专题25.1一元二次方程的概念（6大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年数学人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的概念，系统梳理定义三要素（一个未知数、最高次数2、整式方程）、一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）、方程的根及列方程步骤，构建从概念理解到应用的递进学习支架。 资料通过易错点（如忽略二次项系数不为0）、技巧（快速判定法）及6类题型训练，强化数学思维的推理与运算能力，课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固概念、弥补盲点，提升应用意识。

专题25.1一元二次方程的概念 【新人教版】 【题型1 一元二次方程的判断】..........................................................................................................................2 【题型2 一元二次方程的一般形式】..................................................................................................................4 【题型3 一元二次方程的项和系数】..................................................................................................................5 【题型4 一元二次方程的解】..............................................................................................................................6 【题型5 由一元二次方程的定义求参数】..........................................................................................................9 【题型6 由一元二次方程的解求参数】............................................................................................................10 1. 一元二次方程定义（三要素，缺一不可） 只含一个未知数、未知数最高次数为 2、整式方程。 2. 一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0) · ax2：二次项，a为二次项系数a≠0 · bx：一次项，b为一次项系数 · c：常数项（含前面正负号）注：b、c可为0，a绝对不为0。 3. 方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值，即为方程的根。 4. 列一元二次方程步骤 审题意→设未知数→找等量关系→列方程→整理为标准形式。 易错1：判定方程忽略二次项系数不为 0 含参数方程仅满足次数为 2不成立，必须额外保证a≠0，否则退化为一元一次方程。 易错2：混淆整式与非整式方程 分母、根号内含有未知数的方程，为分式/无理方程，不是一元二次方程。 易错3：系数、常数项漏带符号 整理标准形式后，各项系数和常数项必须包含前方正负号，不可只看数字。 易错4：移项化简不变号 将所有项移至等式左侧、右侧归0时，移动的项必须变号，是基础高频丢分点。 易错5：参数方程讨论不全面 已知方程为一元二次方程，需同时满足：次数=2、二次项系数≠0，缺一不可。 技巧1：一元二次方程快速判定法 整式方程→确认只有1个未知数→最高次数为2且二次项系数不为0。 技巧2：含参数求值万能模板 已知方程为一元二次方程，则：最高次数=2，二次项系数≠0，,求解后舍去无效解。 技巧3：方程根的两大核心用法 1. 代入法：已知根，直接代入方程求解参数； 2. 整体代换：无需解未知数，利用ax2+bx=-c整体替换求值，简化计算。 技巧4：一次、二次方程快速区分 a≠0：一元二次方程； a=0、b≠0：一元一次方程； a=0、b=0：非一元方程。 题型一 一元二次方程的判断 【例1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，需依据“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”这三个核心条件逐一判断各选项． 【详解】解： A选项：只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义； B选项：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程定义； C选项：中含有分式，不是整式方程，不符合一元二次方程定义； D选项：只含一个未知数，但未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义． 故选B 【变式1-1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是二元一次方程，不是一元二次方程，故A不符合； ，当时，不是一元二次方程，故B不符合； 一元一次方程，不是一元二次方程，故C不符合； 符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，故D符合． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，根据一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】解：A．方程中含有两个未知数x和y，故不是一元方程． B．方程中只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，故是一元二次方程． C．方程化简后为，最高次数为1，故不是一元二次方程． D．方程中含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）下列方程中，属于关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案. 【详解】解：A、含有分式，不是一元二次方程； B、是一元二次方程； C、含有2个未知数，不是一元二次方程； D、方程化简，得，是一元一次方程，不是一元二次方程. 题型二 一元二次方程的一般形式 【例2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程一般式；将方程化为一般式的形式，需将所有项移到等号左边． 【详解】解：∵原方程为， ∴移项得， 故选：B． 【变式2-1】（25-26九年级上·山西太原·期中）将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（    ） A．5，1 B．， C．， D．，1 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，将方程移项化为一般形式，再比较系数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 【变式2-2】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）把一元二次方程化成一般形式：________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式的结构是解题关键． 通过去括号、移项和合并同类项将方程化为一般形式． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 题型三 一元二次方程的项和系数 【例3】（25-26九年级上·吉林辽源·期末）一元二次方程的二次项系数（为正数）与常数项之和为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项． 【详解】将一元二次方程变形为一般形式，一般形式的二次项系数为，常数项为，所以二次项系数与常数项之和为． 故选：B 【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的标准形式 ，其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 【详解】∵ 方程 对应标准形式， ∴ 二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ． 故选： 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 【变式3-3】（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为（）的形式，从而确定二次项系数和一次项系数； 先展开方程左边的完全平方，再移项合并同类项，得到一般形式，进而确定二次项系数和一次项系数． 【详解】解： 二次项系数为2，一次项系数为，此选项B符合题意． 故选：B． 题型四 一元二次方程的解 【例4】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 【变式4-1】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是理解一元二次方程的解的定义，即能使方程左右两边相等的未知数的值． 根据一元二次方程解的定义，构造一个含有因式的一元二次方程即可． 【详解】解：因为一元二次方程的一个解为， 所以方程可以构造为（为常数）的形式． 例如，取，则方程为，即． 验证：当时，左边，右边，左边等于右边，所以是该方程的解． 故答案为：（答案不唯一） 【变式4-2】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 题型五 由一元二次方程的定义求参数 【例5】（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，且未知数最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题关键，根据二次项系数非零列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且． 解得． 故答案为：． 题型六 由一元二次方程的解求参数 【例6】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】将已知根代入原方程，即可解出参数a的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个实数根， ∴将代入原方程，得， 计算得， 整理得， 解得． 【变式6-1】（25-26九年级上·河南漯河·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知根代入方程求出的值，再代入代数式计算即可求解. 【详解】解：是方程的根， ， 即， ， ． 【变式6-2】（2026·山东滨州·二模）已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【答案】 【分析】将方程的解代入原一元二次方程，求出的值，再对所求代数式变形计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， ． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，把代入原方程中求出的值，再把所求式子变形为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25.1一元二次方程的概念 【新人教版】 【题型1 一元二次方程的判断】..........................................................................................................................2 【题型2 一元二次方程的一般形式】..................................................................................................................3 【题型3 一元二次方程的项和系数】..................................................................................................................3 【题型4 一元二次方程的解】..............................................................................................................................3 【题型5 由一元二次方程的定义求参数】..........................................................................................................4 【题型6 由一元二次方程的解求参数】..............................................................................................................4 1. 一元二次方程定义（三要素，缺一不可） 只含一个未知数、未知数最高次数为 2、整式方程。 2. 一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0) · ax2：二次项，a为二次项系数a≠0 · bx：一次项，b为一次项系数 · c：常数项（含前面正负号）注：b、c可为0，a绝对不为0。 3. 方程的根 能使方程左右两边相等的未知数的值，即为方程的根。 4. 列一元二次方程步骤 审题意→设未知数→找等量关系→列方程→整理为标准形式。 易错1：判定方程忽略二次项系数不为 0 含参数方程仅满足次数为 2不成立，必须额外保证a≠0，否则退化为一元一次方程。 易错2：混淆整式与非整式方程 分母、根号内含有未知数的方程，为分式/无理方程，不是一元二次方程。 易错3：系数、常数项漏带符号 整理标准形式后，各项系数和常数项必须包含前方正负号，不可只看数字。 易错4：移项化简不变号 将所有项移至等式左侧、右侧归0时，移动的项必须变号，是基础高频丢分点。 易错5：参数方程讨论不全面 已知方程为一元二次方程，需同时满足：次数=2、二次项系数≠0，缺一不可。 技巧1：一元二次方程快速判定法 整式方程→确认只有1个未知数→最高次数为2且二次项系数不为0。 技巧2：含参数求值万能模板 已知方程为一元二次方程，则：最高次数=2，二次项系数≠0，,求解后舍去无效解。 技巧3：方程根的两大核心用法 1. 代入法：已知根，直接代入方程求解参数； 2. 整体代换：无需解未知数，利用ax2+bx=-c整体替换求值，简化计算。 技巧4：一次、二次方程快速区分 a≠0：一元二次方程； a=0、b≠0：一元一次方程； a=0、b=0：非一元方程。 题型一 一元二次方程的判断 【例1】（25-26九年级上·河南驻马店·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·广东江门·期中）下列方程中，属于关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 题型二 一元二次方程的一般形式 【例2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）将方程化成一元二次方程一般式，正确的是（） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·山西太原·期中）将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（    ） A．5，1 B．， C．， D．，1 【变式2-2】（25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）把一元二次方程化成一般形式：________． 【变式2-3】（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程化成一般形式为________． 题型三 一元二次方程的项和系数 【例3】（25-26九年级上·吉林辽源·期末）一元二次方程的二次项系数（为正数）与常数项之和为（       ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃武威·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-2】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【变式3-3】（25-26九年级上·河南许昌·期末）将方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（   ） A．2，3 B． C．2，7 D． 题型四 一元二次方程的解 【例4】（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26九年级上·广东惠州·阶段检测）请你写出其中一个解为的一个一元二次方程______ 【变式4-2】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式4-3】（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 题型五 由一元二次方程的定义求参数 【例5】（25-26九年级上·云南保山·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·湖南张家界·期末）关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期中）已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【变式5-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为____________． 题型六 由一元二次方程的解求参数 【例6】（25-26九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则的值是（） A． B． C．1 D．2 【变式6-1】（25-26九年级上·河南漯河·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·山东滨州·二模）已知是关于的一元二次方程的解，则________． 【变式6-3】（25-26九年级上·江苏扬州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $