第10讲二次函数与幂函数专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦二次函数与幂函数，以题载法构建从概念到综合应用的逻辑体系，融合分类讨论、数形结合等思想，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数基础|4题（题1,5,6,8）|待定系数法求解析式、奇偶性与单调性分析|定义→图象特征→性质应用| |二次函数性质|4题（题2,4,7,9）|对称轴法判断单调区间、最值分析|零点→对称轴→单调性→最值| |综合应用|4题（题3,10,13,15）|分类讨论参数范围、恒成立问题转化|性质融合→复杂情境→逻辑推理|

第10讲　二次函数与幂函数 (时间:45分钟) 1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(,4),则α= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C.4 D.8 2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和3,则二次函数f(x)的单调递减区间为 (　 ) A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.(-∞,2] D.[2,+∞) 3. [2025·八省联考] 已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时,f(x)>0,则a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-1,+∞) 4.已知函数f(x)=2x2-mx+1在区间[-1,+∞)上单调递增,则f(1)的取值范围是 (　 ) A.[7,+∞) B.(7,+∞) C.(-∞,7] D.(-∞,7) 5.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(8,4),则下列说法中正确的有 (　 ) A.函数f(x)为增函数 B.函数f(x)为偶函数 C.若x>1,则f(x)>1 D.若0<x1<x2,则<f 6.[2024·北京延庆区一模] 已知函数f(x)=xα(0<α<1)在区间(-1,0)上单调递减,则α的一个取值为　　　　.  7.函数f(x)=|x2-3x+2|的单调递减区间是　　　　　　　　.  8.如图所示是函数y=(m,n∈N*且互质)的图象,则 (　 ) A.m,n是奇数且<1 B.m是偶数,n是奇数,且<1 C.m是偶数,n是奇数,且>1 D.m,n是偶数,且>1 9.对于一个函数,当自变量x取t时,其函数值等于2t,则称t为这个函数的H数.若二次函数y=ax2+4x+c(a,c为常数且a≠0)有且只有一个H数1,且当0≤x≤m时,函数f(x)=ax2+4x+c-2的最小值为-3,最大值为1,则m的取值范围是 (　 ) A.0≤m≤2 B.1≤m≤3 C.2≤m≤3 D.2≤m≤4 10.函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足<0.若a,b∈R,且a<0<b,|a|<|b|,则f(a)+f(b)的值 (　 ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 11..[2024·潍坊二模] 请写出同时满足下面三个条件的一个函数解析式:f(x)=　　　　　.  ①f(1-x)=f(1+x);②f(x)有两个零点;③f(x)有最小值. 12.已知函数f(x)=(m∈N*),且该函数的图象经过点(2,). (1)求m的值; (2)求满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围. 13.已知二次函数y=ax2+bx+2(a,b为实数). (1)若函数图象过点(1,1),对任意x∈R,y>0恒成立,求实数a的取值范围; (2)若函数图象过点(1,1),对任意a∈[-2,-1],y>0恒成立,求实数x的取值范围; (3)若对任意x∈R,y≥0恒成立,当b>0时,求的最小值. 14.(多选题)已知函数f(x)=x2+2x,若存在实数t,使得当x∈[1,m]时,f(x+t)≤3x恒成立,则实数m的值可以为 (　 ) A.3 B.6 C.9 D.12 15.[2025·T8联盟联考] 定义在闭区间[1,3]上的函数f(x)=x2-bx+b2+c(b,c∈R)的最大值与最小值之积为-16,则b的取值范围是　　　　.  参考答案 第10讲　二次函数与幂函数 1.C　[解析] 依题意可得4=()α,则()4=()α,解得α=4.故选C. 2.A　[解析] 因为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交点的横坐标为-5和3,所以f(x)的图象的对称轴方程为x==-1,又a>0,所以f(x)的图象开口向上,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1],故选A. 3.B　[解析] 当a>2,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=当2<x<a时,f(x)=-x2+ax-2a2,此时Δ=a2-4×2a2=-7a2<0,所以f(x)<0,不满足当x>2时,f(x)>0,故a>2不符合题意;当0<a≤2,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),由f(x)>0,可得x>2a,由于x>2时,f(x)>0,故2a≤2,可得0<a≤1;当a=0,x>2时,f(x)=x2>0,符合题意;当a<0,x>2时,f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a),由f(x)>0,可得x>-a,由于x>2时,f(x)>0,故-a≤2,可得-2≤a<0.综上,a的取值范围是[-2,1].故选B. 4.A　[解析] 函数f(x)=2x2-mx+1的图象的对称轴方程是x=,因为函数f(x)在区间[-1,+∞)上单调递增,所以≤-1,解得m≤-4.因为f(1)=3-m,所以3-m≥7,所以f(1)的取值范围是[7,+∞).故选A. 5.BCD　[解析] 设幂函数f(x)=xα(α∈R),因为函数f(x)的图象经过点(8,4),所以8α=4,即23α=22,可得3α=2,解得α=,所以f(x)=,即f(x)=.由f(x)的定义域为R,且f(-x)===f(x),可知函数f(x)为偶函数,所以B正确;分析函数解析式可知,当x>0时,随着x的增大,x2也增大,也增大,所以当x>0时,f(x)单调递增,又f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)单调递减,所以A错误;当x>1时,f(x)单调递增,又f(1)=1,所以当x>1时,f(x)>1,所以C正确;作出函数f(x)的图象如图,为点(x1,f(x1))与点(x2,f(x2))连线中点的纵坐标,f为x=时的函数值,观察图象可知选项D正确.故选BCD. 6.(答案不唯一)　[解析] f(x)=xα(0<α<1)在(0,+∞)上单调递增,要使f(x)在区间(-1,0)上单调递减,只需f(x)为偶函数,不妨取α=,此时f(x)==.函数f(x)的定义域为R,且f(-x)==f(x),故f(x)=为偶函数,满足在区间(-1,0)上单调递减. 7.(-∞,1)和　[解析] 当x≥2或x≤1时,f(x)=x2-3x+2,其图象的对称轴方程为x=;当1<x<2时,f(x)=-x2+3x-2,其图象的对称轴方程为x=.作出f(x)的图象,如图所示,由图可知,f(x)的单调递减区间为(-∞,1)和. 8.B　[解析] 由图象可看出y=为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,当x>0时,随着x的增加,y增加得越来越慢,故∈(0,1)且m为偶数,又m,n∈N*且互质,所以n是奇数.故选B. 9.D　[解析] 由题意,令ax2+4x+c=2x,则方程ax2+2x+c=0有两个相等的实数根,为1,所以解得所以f(x)=-x2+4x-1-2=-(x-2)2+1.令f(x)=-3,得x=0或x=4;令f(x)=1,得x=2.由题意可得2≤m≤4.故选D. 10.B　[解析] 因为函数f(x)对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.由f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上单调递增,不满足题意;当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,满足题意,故f(x)=x-3,且f(x)为奇函数.因为a<0<b,|a|<|b|,所以0<-a<b,所以f(-a)>f(b),所以-f(a)>f(b),所以f(a)+f(b)<0.故选B. 11..x2-2x(答案不唯一)　[解析] 令f(x)=x2-2x,则其图象的对称轴为直线x=1,满足①f(1-x)=f(1+x);令f(x)=x2-2x=0,解得x=0或x=2,满足②f(x)有两个零点;f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,当x=1,f(x)min=-1,满足③f(x)有最小值. 12.解:(1)因为函数f(x)的图象过点(2,),所以==, 所以m2+m=2,解得m=1或m=-2, 又m∈N*,所以m=1. (2)由(1)知f(x)=,故f(x)为[0,+∞)上的增函数,故由f(2-a)>f(a-1),得解得1≤a<,所以满足条件f(2-a)>f(a-1)的实数a的取值范围为. 13.解:(1)依题意得a+b+2=1,即b=-1-a,由对任意x∈R,y>0恒成立,得即 整理得解得3-2<a<3+2,所以实数a的取值范围是(3-2,3+2). (2)由(1)知,b=-1-a,由y>0,得ax2-(1+a)x+2>0,即(x2-x)a-x+2>0.依题意得,(x2-x)a-x+2>0对任意a∈[-2,-1]恒成立, 令g(a)=(x2-x)a-x+2, 则解得<x<,所以实数x的取值范围是. (3)由对任意x∈R,y≥0恒成立,得则a≥,因此≥=+,显然+≥2=1,当且仅当=,即b=4时取等号,由a=且b=4,得a=2,所以当a=2,b=4时,取得最小值1. 14.AB　[解析] 不等式f(x+t)≤3x等价于(x+t)2+2(x+t)-3x≤0,等价于x2+(2t-1)x+t2+2t≤0.令g(x)=x2+(2t-1)x+t2+2t,x∈[1,m],依题意得,存在实数t,使得g(x)≤0在[1,m]上恒成立, 由二次函数的图象与性质知 即 令h(t)=t2+2(m+1)t+m2-m,于是存在实数t∈[-4,0],使得h(t)≤0成立,而m>1,则当-m-1≤-4,即m≥3时,函数h(t)在[-4,0]上单调递增,所以h(-4)=m2-9m+8≤0,可得3≤m≤8;当-4<-m-1<-2,即1<m<3时,h(-m-1)=-1-3m≤0,可得1<m<3.综上,m的取值范围是1<m≤8,选项A,B符合题意,选项C,D不符合题意.故选AB. 15.(-∞,0]∪[8,+∞)　[解析] 记g(x)=x2-bx+b2在[1,3]上的最大值为M(b),最小值为m(b),则[M(b)+c][m(b)+c]=-16,∵16=[M(b)+c][-m(b)-c]≤(当且仅当M(b)+c=-m(b)-c,即M(b)+m(b)+2c=0时取等号),∴M(b)-m(b)≥8.①当≤1,即b≤2时,M(b)=g(3),m(b)=g(1),∴M(b)-m(b)=8-2b≥8,解得b≤0;②当≥3,即b≥6时,M(b)=g(1),m(b)=g(3),∴M(b)-m(b)=2b-8≥8,解得b≥8;③当1<<3,即2<b<6时,M(b)=max{g(1),g(3)},m(b)=g=b2,g(1)-g=∈(0,4),g(3)-g=∈(0,4),均不符合题意.综上可知,b≤0或b≥8,即b的取值范围是(-∞,0]∪[8,+∞). 1 学科网（北京）股份有限公司 $