第1章 第4讲 基本不等式(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

**基本信息** 以题载法系统构建基本不等式应用体系，通过分层题型提炼“1的代换”“换元转化”等核心技巧，强化运算推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接应用|1题|基本不等式求积最值|从概念（a+b≥2√ab）到直接应用| |条件最值|2、10题|“1的代换”配凑定值|和定积最大/积定和最小的转化| |分类讨论|3题|变量正负分类求最值|通过推理意识完善解题严谨性| |换元转化|4、9题|t=√(xy)换元降维|代数变形与二次不等式结合| |实际应用|6题|建立造价函数模型|数学语言表达现实问题| |综合辨析|7、8题|等号成立条件判断|多变量关系与均值不等式拓展|

课时分层测评4　基本不等式 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (每小题5分，共50分) 1.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A. B.4 C. D.2 答案：D 解析：由题意得4＝2a＋b≥2，即2≥，两边平方得4≥2ab，所以ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，所以ab的最大值为2.故选D. 2.(2025·山东齐鲁名校大联考一模)已知实数x＞0，y＞0，x＋3y＝2，则＋的最小值为(　　) A.3 B.1＋ C.2＋ D.2＋ 答案：D 解析：因为x＞0，y＞0，且x＋3y＝2，所以＋＝＝≥2＋＝2＋，当且仅当＝，即y＝，x＝－1时取等号.故选D. 3.设实数x，y满足x＋y＝1，y＞0，x≠0，则＋的最小值为(　　) A.2－1 B.2＋1 C.－1 D.＋1 答案：A 解析：当x＞0时，＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当＝，即x＝－1，y＝2－时等号成立，此时有最小值2＋1；当x＜0时，＋＝＋＝＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当＝，即x＝－1－，y＝2＋时等号成立，此时有最小值2－1.所以＋的最小值为2－1.故选A. 4.已知x＞0，y＞0，且x＋y－xy＋3＝0，则xy的最小值为(　　) A.3 B.3 C.9 D.27 答案：C 解析：由题意可知xy＝x＋y＋3≥2＋3，当x＝y＝3时等号成立，即xy－2－3≥0.令＝t(t＞0)，则t2－2t－3≥0，解得t≥3或t≤－1(舍)，即≥3，xy≥9，当且仅当x＝y＝3时，等号成立.故选C. 5.已知a＞b，且ab＝8，则－2的最小值为(　　) A.6 B.8 C.14 D.16 答案：A 解析：因为ab＝8，所以＝＝a－b＋.因为a＞b，所以a－b＞0，所以a－b＋≥2＝8，即≥8，当且仅当a－b＝4时，等号成立，故－2的最小值为6.故选A. 6.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　) A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 答案：C 解析：由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，设总造价是y元，则y＝20×4＋10×(2x＋)≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取等号.所以该容器的最低总造价是160元.故选C. 7.(多选)下列各式中，最小值是6的有(　　) A.x＋ B.2x2＋ C. D. 答案：BD 解析：对于A，由于x可能为负，所以x＋的最小值不是6，故A错误；对于B，因为x2＋1＞0，所以2x2＋＝2＋－2≥2－2＝6，当且仅当x2＝1时等号成立，故B正确；对于C，＝＋＋4，当x，y异号时其最小值应小于4，故C错误；对于D，因为＞0，所以＝＝＋≥2＝6，当且仅当x＝8时等号成立，故D正确.故选BD. 【教师备选】　(多选)下列说法正确的是(　　) A.函数y＝2x＋(x＜0)的最大值为－4 B.函数y＝的最小值为2 C.函数y＝x＋(x＞－2)的最小值为6 D.若x＋y＝4，则x2＋y2的最小值为8 答案：ACD 解析：对于A，对于函数y＝2x＋(x＜0)，2x＋＝－≤－2＝－4，当且仅当－2x＝，即x＝－1时等号成立，故A正确；对于B，y＝＝＋≥2＝2，当＝时，无实数解，所以等号不成立，故B错误；对于C，对于函数y＝x＋(x＞－2)，x＋2＞0，x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝6，当且仅当x＋2＝，即x＝2时等号成立，故C正确；对于D，由基本不等式得≥，所以x2＋y2≥2·＝2×22＝8，当且仅当x＝y＝2时等号成立，故D正确.故选ACD. 8.(多选)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则(　　) A.x2＋y的最小值为 B.＋的最小值为8 C.＋的最大值为 D.log2x＋log4y没有最大值 答案：AC 解析：因为x，y为正实数，且x＋y＝1，所以y＝1－x，x∈(0，1).所以x2＋y＝x2－x＋1＝＋，当x＝时，x2＋y的最小值为，故A正确；＋＝＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝，y＝时等号成立，故B错误；＝x＋y＋2＝1＋2≤1＋x＋y＝2，当且仅当x＝y＝时等号成立，故＋≤，即＋，故C正确；log2x＋log4y＝log2x＋log2＝log2，x2y＝x2＝x·x·≤)3＝，当且仅当x＝2－2x，即x＝时等号成立，所以x≤.所以log2x＋log4y有最大值log2，故D错误.故选AC. [注：本题答案D用的三元均值不等式，详细掌握见本章教材拓展1，同时也可运用导数法求x2的最值] 9.设实数a＞0，x＋(x＞－2)的最小值为6，则a＝　　　　. 答案：16 解析：由于a＞0，x＋2＞0，根据基本不等式x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝2－2，当且仅当x＝－2时，x＋(x＞－2)取到最小值2－2，即2－2＝6，解得a＝16. 10.已知a＞1，b＞0，且＋＝1，则2a＋b的最小值为　　　　. 答案：11 解析： 因为a＞1，b＞0，a－1＞0，所以2a＋b＝2(a－1)＋b＋2＝[2(a－1)＋b]＋2＝7＋＋≥7＋2＝11，当且仅当即a＝4，b＝3时等号成立. (11、12题，每小题5分，共10分) 11.(2025·河北石家庄一模)已知x∈，则f＝＋的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：x∈，－x∈，4－x∈，f＝＋＝＝(17＋＋)≥(17＋2)＝，当且仅当＝，即x＝时等号成立.故选D. 12.(2025·河南郑州一模)已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为　　　　. 答案：12－8 解析：设AE＝x，AF＝y，，则EF＝.因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋＝4，因为x＋y＋＝4≥2＋，当且仅当x＝y＝4－2时取等号，故≤＝4－2，则xy≤24－16，则△AEF面积满足xy≤12－8.故△AEF面积的最大值为12－8. 13.(15分)(多题同解)(1)已知正数x，y满足xy＝8，求的最大值； (2)已知正数x，y满足x＋2y＝1，求的最小值； (3)已知正数x，y满足x＋2y＋xy＝30，求： ①xy的最大值； ②2x＋y的最小值. 解：(1)根据题意，＝xy－2x－y＋2， 因为2x＋y≥2＝8，所以－2x－y≤－8， 从而xy－2x－y＋2≤8－8＋2＝2，当且仅当2x＝y＝4时，等号成立， 所以的最大值为2. (2)根据题意， ＝＝ ＝＋＋8≥2＋8＝8＋4，当且仅当＝，即x＝y＝时，等号成立， 所以的最小值为8＋4. (3)①因为x＞0，y＞0， 根据基本不等式，30＝x＋2y＋xy≥2＋xy(当且仅当x＝2y＝6时取等号). 令＝t(t＞0)，则t2＋2t－30≤0， 解得－5≤t≤3. 又t＞0，所以0＜t≤3，即0＜≤3， 所以0＜xy≤18，故xy的最大值为18. ②由x＋2y＋xy＝30可知，y＝＞0，0＜x＜30， 所以2x＋y＝2x＋＝2(x＋2)＋－5≥2－5＝11， 当且仅当2(x＋2)＝，即x＝2时取等号， 所以2x＋y的最小值为11. (每小题5分，共10分) 14.(2025·天津红桥一模)已知a＞0，b＞0，则＋＋b的最小值为(　　) A.4 B.2 C.4 D.2 答案：D 解析：因为a＞0，b＞0，所以＋＋b≥2＋b＝b＋≥2＝2，当且仅当＝，且b＝，即a＝2，b＝1时，取等号，所以＋＋b的最小值为2.故选D. 15.设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为(　　) A.9 B.1 C. D.4 答案：D 解析：由题意可知，z＝x2－3xy＋4y2，所以＝＝.因为x＞0，y＞0，所以＋－3≥2－3＝1，当＝，即x＝2y时，等号成立，此时取最大值为1，z＝xy＝2y2，所以＋－＝＋－＝－＋＝－＋4，当y＝时，上式取得最大值4，所以＋－的最大值为4.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $