2.2 有理数的加减运算（讲义）数学新教材北师大版七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数加减运算核心知识点，系统梳理加法法则（同号、异号、与0相加）、加法运算定律（交换律、结合律）、减法法则（转化为加法），构建从基础法则到简便运算、新定义运算的递进式学习支架。 该资料亮点在于分层设计与素养融合，随学随练巩固运算能力，应用题型（如生产玩偶数量统计）培养应用意识，新定义运算提升推理意识，特别提醒符号处理等易错点，课中辅助教学高效，课后助力学生查漏补缺。

第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 课标要点 1. 掌握有理数的加法和减法运算法则，能正确进行有理数加减运算。 2. 理解有理数加减法可以互相转化，能将减法转化为加法进行计算。 3. 运用加法运算律进行简便计算，发展运算能力和应用意识，解决实际问题。 学习重难点 重点 1. 掌握有理数加减运算法则，尤其是异号两数相加时符号判断和绝对值处理。 2. 能熟练进行有理数的加减混合运算，并运用运算律简化计算。 难点 1. 准确判断异号两数相加结果的符号，以及减法转化为加法时的符号变化。 2. 在复杂混合运算中正确处理运算顺序和符号，提高运算的准确性和灵活性。 知识点 有理数的加法法则（重点） ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加，仍得这个数. 特别提醒 同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。注意：互为相反数相加得0。勿忘确定符号。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 【答案】(1)3 (2)0 (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 知识点 有理数的加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 特别提醒 交换律（a+b=b+a）和结合律[(a+b)+c=a+(b+c)]可简化计算，但必须带上数前的符号交换位置。例如-3+5应交换为5+(-3)，勿直接写5-3，避免符号错误。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)18 (2) (3) 【详解】（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； 【答案】(1)3 (2) (3)18 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 知识点 有理数的减法法则（重点） 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 随学随练 特别提醒 减去一个数等于加上它的相反数。即a-b = a+(-b)。注意：减法没有交换律。运算时勿直接减，务必转化为加法，并正确改变减数的符号。 1．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)13 (2) (3) (4)18.18 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 3．（25-26七年级上·河北·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)4.55 (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 拓展 有理数的加减中的简便运算 1. 同号结合法 将正数全相加、负数全相加，最后异号两数相加。避免逐项运算易出错。 2. 凑整与相反数结合法 找相加为整数的数（如2.8+7.2）或互为相反数的数（如-5+5），优先结合抵消，简化计算。 3. 同分母结合法 分数加减时，将分母相同的项先合并，再通分处理剩余项，减少通分复杂度。 核心口诀：同号集中、凑整优先、同母合并，带符号搬家时数字前符号要跟紧。 活学活用 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是将小数与分数统一形式，利用加法结合律简化计算． （1）将小数化为分数，再通分计算； （2）将同分母分数结合，利用加法结合律简便计算； （3）将小数化为分数，结合同分母分数计算； （4）将小数化为分数，结合同分母分数计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 拓展 新定义下的有理数加减混合运算 1. 读懂定义，套用公式 仔细阅读新运算规则（如a⊕b=a+b-1），将给定字母替换为具体数字，严格按规则转化为常规有理数算式。 2. 注意运算顺序与符号 新定义中若含括号，先算括号内。转化后按先乘除后加减（若涉及）、同级从左到右的顺序计算，符号变化要小心。 3. 验证特例，检查结果 用简单值代入验证定义理解是否正确，再计算目标式。若结果异常，回头核对规则是否套用反了。 活学活用 1．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算及绝对值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入，计算，即可得答案； （2）根据新运算的定义，先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ． （2）解： ． 2．（25-26七年级上·江西宜春·阶段检测）对于任意有理数m，n定义一种新运算：，例如：． (1)若，，求的值； (2)已知，y是的相反数，求的值． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，列式计算即可； （2）根据相反数的定义求出，再根据新运算，列出算式 进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵y是的相反数， ∴， ∵， ∴ ． 题型 有理数的加法运算 解题贴士 同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减。相反数和为0。先定符号，再算数值。 ▌例1（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解∶原式． ▌对点练1-1（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是熟练掌握有理数的加法法则． （1）先通分，然后按照有理数的加法法则：和取相同的符号，并把绝对值相加； （2）先通分，然后按照有理数的加法法则：和取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减较小的绝对值； （3）先通分，然后按照有理数的加法法则：异号两数相加，和取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （4）同号两数先相加，再进行运算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ▌对点练1-2（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可； （）根据有理数加法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． ▌对点练1-3（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 题型 有理数加法中的符号问题 解题贴士 先看两数符号：同号，和取原符号；异号，取绝对值大的数符号。计算时先定符号，再算绝对值差或和。避免错误：别忽略负号，可先改写成省略加号形式再运算，如(-3)+(-5) = -(3+5)。 ▌例2（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 【详解】解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． ▌对点练2-1（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的基本规则和正负数相加时的和的符号判断．通过理解正数和负数相加的规则，可以快速准确地判断出两个有理数的和为正数时，两数可能的正负组合情况，进而选出正确答案．在处理此类问题时，清晰地识别并应用数学规则是关键． 【详解】解：A：若两个数都是正数，显然它们的和也为正数，A错误； B：若两个数都是负数，它们的和必然为负数，B错误； C：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，C正确； D：若两个数一正一负，为了使和为正数，正数的绝对值必须大于负数的绝对值，D错误． 故选：C ． ▌对点练2-2（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数加法的相关概念. 根据有理数加法的相关概念逐一判断即可. 【详解】A. 当一个加数为负时，两个数的和小于最大的加数，原说法错误； B. 两个数的和等于0，则这两个数互为相反数，原说法错误； C. 两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数，原说法正确； D. 两个数的和为正数，这两个数不一定都是正数，例如 ，和为正数，但两个加数不都是正数，故原说法错误， 故选：C. ▌对点练2-3（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则判断各选项的正误，选出结论不正确的选项即可． 【详解】解：，，同号两数相加，取相同的符号， ∴， ∴A结论正确， ，，，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴， ∴B结论正确； ，，同号两数相加，取相同的符号， ∴， ∴C结论正确； ，，，异号两数相加，取绝对值较大的数的符号， ∴， ∴D结论不正确． 题型 有理数加法运算律 解题贴士 加法交换律（a+b=b+a）和结合律[(a+b)+c=a+(b+c)]可简化计算。先凑整、凑零、凑相反数，同号结合再计算。 ▌例3（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的加法，掌握运算律是解题的关键． （1）根据有理数加法的运算律将同号两数先相加，再计算即可； （2）根据有理数加法的运算律将同分母的先相加，再计算即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 . ▌对点练3-1（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 （5）解：原式 （6）解：原式 ▌对点练3-2（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)0 (2) (3) (4) (5)4 (6) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，有理数的加法的运算律，熟练掌握上述法则与运算律是解题的关键． （1）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （2）写成省略加号和括号的和的形式，同号两数先相加，再进行运算； （3）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （4）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算； （5）写成省略加号和括号的和的形式，分母相同的两数先相加，再进行运算； （6）写成省略加号和括号的和的形式，能凑整两数先相加，再进行运算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． ▌对点练3-3（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)有理数减法法则 (2) (3)二；写成了 (4) 【分析】（1）根据“减法变加法（减一个数等于加它的相反数）”确定第一步的变形依据； （2）第二步调整数的位置，对应加法交换律； （3）检查步骤中符号是否正确，发现第二步，将误写为； （4）先通过加法交换律调整数的顺序，再用结合律分组计算（小数与小数结合、分数与分数结合），最终得出结果． 【详解】（1）解：有理数的减法法则（减去一个数等于加上这个数的相反数）． （2）解：加法交换律：； （3）解：从第二步开始出错，错误原因是：将误写为，符号处理错误； （4）解： ． 题型 有理数的减法运算 解题贴士 减法变加法：a-b=a+(-b)。先变号（减数变相反数），再按加法法则计算。口诀“减号变加号，减数变相反数，再相加”。 ▌例4（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ． 【答案】(1) (2)7 (3)7 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 ▌对点练4-1（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （3）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （4）原式根据有理数加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌对点练4-2（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减运算法则． （1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）利用有理数的减法法则进行计算即可； （8）利用有理数的加减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：． ▌对点练4-3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)2 (3)11 (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10)0 【分析】本题考查了有理数的减法，解题的关键是按照有理数减法的计算法则进行计算． 根据减一个数等于加上这个数的相反数来计算各题即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解：； （8）解：； （9）解：； （10）解：． 题型 有理数的加减混合运算中去括号问题 解题贴士 去括号法则：括号前为“+”，各项不变号；括号前为“-”，各项全变号。多重括号从内向外去，逐层变号防出错。 ▌例5（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 【详解】解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． ▌对点练5-1（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需根据有理数运算法则省略括号和加号后，比较是否与给定算式一致． 【详解】解：选项A：； 选项B：； 选项C：，与给定算式一致； 选项D：． 故选：C． ▌对点练5-2（25-26七年级上·福建厦门·期末）把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，去括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：C． ▌对点练5-3（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的加减运算中去括号和省略加号的规则．根据去括号法则（正号不变号，负号变号），将每个选项的算式去括号并省略加号后，与给定的算式比较即可． 【详解】解：选项A：，不合题意； 选项B：，不合题意； 选项C：，不合题意； 选项D：，符合题意． 故选：D． 题型 有理数的加减混合运算 解题贴士 统一成加法，省略加号和括号。利用加法交换律、结合律凑整、凑零、凑相反数，化繁为简。认真定符号，仔细算。 ▌例6（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． ▌对点练6-1（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ▌对点练6-2（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是将小数与分数统一形式，利用加法结合律简化计算． （1）将小数化为分数，再通分计算； （2）将同分母分数结合，利用加法结合律简便计算； （3）将小数化为分数，结合同分母分数计算； （4）将小数化为分数，结合同分母分数计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． ▌对点练6-3（25-26七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是掌握有理数的加减混合运算． （1）先写成省略加号的和式，再计算； （2）先写成省略加号的和式，再计算； （3）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可； （4）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 题型 有理数的加减混合运算的应用 解题贴士 审题找“变化量”，用正负数表示，列加减算式。先求和再比较。基准数法简化：以某数为基准，记超出为正、不足为负，求和后加基准。 ▌例7（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． 【答案】(1)六，19 (2)910个 (3)301个 【分析】（1）根据表格中每天生产玩偶与计划数量的差值，找出最多和最少的一天，再计算差值； （2）先求出前三天生产玩偶与计划数量的差值总和，再加上前三天计划生产的数量； （3）先求出着一周生产玩偶与计划数量的差值总和，再计算平均每天的生产数量． 【详解】（1）解：根据题意可知，周六那天生产的玩偶最多，比计划多生产12个，生产最少的一天比计划少生产7个， 则周六那天比生产马年玩偶最少的一天多生产个． （2）解：（个）， 答：该玩具厂这一周前三天共生产了910个马年玩偶． （3）解：（个）． 答：该玩具厂这一周平均每天生产301个马年玩偶． ▌对点练7-1（25-26七年级上·福建厦门·期末）临近春节，小芳和妈妈买了一盒酥饼（总共枚），包装标注一盒酥饼总质量合格标准为（）克．为检验质量，小芳选取一个恰当值作为单枚标准质量，并将各枚与标准的差值（单位：克）记为正或负，称重后得到如下不完全的数据表： 第枚 质量（克） 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是_______克， _______， _______； (2)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)小芳妈妈买的酥饼在总质量上是合格的 【分析】本题考查正数与负数的意义，有理数的加减运算，绝对值的应用，将质量合格问题转化为数学计算问题是解题关键． （1）先利用第枚酥饼的质量和偏差求出标准质量，再用各枚酥饼的实际质量减去标准质量，得到对应的偏差值； （2）先计算所有酥饼的偏差总和，再判断其绝对值是否在合格范围（克）内，从而判断总质量是否合格． 【详解】（1）解：已知第枚酥饼质量克，与标准质量的差为克， 则标准质量为克， 第枚酥饼质量为克，则克， 第枚酥饼质量为克，则克． 答：，，． （2）解：各枚酥饼质量与标准质量的差的和为克， ，故酥饼在总质量上是合格的． 答：小芳妈妈买的酥饼在总质量上是合格的． ▌对点练7-2（25-26七年级上·贵州安顺·期末）2025年国庆、中秋假期期间，各地景区游人如织．某景点10月1日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 与前一天相比的人数变化情况/万人 (1)该景点10月2日的游客人数为______万人． (2)该景点在10月2日至8日期间，游客人数最多的一天有多少万人？最少的一天有多少万人? (3)该景点在这八天假期内一共接待了游客多少万人？ 【答案】(1) (2)人数最多为万人；人数最少为万人 (3)一共接待了游客万人 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列出正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义求得每天游客的实际人数后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得（万人）， 即10月2日的游客人数为万人， 故答案为：． （2）解：10月2日的游客人数：（万人）； 10月3日的游客人数：（万人）； 10月4日的游客人数：（万人）； 10月5日的游客人数：（万人）； 10月6日的游客人数：（万人）； 10月7日的游客人数：（万人）； 10月8日的游客人数：（万人）； ∴10月2日至8日，游客人数最多的是10月5日，达到万人； 游客人数最少的是10月8日，达到万人． （3）解：由题意得（万人）， 故一共接待了游客万人． ▌对点练7-3（25-26七年级上·北京·期末）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行五个科目的测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 道法 相对分数 m 已知该产品的物理测试分数为分． (1)请写出表中m的值； (2)在本次测试的五个科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中五个科目的总分． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据“少于基准的分数记为负数”可求解物理的相对分数； （2）用基准分数加上最高的相对分数可求出该产品所得的最高分，用基准分数加上最低的相对分数可求出该产品所得的最低分； （3）先求出所有相对分数的和，再用基准分数科目数相对分数的和，即可求解． 【详解】（1）解：∵该产品的物理测试分数为分， ∴物理的相对分数为：， ∴m的值为； （2）解：该产品所得最高分为：（分）， 该产品所得最低分为：（分）， 故答案为：，； （3）解：∵本次测试中五个科目的相对分数之和为：（分）， ∴该产品在本次测试中五个科目的总分为：（分）． 基础通关 一、单选题 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 【详解】解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我国是最早运用负数运算的国家，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1展示了计算“”的过程，按照此方法，图2展示的计算是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了有理数的加法，解题的关键是：理解图1表示的计算．由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， 所以图2表示的过程应是在计算， 故选：D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 【答案】 【分析】根据有理数的减法求解即可． 【详解】解：． 6．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）气象播报早晨的气温为，中午气温上升了，则中午的气温是___________． 【答案】6 【分析】此题考查了有理数加法的实际应用，根据气温变化，使用有理数加法法则计算中午气温． 【详解】解：∵早晨的气温为，中午气温上升了， ∴中午气温为． 故答案为：． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）设是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，则______． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括最大的负整数、绝对值最小的有理数、最小的正整数，先确定的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵是最大的负整数，∴； ∵是绝对值最小的有理数，∴； ∵是最小的正整数，∴； 将其代入，得； 故答案为：0． 8．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）若x的相反数是2，，则的值为 __________． 【答案】3或 【分析】本题考查了相反数的定义、绝对值的定义，有理数的加法运算． 根据相反数的定义求出x的值，根据绝对值的定义求出y的值，然后代入计算． 【详解】解：∵x的相反数是2， ∴， ∵， ∴或， 当时，； 当时，． 故答案为：3或． 三、解答题 9．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 【答案】(1)开始出错的步骤是②，原习题正确过程见解析，结果为 (2)+ 【分析】（1）根据运算过程判断即可；根据有理数的运算法则进行计算即可； （2）把看作是两个负数的和，可得答案． 【详解】（1）解：在上面的计算过程中，开始出错的步骤是②； ； （2）解：， 故方框内应填上“+”． 11．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)小李在集合点的南边，距集合点1千米 (2) (3)能，理由见解析 【分析】（1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与12进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；结果为这个数的绝对值 (2)9 (3)交换律适用，结合律不适用 【分析】（1）根据已知运算法则即可得到规律； （2）根据规律求解即可； （3）对于交换律，利用规律证明即可，对于结合律，可举例子求解． 【详解】（1）解：由已知运算可得，两数进行运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数与进行运算时，结果为这个数的绝对值； （2）解： ； （3）解：交换律适用，结合律不适用， 设同号时， 则，，故； 设异号时， 则，，故； 设中，则，，故， ∴交换律适用； 对于结合律，不成立， 举例子，设， 则，，结果不同 故对于结合律不适用． 一、单选题 1．（2026·陕西宝鸡·一模）计算：（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的减法运算，运用有理数减法法则计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得． 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列算式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的减法运算，求一个数的绝对值，根据有理数的减法法则，绝对值的意义，逐一进行计算，判断即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，需利用有理数减法法则，将减法转化为加法后，省略加号和括号得到结果． 【详解】解： ． 故选D． 4．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则在，，中，最大的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】先根据数轴确定、的符号及取值范围，再推导和的符号与大致范围，最后通过比较大小确定最大值． 【详解】解：∵由数轴可知，，， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． 5．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质得到m、n的所有可能取值，再结合筛选出符合条件的组合，最后分类计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， 当时，，，均不符合条件，舍去； 当时，，符合要求；，符合要求； 分两种情况计算： 当，时，； 当，时，； ∴的值为或，故A正确． 二、填空题 6．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）计算： ______． 【答案】1 【分析】根据有理数减法法则，减去一个数，等于加上这个数的相反数，进行计算即可． 【详解】解：． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）若方框表示运算，则方框 =_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据方框表示的运算把算式转化为一般的有理数加减混合运算，再根据运算法则进行计算． 【详解】解：由题意可得：原式． 故答案为：. 8．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）将数字，，，8，9，11写在一个骰子的6个面上（如图1），用3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体，则该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是_______． 【答案】30 【分析】本题考查了相对面，有理数的混合运算，理解相对面，有理数加减运算法则是关键． 根据图示找出相对面上的数字，再根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据图1，图2可知， 数字8的邻面是9，11， 数字的邻面是，， ∴的相对面是，的相对面是，的相对面是， ∴图2中，叠放的图形中顶层的数字依次为：，和为， 第二层的数字依次为：，和为， 第一层的数字依次为：，和为， ∴该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是， 故答案为：30 ． 10．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 【答案】 【分析】根据数轴上两点间的距离公式，分别求出点，，所对应的数即可解决问题． 【详解】解：①为原点，，， 点所对应的数为， ， 点所对应的数为， ； ②原点在图中数轴上点的右边，且， 点所对应的数为， ，， 点所对应的数为，点所对应的数为， ； 故答案为：；． 三、解答题 11．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．先化简括号和绝对值，再根据有理数的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2)9 (3) (4)9 【分析】（1）利用有理数的加法运算律求解即可； （2）首先统一成加法，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （3）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 13．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）定义新运算“”：． (1)计算； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，涉及新定义，解题的关键是根据新定义列出算式． （1）由新定义列出算式，再计算即可； （2）由新定义列出方程，再计算即可；． 【详解】（1）解：； （2）解：， ∴， 解得． 14．（25-26七年级上·河南许昌·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【答案】(1)22 (2)该外卖小哥这一周共送餐441单 (3)该外卖小哥这一周的工资收入是1388元 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，正确的列出算式，是解题的关键： （1）用表格中的最大数减去最小数即可； （2）计算表格数据的和，再加上，即可求解； （3）根据工资方案，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：（单）； 故答案为：． （2）解：（单）， 答：该外卖小哥这一周共送餐441单． （3）解：（元）， 答：该外卖小哥这一周的工资收入是1388元． 素养提升 1．我国地域辽阔，南北方地区的气温差异较大．某天石家庄市的平均气温约为，而哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数，则两地的温差为（     ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】先根据相反数的定义求出哈尔滨市的平均气温，再用较高温度减去较低温度计算温差，即可得到结果． 【详解】解：石家庄市平均气温为，哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数， 哈尔滨市的平均气温为． 两地温差为． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义化简绝对值，再计算各选项的结果，即可判断出正确选项． 【详解】解：A、，故A错误． B、，故B错误． C、，故C错误． D、，故D正确． 3．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由在数轴上的对应点的位置可得出，，可得出，，，，进而得出． 【详解】解：根据在数轴上的对应点的位置可知，， ∴，，，， ∴． 综上，选项B正确． 4．魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，即可列式计算． 【详解】解：由白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数，可得图2表示的计算过程是． 二、填空题 5．计算：______． 【答案】 【分析】本题根据有理数减法法则，将原式转化为有理数加法运算，计算得到结果即可． 【详解】解：． 6．若方框表示运算，则方框 =_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据方框表示的运算把算式转化为一般的有理数加减混合运算，再根据运算法则进行计算． 【详解】解：由题意可得：原式． 故答案为：. 7．观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加减运算． 根据前三个图形得到规律：左上角与右下角的两数之和减去右上角与左下角的两数之和，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为：． 8．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，理解题意是解题关键．先设中间正方形四个顶点中右上角的数字为，左下角的数字为，再根据题意列出关系式，整理可得答案． 【详解】解：根据图，设中间正方形四个顶点中右上角的数字为，左下角的数字为． 根据题意，得， 将上式变形，得． 故答案为：． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2)4 (3)3.5 (4) 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加减运算可进行求解； （2）根据有理数的加减运算可进行求解； （3）根据有理数的加减简便运算可进行求解； （4）根据有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 10．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题关键是掌握有理数的加减混合运算． （1）先写成省略加号的和式，再计算； （2）先写成省略加号的和式，再计算； （3）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可； （4）先写成省略加号的和式，再化为同分母的分数，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 11．先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．根据（1）的拆项法即可解答本题． 【详解】解： ． 12．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算及绝对值，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据新运算的定义，代入，计算，即可得答案； （2）根据新运算的定义，先计算，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ． （2）解： ． 13．2025年4月7日是世界卫生日，主题为“健康起点，希望未来”，小亮决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，某天他从家出发，沿着家门口东西方向笔直的道路开始跑步（家到道路的距离忽略不计），如果规定向东跑步的米数记为正数，向西跑步的米数记为负数．当天小亮的跑步记录（单位：m）如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 假设小亮在同一次跑步记录下是单向行驶． (1)跑步结束时小亮距离家多远？ (2)在第几次记录时小亮距离家最远？ (3)若跑步平均每千米消耗60千卡热量，则小亮跑步共消耗多少千卡热量？ 【答案】(1)跑步结束时小亮距离家100； (2)第五次记录时小亮距离家最远； (3)小亮跑步共消耗246千卡热量． 【分析】本题考查了正负数和数轴，有理数的加减运算、有理数的应用，掌握有理数加减法的计算法则，能够理解正负数的含义是解题的关键． （1）将七次跑步记录相加即可； （2）第一次小亮距家400 ，第一次跑步记录加第二次跑步记录为小亮第二次距家的米数，然后，用结果加第三次跑步记录得数为第三次小亮距家的米数，以此类推，最后，结果的绝对值作比较即可； （3）将七次跑步记录的绝对值相加，结果变成千米，然后乘60即可． 【详解】（1）解： 答：跑步结束时小亮距离家100； （2）解：第一次记录时距离家：； 第二次记录时距离家：； 第三次记录时距离家：； 第四次记录时距离家：； 第五次记录时距离家：； 第六次记录时距离家：； 第七次记录时距离家：． ， ∴第五次记录时小亮距离家最远； （3）解：， ∵， ∴(千卡) ． 答：小亮跑步共消耗246千卡热量． 迁移创新 1．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去绝对值符号，然后从左向右依次计算即可； （2）将分母相同的两个数，和为整数的两个数分别结合为一组求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 2．对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)“”运算满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数和实数的知识，解题的关键是根据题目新定义运算，有理数的加减运算，进行解答，即可． （1）根据有理数、定义一种新运算“”，规定：，进行计算，即可； （2）新运算的规定计算，即可； （3）新运算的规定计算，验证是否满足交换律，即可． 【详解】（1）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴； ； ； 故答案为：，，． （2）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴当时，， ∴． （3）解：“”运算满足交换律，理由如下： 当时，， 此时，； 当，，， 此时：； 当时，，， 此时：； 综上：， ∴“”运算满足交换律． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图（1）是2024年11月份的日历表，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图（2）所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图（1）中的结果为_______． (2)深入思考：小明将的方框移动到图（1）中的其他位置，通过计算可以求出的值．探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将过程补充完整． 设，则_______，_______，_______，所以_______．（填写化简后的结果） (3)拓展探究：同学们利用小明的方法，借助图（1）中的日历，继续进行如下探究．在日历中用“Y型框”框住位置如图（3）所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)； (2)设，则，，，所以的值为； (3) 【分析】本题围绕日历中数的位置关系展开，需利用日历每行7天导致相邻数差值固定的规律（同行左右差1，同列上下差7），通过代数表示数并化简运算来探索规律． （1）直接代入已知数计算加减； （2）设，依据日历行列差值确定、、的表达式，再代入化简； （3）设，同理确定、、的表达式，代入化简以得规律． 【详解】（1）解：： （2）日历中，同一行相邻数差1，同一列相邻数差7． 在右侧， ； 在下方两行且左移一列， ； 在下方两行且右移一列， ． 将，，，代入式子： （3）设，根据日历数的规律： 在右侧， ； 在下方一行且右移一列， ； 在下方两行且右移一列， ． 将，，，代入式子： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 2.2 有理数的加减运算 课标要点 1. 掌握有理数的加法和减法运算法则，能正确进行有理数加减运算。 2. 理解有理数加减法可以互相转化，能将减法转化为加法进行计算。 3. 运用加法运算律进行简便计算，发展运算能力和应用意识，解决实际问题。 学习重难点 重点 1. 掌握有理数加减运算法则，尤其是异号两数相加时符号判断和绝对值处理。 2. 能熟练进行有理数的加减混合运算，并运用运算律简化计算。 难点 1. 准确判断异号两数相加结果的符号，以及减法转化为加法时的符号变化。 2. 在复杂混合运算中正确处理运算顺序和符号，提高运算的准确性和灵活性。 知识点 有理数的加法法则（重点） ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加，仍得这个数. 特别提醒 同号相加，取相同符号，绝对值相加；异号相加，取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。注意：互为相反数相加得0。勿忘确定符号。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3) ； (4)． 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 知识点 有理数的加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变.即a＋b=b＋a； （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变.即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）； 特别提醒 交换律（a+b=b+a）和结合律[(a+b)+c=a+(b+c)]可简化计算，但必须带上数前的符号交换位置。例如-3+5应交换为5+(-3)，勿直接写5-3，避免符号错误。 随学随练 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； 2．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2) (3)； 3．（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)． (3)； 知识点 有理数的减法法则（重点） 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.即a－b=a＋（﹣）b 随学随练 特别提醒 减去一个数等于加上它的相反数。即a-b = a+(-b)。注意：减法没有交换律。运算时勿直接减，务必转化为加法，并正确改变减数的符号。 1．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 2．（25-26七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) 3．（25-26七年级上·河北·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)； 拓展 有理数的加减中的简便运算 1. 同号结合法 将正数全相加、负数全相加，最后异号两数相加。避免逐项运算易出错。 2. 凑整与相反数结合法 找相加为整数的数（如2.8+7.2）或互为相反数的数（如-5+5），优先结合抵消，简化计算。 3. 同分母结合法 分数加减时，将分母相同的项先合并，再通分处理剩余项，减少通分复杂度。 核心口诀：同号集中、凑整优先、同母合并，带符号搬家时数字前符号要跟紧。 活学活用 1．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 拓展 新定义下的有理数加减混合运算 1. 读懂定义，套用公式 仔细阅读新运算规则（如a⊕b=a+b-1），将给定字母替换为具体数字，严格按规则转化为常规有理数算式。 2. 注意运算顺序与符号 新定义中若含括号，先算括号内。转化后按先乘除后加减（若涉及）、同级从左到右的顺序计算，符号变化要小心。 3. 验证特例，检查结果 用简单值代入验证定义理解是否正确，再计算目标式。若结果异常，回头核对规则是否套用反了。 活学活用 1．（25-26七年级上·重庆綦江·期末）对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 2．（25-26七年级上·江西宜春·阶段检测）对于任意有理数m，n定义一种新运算：，例如：． (1)若，，求的值； (2)已知，y是的相反数，求的值． 题型 有理数的加法运算 解题贴士 同号相加取相同符号，绝对值相加；异号相加取绝对值大的符号，绝对值相减。相反数和为0。先定符号，再算数值。 ▌例1（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练1-1（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练1-2（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． ▌对点练1-3（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型 有理数加法中的符号问题 解题贴士 先看两数符号：同号，和取原符号；异号，取绝对值大的数符号。计算时先定符号，再算绝对值差或和。避免错误：别忽略负号，可先改写成省略加号形式再运算，如(-3)+(-5) = -(3+5)。 ▌例2（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 ▌对点练2-1（24-25七年级上·青海海东·期末）两个有理数的和是正数．则（   ） A．必须是两个正数 B．可以是两个负数 C．可以是一个正数一个负数，且正数的绝对值较大 D．可以是一个正数一个负数，且负数的绝对值较大 ▌对点练2-2（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．两个数的和一定大于每个加数 B．两个数的和等于0，则这两个数都是0 C．两个数异号，且正数的绝对值较大，则这两个数的和是正数 D．两个数的和为正数，则这两个数都是正数 ▌对点练2-3（25-26七年级上·河北邯郸·阶段检测）下列结论不正确的是（     ） A．若，则 B．若，且，则 C．若，则 D．若，且，则 题型 有理数加法运算律 解题贴士 加法交换律（a+b=b+a）和结合律[(a+b)+c=a+(b+c)]可简化计算。先凑整、凑零、凑相反数，同号结合再计算。 ▌例3（2025七年级上·全国·专题练习）用简便方法计算： (1)； (2)． ▌对点练3-1（24-25六年级上·山东烟台·期中）计算下列各式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) ▌对点练3-2（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． ▌对点练3-3（25-26七年级上·山西忻州·期中）阅读下面的解题过程并解决问题： 计算： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） … (1)上面的计算过程中，第一步变形的依据是_____________； (2)为了计算简便，第二步应用的运算律是_____________；（用符号表示） (3)上面的计算过程，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_____________； (4)请写出正确的解答过程． 题型 有理数的减法运算 解题贴士 减法变加法：a-b=a+(-b)。先变号（减数变相反数），再按加法法则计算。口诀“减号变加号，减数变相反数，再相加”。 ▌例4（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) ； (2) ； (3) ． ▌对点练4-1（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练4-2（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)． ▌对点练4-3（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 题型 有理数的加减混合运算中去括号问题 解题贴士 去括号法则：括号前为“+”，各项不变号；括号前为“-”，各项全变号。多重括号从内向外去，逐层变号防出错。 ▌例5（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-1（25-26七年级上·广西南宁·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-2（25-26七年级上·福建厦门·期末）把写成省略括号和加号的形式为（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-3（25-26七年级上·安徽阜阳·阶段检测）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（    ） A． B． C． D． 题型 有理数的加减混合运算 解题贴士 统一成加法，省略加号和括号。利用加法交换律、结合律凑整、凑零、凑相反数，化繁为简。认真定符号，仔细算。 ▌例6（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1) (2) (3) (4) ▌对点练6-1（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． ▌对点练6-2（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4) ▌对点练6-3（25-26七年级上·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型 有理数的加减混合运算的应用 解题贴士 审题找“变化量”，用正负数表示，列加减算式。先求和再比较。基准数法简化：以某数为基准，记超出为正、不足为负，求和后加基准。 ▌例7（25-26七年级上·陕西汉中·期末）某玩具厂计划一天生产300个马年玩偶，但由于各种原因，实际每天生产马年玩偶的数量与计划每天生产马年玩偶的数量相比有出入．下表是某一周的生产情况（超过计划数量的部分记作正数，不足计划数量的部分记作负数，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录可知这一周生产马年玩偶最多的一天是星期______，比生产马年玩偶最少的一天多生产______个； (2)该玩具厂这一周前三天共生产了多少个马年玩偶？ (3)求该玩具厂这一周平均每天生产马年玩偶的数量． ▌对点练7-1（25-26七年级上·福建厦门·期末）临近春节，小芳和妈妈买了一盒酥饼（总共枚），包装标注一盒酥饼总质量合格标准为（）克．为检验质量，小芳选取一个恰当值作为单枚标准质量，并将各枚与标准的差值（单位：克）记为正或负，称重后得到如下不完全的数据表： 第枚 质量（克） 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是_______克， _______， _______； (2)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． ▌对点练7-2（25-26七年级上·贵州安顺·期末）2025年国庆、中秋假期期间，各地景区游人如织．某景点10月1日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化情况如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）． 日期 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 与前一天相比的人数变化情况/万人 (1)该景点10月2日的游客人数为______万人． (2)该景点在10月2日至8日期间，游客人数最多的一天有多少万人？最少的一天有多少万人? (3)该景点在这八天假期内一共接待了游客多少万人？ ▌对点练7-3（25-26七年级上·北京·期末）（人工智能）技术有望为传统的教学方式带来新变化，如解题．某公司为测验其产品的解题能力，尝试利用最新考试题进行五个科目的测试，分数记录以分为基准，超过基准的分数记为正数，少于基准的分数记为负数．将测试的相对分数记录如下： 科目 语文 数学 英语 物理 道法 相对分数 m 已知该产品的物理测试分数为分． (1)请写出表中m的值； (2)在本次测试的五个科目中，该产品所得最高分为 分，最低分为 分； (3)求该产品在本次测试中五个科目的总分． 基础通关 一、单选题 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 2．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27七年级·全国·暑假作业）将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我国是最早运用负数运算的国家，在古代数学名著《九章算术》中就记载了利用算筹实施“正负术”的方法．图1展示了计算“”的过程，按照此方法，图2展示的计算是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26七年级下·内蒙古包头·阶段检测）计算：______． 6．（25-26七年级上·浙江湖州·期末）气象播报早晨的气温为，中午气温上升了，则中午的气温是___________． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）设是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是最小的正整数，则______． 8．（24-25七年级上·新疆喀什·期中）若x的相反数是2，，则的值为 __________． 三、解答题 9．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．（2026·河北邯郸·二模）习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程． 习题：计算． 解： ，………① …………② …………③ (1)在上面的计算过程中，开始出错的步骤是________（填序号）；请写出原习题正确的计算过程和结果． (2)为了强化计算，数学老师写出如下变式，，填入□中使得算式成立的符号是________；（填“+”或“-”） 11．（25-26七年级上·宁夏吴忠·期末）小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶12千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 12．（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）定义新运算 “”，根据运算规律完成作答： ，，，，，． (1)归纳 “” 运算法则：两数进行运算时，_________；任何数与进行运算时，___________． (2)计算：； (3)判断交换律、结合律在该运算中是否适用． 一、单选题 1．（2026·陕西宝鸡·一模）计算：（    ） A．1 B． C．3 D． 2．（2025七年级上·浙江·专题练习）下列算式正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·云南昆明·阶段检测）把算式写成省略加号和括号的形式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东日照·开学考试）有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则在，，中，最大的是（　　） A． B． C． D．不能确定 5．（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）若，且，则的值为（   ） A．或 B．10或2 C．或2 D．10或 二、填空题 6．（2026九年级下·吉林长春·专题练习）计算： ______． 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）若方框表示运算，则方框 =_____． 8．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 9．（25-26七年级上·甘肃兰州·期末）将数字，，，8，9，11写在一个骰子的6个面上（如图1），用3个这样的骰子叠放成如图2所示的柱体，则该柱体的表面（不含下底面）上的数字之和是_______． 10．（25-26七年级上·河南开封·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左至右有，，三点，其中，，设点，，所对应的数的和是，若以为原点，根据点，所对应的数，计算的值为______；若原点在图中数轴上点的右边，且，计算的值为______． 三、解答题 11．（25-26七年级上·内蒙古包头·阶段检测）计算 (1)； (2)． 12．（22-23七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 (1) (2) (3) (4) 13．（25-26七年级上·甘肃定西·阶段检测）定义新运算“”：． (1)计算； (2)若，求的值． 14．（25-26七年级上·河南许昌·期末）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过60单（送一次外卖称为一单）的部分记为“＋”，低于60单的部分记为“－”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送_____单； (2)该外卖小哥这一周总共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成．送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过60单的部分，每单补贴2元；超过60单但不超过70单的部分，每单补贴4元；超过70单的部分，每单补贴6元．该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 素养提升 1．我国地域辽阔，南北方地区的气温差异较大．某天石家庄市的平均气温约为，而哈尔滨市的平均气温恰好为这个数据的相反数，则两地的温差为（     ） A． B． C．0 D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．魏晋时期，数学家刘徽在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的记数工具）分别表示正数和负数（白色为正，黑色为负）．图1表示的是的计算过程，则图2表示的计算过程是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．计算：______． 6．若方框表示运算，则方框 =_____． 7．观察前三个图形，若按照得到的计算规律，第四个图形的计算结果为___________． 8．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是___________． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 11．先阅读理解第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题． （1）计算： 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． （2）请用拆项法计算：． 12．对于任意有理数，定义一种新运算：． (1)若，，求的值； (2)求的值． 13．2025年4月7日是世界卫生日，主题为“健康起点，希望未来”，小亮决定以跑步的方式践行“健康人人参与”，某天他从家出发，沿着家门口东西方向笔直的道路开始跑步（家到道路的距离忽略不计），如果规定向东跑步的米数记为正数，向西跑步的米数记为负数．当天小亮的跑步记录（单位：m）如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 假设小亮在同一次跑步记录下是单向行驶． (1)跑步结束时小亮距离家多远？ (2)在第几次记录时小亮距离家最远？ (3)若跑步平均每千米消耗60千卡热量，则小亮跑步共消耗多少千卡热量？ 迁移创新 1．计算： (1) (2)． 2．对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 3．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段检测）如图（1）是2024年11月份的日历表，小明在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图（2）所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律． (1)初步分析：计算图（1）中的结果为_______． (2)深入思考：小明将的方框移动到图（1）中的其他位置，通过计算可以求出的值．探索（1）中运算的规律，其过程如下，请你将过程补充完整． 设，则_______，_______，_______，所以_______．（填写化简后的结果） (3)拓展探究：同学们利用小明的方法，借助图（1）中的日历，继续进行如下探究．在日历中用“Y型框”框住位置如图（3）所示的四个数，探究“”的值的规律，写出你的结论，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $