25.2.2 公式法-教学设计 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦公式法解一元二次方程，通过回顾配方法定义与步骤导入，承接上一课时配方法，搭建从具体方程配方到一般式配方的学习支架，梳理求根公式推导与根的判别式的知识脉络。 特色在于引导学生自主推导含字母参数的一般式配方，结合根的判别式分类讨论培养推理意识，呼应黄金分割实际问题渗透应用意识。分层例题与练习提升运算能力，帮助学生构建代数推理体系，为教师提供结构化教学资源，高效落实核心素养。

教学设计 《25.2.2 公式法》教学设计 课型 新授课☑ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本课时是一元二次方程解法板块的核心枢纽，承接上一课时配方法，以通用一般式配方推导求根公式，实现配方法从特殊方程到全部一元二次方程的升华．本节课提炼根的判别式，实现不解方程预判根的数量，完善方程研究逻辑；公式法作为通用解法，可求解任意一元二次方程，简化配方繁琐步骤，是后续学习根与系数关系、二次函数综合题型的基础工具．课堂完整复刻配方降次的化归过程，串联八下整式、平方根、完全平方公式旧知，搭建从具体运算到代数推理的桥梁．同时呼应开篇黄金分割实际问题，打通建模、解方程、检验实际根的完整流程，渗透分类讨论、转化思想，是提升学生代数推理与综合运算素养的关键课时，也是中考核心考查内容． 学习者分析 授课学生为刚结束八下学习的学生，已熟练掌握配方法解各类一元二次方程，理解“降次”核心思路，具备完整配方运算基础，会对数字系数方程配方变形．但学生存在明显短板：对含字母参数a、b、c的一般式配方存在畏难情绪，分式化简、符号处理极易出错；难以自主梳理Δ三种取值对应的根的分类逻辑；使用公式法时，容易混淆a、b、c符号，忘记先把方程化为标准一般形式；无法主动结合判别式先预判根的情况再计算，代数抽象推理能力薄弱，需要分步拆解字母配方推导过程，搭配分层例题降低理解难度． 教学目标 1．对一般形式配方，推导求根公式． 2．理解根的判别式，能根据的正负判断方程实数根的三种情况． 3．掌握公式法解方程完整步骤，能选择公式法求解任意一元二次方程． 教学重点 自主配方推导求根公式，理解根的判别式意义，熟练运用公式法解任意一元二次方程，根据Δ判断方程实数根的三种情况． 教学难点 含字母参数的一元二次方程一般形式的完整配方推导，理解判别式取值与方程实数根数量之间的内在逻辑． 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：学习目标 教师活动1： 师出示学习目标： 1．对一般形式配方，推导求根公式． 2．理解根的判别式，能根据的正负判断方程实数根的三种情况． 3．掌握公式法解方程完整步骤，能选择公式法求解任意一元二次方程． 学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标 活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性． 环节二：新知导入 教师活动2： 问题：1．什么是配方法？ 答案：通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 2．说一说用配方法解一元二次方程的步骤？ 答案：一移：将常数项移到方程的右边． 二化：二次项系数不是1时要化为1； 三配：两边都加上一次项系数一半的平方． 四解：利用直接用开平方法求出方程的解． 学生活动2： 活动意图说明： 通过回顾配方法定义与解题四步流程，巩固前节课核心知识，唤醒配方变形、降次转化的解题思路，为一般形式方程配方推导求根公式做好铺垫，自然引出本节课公式法的探究学习. 环节三：新知讲解 教师活动3： 探究：任何一个一元二次方程都可以化成一般形式 能否用配方法得出它的解呢? 追问1：我们能不能根据用配方法解一元二次方程的经验解决这个问题呢？ 解：移项，得 二次项系数化为1，得 配方，得 即 ① 追问2：可以直接开平方吗？ 预设：只有当≥0的时候，可以直接开平方． 因为a≠0，所以4a2＞0，所以的符号由b2－4ac决定． 式子的值有以下三种情况: (1)当时，，由①得 方程有两个不相等的实数根 (2)当时，，由①可知，方程有两个相等的实数根 (3)当时，，由①可知，而取任何实数都不能使成立，因此方程无实数根. 讲解：可以发现，式子可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程的根的判别式，通常用希腊字母“”表示，即. 对于方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根. 归纳：当时，方程的实数根可写为 的形式，这个式子叫作一元二次方程的求根公式. 求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程的结果. 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 例：用公式法解下列方程: (1)； (2)； (3)； (4). 指出：确定的值时，要注意它们的符号. 解:(1)因为，所以 方程有两个不相等的实数根 即 (2)因为，所以 方程有两个相等的实数根 (3)方程化为，此时，所以 方程有两个不相等的实数根 即 (4)方程化为，此时，所以 方程无实数根. 归纳：公式法解一元二次方程的一般步骤 第1步：先把方程化为一般形式； 第2步：确定a，b，c的值； 第3步：计算b2－4ac的值； 第4步：当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 简记为：一化二定三算四求． 回到本章引言中列出的一元二次方程 用公式法解这个方程，得 即 如果结果保留小数点后两位， 那么. 关于这两个根，只有符合问题的实际意义，因此雕像腰部以下身长约为. 学生活动3： 学生先独立尝试，然后小组合作探究、班内汇报后认真听老师的点评与讲解 活动意图说明： 以一元二次方程一般式为载体，借助配方法推导求根公式，顺势引出根的判别式，分层讲解Δ不同取值对应的根的情况。搭配多类型例题规范公式法解题步骤，呼应开篇黄金分割实际问题，深化降次转化与分类讨论思想，为后续根与系数关系的学习筑牢代数推理基础. 环节四：课堂小结 教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识 活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系． 板书设计 课题：25.2.2公式法 一、根的判别式及求根公式 二、概念 三、用公式法解一元二次方程的步骤 教师板演区 学生展示区 课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 答案：D 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是______． 答案： 3．用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 解：（1）， ， ， ， ； （2）方程整理得：， ， ， ， ； （3）， ， ， ． 选做题： 4．定义新运算：☆，例如：☆，则关于的方程☆（k是任意实数）的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．只有一个实数根 D．有两个不相等的实数根 答案：D 【综合拓展类练习】 5．已知关于 的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个根均为整数，求整数 的值． 证明：（1）方程为一元二次方程，故即， 判别式， 方程总有两个实数根． （2）由求根公式得 计算得，， 两根均为整数，为整数， ， 解得或 ． 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 答案：D 2．若方程无实数根，则m应满足的条件是______． 答案： 3．用公式法解方程： (1) (2) (3) (4)． 解：（1）， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （2）， 化简得， ， ， 故该方程在实数范围内无解． （3）， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． （4）， 化简得， ， ， 故该方程有两个不相等的实数根， ， ． 选做题： 4．对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况是______． 答案：有两个不相等的实数根 【综合拓展类作业】 5．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值时，方程总有实数根； (2)若该方程两个根的平方和为25，求的值． 证明：（1）对于方程， 其中， ， ， 恒成立， 无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根 （2）由（1）知，利用求根公式： 解得： 教学反思 本节课以配方法旧知设问引入，带领学生分步完成字母一般式配方，多数学生能记住求根公式与判别式结论．但课堂暴露较多问题：推导公式时分式化简步骤学生易出错，做题时常忽略先整理方程为标准形式，混淆b、c符号；部分学生只会套公式，不理解公式推导逻辑，分类讨论意识薄弱．后续可增加推导填空练习，强化符号辨析专项训练，增设先判断Δ再解方程的规范步骤，加深学生对公式来源与判别式的理解． 学科网（北京）股份有限公司 $