第5讲 一元二次方程与一元二次不等式 基础巩固练习（适用于艺体生）-2027届高考高三数学第一轮复习

**基本信息** 聚焦一元二次方程与不等式基础，通过“概念-关系-应用”体系化设计，强化数学抽象与推理能力，适配基础薄弱学生一轮复习。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |重知识·牢地基|5个核心知识点|三个“二次”关系表格化；根的分布三要素（判别式/对称轴/端点函数值）；分类讨论（二次项系数）|从定义到方程-函数-不等式关系，再到分式/绝对值不等式转化，形成“概念生成-原理推导-应用拓展”链条| |强练习·熟应用|14题（7单2多3填2解答）|恒成立问题条件转化；含参不等式分类解法|覆盖解不等式、恒成立、根的分布等高频考点，以题载法巩固知识逻辑|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第5讲　一元二次方程与一元二次不等式 （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 重知识 · 牢地基 ❀ 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是_______的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实 根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实 数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ______________ ______________ _______ ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 ______________ _______ _______ 3.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔_____________________. (2)≥0(≤0)⇔____________________________. 4.简单的绝对值不等式 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为______________; |x|<a(a>0)的解集为______________. 4、 一元二次方程根的分布 解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的_______. (2)对称轴x＝－与所给区间的___________关系. (3)区间端点处函数值的_______. 5、常用结论 (1) 当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数_______和_______两种情况讨论. (2) 当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是_______还是_______. (3) 不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. 1　 不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ 2　 不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 一、单选题 1.不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　) A.⌀ B.R C. D. 2.已知关于x的一元二次不等式x2－4x＋2<0的解集为{x|m<x<n}，则m＋n的值是(　　) A.－4 B.4 C.5 D.6 3.(2026·北京海淀区段考)不等式>的解集是(　　) A.(0，2) B.(－∞，0) C.(2，＋∞) D.(－∞，0)∪(0，＋∞) 4.若关于x的不等式mx2－mx－1<0的解集是R，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|－4≤m≤0} B.{m|－4<m≤0} C.{m|0≤m<4} D.{m|－4<m<0} 5.已知集合A＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0}，若2∈A，则a的取值范围为(　　) A.(1，2) B.(1，3) C.[1，2] D.[2，3] 6.若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为(　　) A.{x|－1≤x≤4} B. C. D. 7.(2026·驻马店调研)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为(　　) A.[－5，3) B.[2，3) C.[2，3)∪[4，5) D.[－5，3)∪(4，5] 二、多选题 8.(2026·兰州诊断)下列说法正确的是(　　) A.不等式4x2－5x＋1>0的解集是 B.不等式2x2－x－6≤0的解集是 C.若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，则a的取值范围是⌀ D.若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－ 9.已知一元二次方程x2＋(m＋1)x＋＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<1<x2<3，则m的值可以为(　　) A.－2 B.－3 C.－4 D.－5 三、填空题 10.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3，4)，那么原不等式的解集为　　　　.   11.(2026·太原调研)若{x|0≤x≤1}∩{x|x2－2x＋m>0}＝⌀，则实数m的取值范围为　　　　.  12.(2026·青岛质检)若关于x的不等式0≤ax2＋bx＋c≤2(a>0)的解集为{x|－1≤x≤3}，则3a＋b＋2c的取值范围是　　　　.  四、解答题 13.解关于x的不等式:2a2x2－3ax－2>0，a∈R. 14.已知函数f(x)＝x2－2mx＋2－m. (1)若不等式f(x)≥－mx在R上恒成立，求实数m的取值范围; (2)若f(x)≥0在[0，1]上恒成立，求实数m的取值范围. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 复习课后巩固练习 第5讲　一元二次方程与一元二次不等式 （基础版：专门面向数学基础较弱学生、艺体生的练习） 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ ❀ 重知识 · 牢地基 ❀ 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实 根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实 数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 3.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 4.简单的绝对值不等式 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞);|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 4、 一元二次方程根的分布 解决由一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解. (1)判别式Δ的符号. (2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系. (3)区间端点处函数值的符号. 5、常用结论 (1) 当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论. (2) 当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是⌀. (3) 不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. 1　 不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ 2　 不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ ❀ 强练习 · 熟应用 ❀ 一、单选题 1.不等式4x2＋4x＋1≤0的解集为(　　) A.⌀ B.R C. D. 答案　D 解析　因为4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2， 所以4x2＋4x＋1≤0的解集为. 2.已知关于x的一元二次不等式x2－4x＋2<0的解集为{x|m<x<n}，则m＋n的值是(　　) A.－4 B.4 C.5 D.6 答案　B 解析　令x2－4x＋2＝0，Δ＝16－4×2＝8>0， 由根与系数的关系可得x1＋x2＝4， 故m＋n＝4. 3.(2026·北京海淀区段考)不等式>的解集是(　　) A.(0，2) B.(－∞，0) C.(2，＋∞) D.(－∞，0)∪(0，＋∞) 答案　A 解析　根据题意可知，若≥0， 可得恒成立，不等式无解， 故<0，即x(x－2)<0，解得0<x<2. 4.若关于x的不等式mx2－mx－1<0的解集是R，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|－4≤m≤0} B.{m|－4<m≤0} C.{m|0≤m<4} D.{m|－4<m<0} 答案　B 解析　当m＝0时，原不等式为－1<0，符合题意; 当m≠0时，要使关于x的不等式mx2－mx－1<0的解集为R， 只需 解得－4<m<0. 综上，－4<m≤0. 5.已知集合A＝{x|x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0}，若2∈A，则a的取值范围为(　　) A.(1，2) B.(1，3) C.[1，2] D.[2，3] 答案　A 解析　由x2－(2a＋1)x＋a2＋a<0，解得a<x<a＋1，则A＝(a，a＋1). 因为2∈A，所以a<2<a＋1，解得1<a<2， 故a的取值范围为(1，2). 6.若命题“∃a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a<0”为假命题，则实数x的取值范围为(　　) A.{x|－1≤x≤4} B. C. D. 答案　C 解析　由题意可得，命题“∀a∈[－1，3]，ax2－(2a－1)x＋3－a≥0”为真命题， 即ax2－(2a－1)x＋3－a＝(x2－2x－1)a＋x＋3≥0对a∈[－1，3]恒成立， 则 解得－1≤x≤0或≤x≤4. 7.(2026·驻马店调研)已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为(　　) A.[－5，3) B.[2，3) C.[2，3)∪[4，5) D.[－5，3)∪(4，5] 答案　D 解析　x2－2x－8>0，即(x－4)(x＋2)>0， 解得x<－2或x>4. 2x2＋(2k＋7)x＋7k<0， 即(2x＋7)·(x＋k)<0， ①当k＝时，不等式(2x＋7)(x＋k)<0， 即2<0，无解; ②当k>时，不等式(2x＋7)(x＋k)<0的解集为， 结合题意，此时不等式组的解集为，且仅有一个整数解， 所以－5≤－k<－4，即4<k≤5; ③当k<时，不等式(2x＋7)(x＋k)<0的解集为， 结合题意，要使不等式组仅有一个整数解， 则－3<－k≤5，即－5≤k<3. 综上所述，k的取值范围为[－5，3)∪(4，5]， 故选D. 二、多选题 8.(2026·兰州诊断)下列说法正确的是(　　) A.不等式4x2－5x＋1>0的解集是 B.不等式2x2－x－6≤0的解集是 C.若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立，则a的取值范围是⌀ D.若关于x的不等式2x2＋px－3<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为－ 答案　CD 解析　对于A，4x2－5x＋1>0， 即(x－1)(4x－1)>0，解得x<或x>1，故A错误; 对于B，2x2－x－6≤0，即(x－2)(2x＋3)≤0， 解得－≤x≤2，故B错误; 对于C，若不等式ax2＋8ax＋21<0恒成立， 当a＝0时，21<0是不成立的，所以只能而该不等式组无解， 故C正确; 对于D，由题意得q，1是一元二次方程2x2＋px－3＝0的两根， 从而 而当p＝1时，一元二次不等式为2x2＋x－3<0，即(x－1)(2x＋3)<0， 解得－<x<1，满足题意， 所以p＋q的值为－，故D正确. 9.已知一元二次方程x2＋(m＋1)x＋＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0<x1<1<x2<3，则m的值可以为(　　) A.－2 B.－3 C.－4 D.－5 答案　BC 解析　设f(x)＝x2＋(m＋1)x＋， 由0<x1<1<x2<3， 可得 解得－<m<－. 又因为m∈Z，得m＝－3或m＝－4. 三、填空题 10.甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为(－3，2)，乙写错了常数c，得到的解集为(－3，4)，那么原不等式的解集为　　　　.   答案　(－2，3) 解析　依题意知，c＝－3×2＝－6，－b＝－3＋4＝1，即b＝－1，因此不等式x2＋bx＋c<0， 即x2－x－6<0，解得－2<x<3， 所以原不等式的解集为(－2，3). 11.(2026·太原调研)若{x|0≤x≤1}∩{x|x2－2x＋m>0}＝⌀，则实数m的取值范围为　　　　.  答案　(－∞，0] 解析　若{x|0≤x≤1}∩{x|x2－2x＋m>0}＝⌀， 则x2－2x＋m≤0对于任意x∈[0，1]恒成立， 即m≤－x2＋2x＝－(x－1)2＋1对于任意x∈[0，1]恒成立， 根据二次函数性质可知， 当x＝0时，(－x2＋2x)min＝0， 所以实数m的取值范围为(－∞，0]. 12.(2026·青岛质检)若关于x的不等式0≤ax2＋bx＋c≤2(a>0)的解集为{x|－1≤x≤3}，则3a＋b＋2c的取值范围是　　　　.  答案　 解析　因为不等式0≤ax2＋bx＋c≤2(a>0)的解集为{x|－1≤x≤3}， 所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝1， 且需满足 解得 所以a＋b＋c＝a－2a－3a＋2≥0， 解得a≤，所以a∈， 所以3a＋b＋2c＝3a－2a－6a＋4＝4－5a∈. 四、解答题 13.解关于x的不等式:2a2x2－3ax－2>0，a∈R. 解　当a＝0时，原不等式即为－2>0，该不等式的解集为⌀; 当a≠0时，2a2>0， 原不等式即为(2ax＋1)(ax－2)>0. ①若a<0，则－>，原不等式的解集为; ②若a>0，则－<，原不等式的解集为. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为⌀; 当a<0时，原不等式的解集为 ; 当a>0时，原不等式的解集为 . 14.已知函数f(x)＝x2－2mx＋2－m. (1)若不等式f(x)≥－mx在R上恒成立，求实数m的取值范围; (2)若f(x)≥0在[0，1]上恒成立，求实数m的取值范围. 解　(1)f(x)≥－mx即为x2－mx＋2－m≥0，此不等式在R上恒成立， 则Δ＝(－m)2－4(2－m)≤0， 解得－2－2≤m≤－2＋2， 所以m的取值范围是[－2－2，－2＋2]. (2)f(x)＝x2－2mx＋2－m≥0在[0，1]上恒成立， 若0≤m≤1，函数在[0，1]先减后增， 则f(x)min＝f(m)＝m2－2m2＋2－m≥0， 解得－2≤m≤1， 所以0≤m≤1. 若m<0，函数在[0，1]上单调递增，则f(x)min＝f(0)＝2－m≥0，即m≤2， 所以m<0. 若m>1，函数在[0，1]上单调递减，则f(x)min＝f(1)＝1－2m＋2－m≥0， 即m≤1，此时无解， 综上所述，实数m的取值范围是(－∞，1]. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $