2.3 有理数的乘除运算（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学资料聚焦有理数的乘除运算，系统梳理乘法法则（两数相乘、多个数相乘）、倒数概念、乘法运算律，进而衔接除法法则（两数相除、除以一个数等于乘其倒数），构建从基础定义到运算应用的学习支架。 知识链路按“定义-法则-运算律-除法转化”逻辑递进，体现抽象能力培养。习题涵盖工程问题、生活情境（如盈亏计算、跳绳比赛）等，融合运算能力与应用意识，题型多样覆盖选择、填空、解答，助力学生形成完整知识框架与实践能力。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.3 有理数的乘除运算（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数的乘法 1、有理数的乘法法则。 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 2、倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。 3、多个有理数相乘的法则。 几个因数相乘，有一因数为0，积就为0；同样，积为0，则至少有一个因数为0。 几个不等于0的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 4、有理数乘法的运算律。 （1）乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即 ab= ba； （2）乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a（b+c）=ab+ac，其中a，b，c均为有理数 知识点二有理数的除法 1、有理数的除法法则。 （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。 （2）除以一个数等于乘这个数的倒数。 一、选择题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 2．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】先对81分解因数，根据四个互不相等整数的乘积为正，确定四个整数的取值，再计算和即可． 【详解】解：∵，且是互不相等的整数，将81分解为四个互不相等整数的乘积，可得： ， 或， 或， 或， 或， ∴， 或， 或 或， 或， 观察四个选项，只有0符合，故A正确． 3．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关：用右手4根手指的12个指关节依次表示数字1～12，同时用左手的5根手指表示12的倍数，两者表示的数值相加即为所表示的数．例如，当左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的数是．若左手伸出3根手指，右手掐住第11指关节时，所表示的十进制数字是（　　） A．14 B．41 C．47 D．58 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，即可得出答案． 【详解】解：左手伸出三根手指，表示， 右手大拇指掐住第 11指关节，表示11， 则表示的十进制数字是． 4．一个数的倒数等于它本身，则这个数是（ ） A．1 B． C． D．和0 【答案】C 【分析】根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，找出倒数等于自身的数即可． 【详解】解：∵， ∴1的倒数是1， ∵， ∴的倒数是， ∵0没有倒数， ∴选项D不符合题意， 综上：倒数等于本身的数是1和． 5．在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 【答案】B 【分析】本题考查乘法运算律的识别，需根据各运算律的定义判断算式变形所运用的规律． 【详解】解：运用了乘法交换律，未涉及分配律和结合律 故选：B． 6．海淀区某路段改造工程，甲工程队单独施工需天完成，乙工程队单独施工需天完成，两队合作施工，完成工程所需的天数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题为工程问题，考查了有理数的混合运算，将总工作量看作单位“”，先求出甲、乙两队的工作效率，再计算两队合作的工作效率，最后根据“工作时间总工作量合作工作效率”求解所需天数即可． 【详解】解：∵设总工作量为，甲工程队单独施工需天完成， ∴甲的工作效率为； ∵乙工程队单独施工需天完成， ∴乙的工作效率为； ∴两队合作的工作效率为， 故两队合作完成工程所需天数为（天）． 故选：A． 二、填空题 7．在数轴上，点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是8，则这两点所表示的数分别是______． 【答案】和 【分析】利用相反数的定义结合数轴上两点间距离的性质求解即可． 【详解】解：点和点分别表示互为相反数的两个数， 原点到点与原点到点的距离相等，且两个数一正一负， ，两点间的距离是， 原点到点和点的距离都等于， 这两点所表示的数分别是和． 8．计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算．先计算乘除运算，将除法转化为乘法，利用有理数运算法则，负负得正，最后计算数值． 【详解】解：原式 故答案为：． 9．，则M的整数部分是( )，M的小数部分是( )． 【答案】 【分析】将原式转化为，进行计算即可． 【详解】解：， ， M的整数部分为，小数部分为． 10．如图所示，在容器中放入个圆柱形铁块和个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是 __立方厘米． 【答案】 【分析】先根据等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，将圆柱体积转化为等底等高圆锥体积的倍数，再结合溢出的水的体积，求出单个圆锥的体积。 【详解】解：毫升立方厘米 （立方厘米） 答：每个圆锥形零件的体积是立方厘米． 故答案为：． 11．如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 12．有理数在数轴上的对应点位置如图所示.五个数中最大的是_____. 【答案】 【分析】本题考查了数轴上有理数的大小比较及相反数的概念，解题的关键是根据数轴上点的位置确定、的取值范围，再求出、的范围，进而比较五个数的大小； 先由数轴得出，，再推出，，最后比较、、、、的大小． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴ ，， ∴ ， 故五个数中最大的是． 故答案为：． 三、解答题 13．计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 14．有一个摸球游戏：如图，有6个小球，每个小球上分别写了一个数． (1)将上述各数表示在如图所示的数轴上，并用“<”号将各数连接起来． (2)若图中所有分数的和为a，所有整数的积为b，求的值． 【答案】(1)数轴见解析， (2) 【分析】（1）先在数轴上表示出各数，再根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可； （2）先将所有分数的和为a进行计算，再将所有整数的积为b进行计算，再将所得结果代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：将各数表示在数轴上如图所示： ∴． （2）解：∵，， ∴． 15．某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 【答案】 该公司去年总的盈利万元 【分析】根据亏损的为负数，盈利的为正数，列式计算即可． 【详解】解：由题得，， ， （万元）． 答：该公司去年总的盈利万元． 16．为了增强学生身体素质，激发学生锻炼热情，某校七年级每个班选派8名同学代表班级参加团体跳绳比赛，以1分钟跳160次作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．七年级9班参赛学生的1分钟跳绳次数记录如下（单位：次）： ，，，，，，，． (1)求七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数； (2)本次活动采取积分制，跳绳次数超过标准1次记“”分，跳绳次数不足标准1次记“”分，刚好达到标准记“0”分．例如：1分钟跳162次记“”分，155次记“”分．计算七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分． 【答案】(1)162次 (2)总积分为56分 【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，有理数的混合运算，掌握平均数的计算方法以及有理数混合运算法则是解题的关键． （1）根据平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据积分规则计算得分即可． 【详解】（1）解： （次）． （次）． 答：七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳162次． （2）解：方法1： （分）． 方法2：（分）． 答：七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分为56分． 17．某高速公路养护小组．乘车沿东西方向公路巡视维护，如果规定向东为正方向，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，请你解答下列问题： (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若汽车行驶每千米耗油量为升，那么这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)养护小组最后到达的地方在出发点的东边，距出发点3千米 (2)这次养护小组的汽车共耗油升 【分析】（1）利用正负意义的量及有理数加减混合运算法则即可求解； （2）先求出高速公路养护小组当天的行驶总路程，再乘以汽车行驶每千米耗油量，即可求解． 【详解】（1）解： (千米)， 答：养护小组最后到达的地方在出发点的东边，距出发点3千米． （2）解： （千米）， ∴（升）． 答：这次养护小组的汽车共耗油升． 18．某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 【答案】(1)减少9吨，见解析 (2)方案二运费少 【分析】（1）先分别将运进数量×运进次数，运出数量×运出次数，再把它们相加即可求解； （2）分别求出两种方案的运费，再进行比较，即可求解． 【详解】（1）解： 答：这天仓库的原料比原来减少了9吨； （2）解：方案一： （元）， 方案二 （元） ∵ ， ∴方案二运费少，选择方案二比较合适． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.3 有理数的乘除运算（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数的乘法 1、有理数的乘法法则。 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正，②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。 2、倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。 3、多个有理数相乘的法则。 几个因数相乘，有一因数为0，积就为0；同样，积为0，则至少有一个因数为0。 几个不等于0的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 4、有理数乘法的运算律。 （1）乘法的交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即 ab= ba； （2）乘法的结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等，即（ab）c=a（bc）； （3）乘法的分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即a（b+c）=ab+ac，其中a，b，c均为有理数 知识点二有理数的除法 1、有理数的除法法则。 （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。 （2）除以一个数等于乘这个数的倒数。 一、选择题 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．四个互不相等整数，满足，则（    ） A．0 B．12 C． D．6 3．区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关：用右手4根手指的12个指关节依次表示数字1～12，同时用左手的5根手指表示12的倍数，两者表示的数值相加即为所表示的数．例如，当左手伸出1根手指，右手掐住第8指关节时，表示的数是．若左手伸出3根手指，右手掐住第11指关节时，所表示的十进制数字是（　　） A．14 B．41 C．47 D．58 4．一个数的倒数等于它本身，则这个数是（ ） A．1 B． C． D．和0 5．在算式变形：中，运用了（   ） A．分配律 B．乘法交换律 C．乘法交换律和分配律 D．分配律和乘法结合律 6．海淀区某路段改造工程，甲工程队单独施工需天完成，乙工程队单独施工需天完成，两队合作施工，完成工程所需的天数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．在数轴上，点A和点B分别表示互为相反数的两个数，并且这两点间的距离是8，则这两点所表示的数分别是______． 8．计算：________． 9．，则M的整数部分是( )，M的小数部分是( )． 10．如图所示，在容器中放入个圆柱形铁块和个与它等底等高的圆锥形零件，溢出了部分水，则每个圆锥形零件的体积是 __立方厘米． 11．如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 12．有理数在数轴上的对应点位置如图所示.五个数中最大的是_____. 三、解答题 13．计算：． 14．有一个摸球游戏：如图，有6个小球，每个小球上分别写了一个数． (1)将上述各数表示在如图所示的数轴上，并用“<”号将各数连接起来． (2)若图中所有分数的和为a，所有整数的积为b，求的值． 15．某公司去年月平均每月亏损1.6万元，月平均每月盈利14.7万元，月平均每月盈利12.4万元，月平均每月亏损2.6万元（记盈利额为正，亏损额为负），请通过计算说明该公司去年总的盈亏情况． 16．为了增强学生身体素质，激发学生锻炼热情，某校七年级每个班选派8名同学代表班级参加团体跳绳比赛，以1分钟跳160次作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．七年级9班参赛学生的1分钟跳绳次数记录如下（单位：次）： ，，，，，，，． (1)求七年级9班参赛学生平均每人1分钟跳绳的次数； (2)本次活动采取积分制，跳绳次数超过标准1次记“”分，跳绳次数不足标准1次记“”分，刚好达到标准记“0”分．例如：1分钟跳162次记“”分，155次记“”分．计算七年级9班此次团体跳绳比赛的总积分． 17．某高速公路养护小组．乘车沿东西方向公路巡视维护，如果规定向东为正方向，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：，请你解答下列问题： (1)养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)若汽车行驶每千米耗油量为升，那么这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 18．某原料仓库一天的原料进出记录如下表（运进用正数表示，运出用负数表示）： 进出数量（单位：吨） 4 2 进出次数 2 1 3 3 2 (1)这天仓库的原料比原来增加了还是减少了？请说明理由： (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出费用都是每吨原料6元；从节约运费的角度考虑，选用哪一种方案比较合适． 学科网（北京）股份有限公司 $