋，而m与m＋1中必有一个为偶数，所以m(m＋1)为偶数．所以函数f(x)＝ (m∈N＋)的定义域为[0，＋∞)，并且在定义域上为增函数． (2)因为函数f(x)经过点(2，)， . 所以m2＋m＝2.解得m＝1或m＝－2. 又因为m∈N＋，所以m＝1. 由f(2－a)＞f(a－1)得 解得1≤a＜. 所以实数a的取值范围为. [能力提升组] 11．已知a>0，且a≠1，则函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是(　　) 解析：B　[法一：首先，曲线y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，从而排除A，C. 其次，从单调性来看，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，又可排除D.∴应选B. 法二：若0<a<1，则曲线y＝ax下降且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)上升且过点(－1,0)，所有选项均不符合这些条件．若a>1，则曲线y＝ax上升且过点(0,1)，而曲线y＝loga(－x)下降且过点(－1,0)，只有B满足条件．] 12．已知f(x)＝(a＞0)，若f－1(x)的定义域是，则f(x)的定义域是________． 解析：f－1(x)的定义域即为f(x)的值域，所以≤≤.又a＞0， 所以4≤x≤7.所以f(x)的定义域为[4,7]． 答案：[4,7] 13．若不等式4x－logax＜0，当x∈时恒成立，求实数a的取值范围． 解：要使不等式4x＜logax在x∈时恒成立，即函数y＝logax的图像在内恒在函数y＝4x图像的上方，而y＝4x的图像过点. 由图可知，loga≥2，显然这里0＜a＜1， ∴函数y＝logax递减．又loga≥2＝logaa2，∴a2≥，又0<a<1，∴a≥. ∴所求实数a的取值范围为. 14．已知f(x)＝(a∈R)，f(0)＝0. (1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的反函数； (3)对任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)＞log2. 解：(1)由f(0)＝0，得a＝1，所以f(x)＝. 因为f(x)＋f(－x)＝＋＝＋＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)为奇函数． (2)因为f(x)＝y＝＝1－，所以2x＝(－1＜y＜1)， 所以f－1(x)＝log2(－1＜x＜1)． (3)因为f－1(x)＞log2，即log2＞ log2，所以 所以当0＜k＜2时，原不等式的解集为{x|1－k＜x＜1}； 当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1}． 5 学科网（北京）股份有限公司 $