第二章 一元二次方程 单元测试--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版2024九年级上册第二章一元二次方程单元卷，90分钟100分，覆盖基础巩固、能力提升及创新应用，适配单元复习，体现抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|配方、定义、根与系数关系|第3题结合根的性质考查推理意识| |填空题|5/20|最值、根的判别式、几何应用|第15题矩形与方程结合体现几何直观| |解答题|5/50|解方程、根的证明、综合实践|第20题收纳盒设计落实模型意识与应用意识|

暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 一元二次方程 单元测试 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册第二章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需要同时满足三个条件：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：只含一个未知数，未知数最高次数为2，是整式方程， 选项A：中未知数最高次数为1，是一元一次方程，故该选项不符合题意； 选项B：中含有两个未知数，是二元二次方程，故该选项不符合题意； 选项C：只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故该选项符合题意； 选项D：中是分式，该方程是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意． 3．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】由题意可知，两个不相等的实数，都满足同一个二次关系式，因此，是一元二次方程的两个不等实根，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再对所求代数式降次变形，整体代入计算即可． 【详解】解：，是两个不相等的实数，且满足，， ，是一元二次方程的两个不相等实数根， 根据一元二次方程根与系数的关系得：，， 又， ， 将代入所求代数式得： ． 4．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 5．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系． 【详解】解：对于方程， ， 对于方程， 变形得 ， 直接开方得 ， 整理得 ， 两个方程的解相同， ， 即． 6．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 7．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式变形求解k，再验证方程有两个实数根，即可得到结果． 【详解】解：∵方程的两根为 ∴根据根与系数的关系得， ∵ ∴两边平方得 由完全平方公式变形得 代入得 整理得 解得 ∵方程有两个实数根， ∴判别式 当时，，符合要求 当时，，符合要求 ∴的值为或． 8．关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式的值，判断其符号即可得出结论，用到性质：对于一元二次方程，时方程有两个不等的实数根． 【详解】方程是关于的一元二次方程，，，，， ∴ ， ， ， 该方程有两个不相等的实数根． 9．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对已知等式因式分解得到a与c的关系，再代入一元二次方程，结合根与系数的关系判断两根的数量关系。 【详解】解：∵ ， 对左边变形得 ， 即 ， 又∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 得 ， 将代入一元二次方程， 得 ， 整理得 ， 对于一元二次方程，常数项为 ， 由根与系数的关系得 ． 10．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件，利用根与系数的关系列方程求出和的值，再计算所求方程两根的和与积，构造出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴由根与系数的关系得， ∵关于的一元二次方程的两个根为， ∴，， ∴，， 将代入得：， 整理得． 将代入得：， 化简得 把代入， 解得 ∵， ， ∴所求一元二次方程为． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若，当________时，的最大值是________． 【答案】 【分析】先根据已知等式用含的代数式表示，再代入得到关于的代数式，利用完全平方公式及偶次幂的非负性进行求解即可． 【详解】解：由可得：， 将代入得， ， ， ∴当时，取得最大值，最大值为． 12．已知m，n是方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系得出， ，再通过完全平方公式变形所求代数式，代入计算得到最终结果． 【详解】解： 整理得： ， 这里 , , ∴ ， ∴， ∴ ． 13．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义化简已知等式，得到关于的一元二次方程，求解后结合根的判别式判断即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， 根据根的定义，得，即，同理可得， 化简已知等式的两个因式：，， 代入，得：， 整理得：，解得或， 原方程有两个实数根， 根的判别式，即，解得， 满足题意，且符合等式的解为． 14．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，方程有实数根时根的判别式大于等于0，据此列不等式求解的取值范围． 【详解】解：中，，， ∵关于 的方程有实数根， ∴根的判别式， 解得． 15．如图，在矩形中，对角线，相交于与点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，．若，则的长是________． 【答案】 【分析】由题意推出为等腰直角三角形，结合用勾股定理求出，过点作，垂足为，设，，其中，，，通过同角的余角相等证，故，，推出，，在中由勾股方程解得，在中由勾股定理解出和，利用矩形对角线中点性质得为的中位线，得出的长，从而可得出． 【详解】解：由题意得， ， 是等腰直角三角形， ，由勾股定理得， ，解得， 如图，过点作，垂足为， ， 设，，其中，，， 四边形是矩形，对角线，相交于与点， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 化简得， 因式分解得， ，， ， ， 在中，， ，解得或（舍去）， ，， 点和点分别为，的中点， 为的中位线， ， ， ． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．解一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解： 或 ∴， （2）解： ，， ∴， （3）解： 或 ∴， 17．已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； (2)如果该方程的两个实数根的平方和为4，求的值． 【答案】(1)证明：． ， 无论取任何实数时，该方程总有两个实数根． (2)2 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程可求出原方程的两个根，结合该方程的两个实数根的平方和为4，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：， 即， 解得：． ， ， ． 18．计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程： ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式、计算零指数幂、去绝对值符号，再去括号，计算加减即可； （2）先将方程整理成一般式即可得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， 则， ∴． 19．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 【答案】 【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将，转化为关于m的方程，求出m的值并检验． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或， 由判别式大于零，得， 解得， ∴． 20．综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)能， 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）设，用x分别表示的长，根据收纳盒的底面积可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （3）设，则，，根据长、宽、高的要求分情况进行讨论，取符合题意的答案即可． 【详解】（1）解：，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形， ． 根据折叠后正好重合可知． （2）解：设，则，， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去） ． （3）解：能． 设，则，，由题意得 ①，解得， ②，解得，； ③，解得，不符合舍去； ④，解得，不符合舍去； ⑤，解得，不符合舍去； ⑥，解得，不符合舍去； 综上得，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・九年级上册数学暑期培优专项讲义 第二章 一元二次方程 单元测试 注意事项： 1．测试范围：北师大版（2024）九年级上册第二章。 2．考试时间：90分钟 试卷满分：100分。 第Ⅰ卷 选择题 1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 2．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 3．如果，是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式的值是（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 4．一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 5．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（     ） A． B． C． D． 6．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 7．在目前的八年级数学下册第二章《一元二次方程》中新增了一节选学内容，其中有这样的知识点：如果方程的两根是，，那么，，若关于x的方程的两个实数根满足关系式，则k的值为（    ） A． B． C．或 D．或或 8．关于x的一元二次方程（其中，且为常数）的根的情况，描述正确的是（     ） A．无实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不等的实数根 D．可能只有一个实数根 9．若实数a，b，c满足，且，则一元二次方程的两个实数根满足的数量关系是（     ） A． B． C． D． 10．已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为；关于的一元二次方程的两个实数根分别为．则下列方程中，其两实数根分别为的是（     ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11．若，当________时，的最大值是________． 12．已知m，n是方程的两个根，则________． 13．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为________． 14．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是________． 15．如图，在矩形中，对角线，相交于与点，以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，过点作的垂线交于点，．若，则的长是________． 三、解答题（本题共5小题，每小题10分，共50分） 16．解一元二次方程： (1) (2) (3) 17．已知关于的方程． (1)求证：无论取任何实数时，该方程总有两个实数根； (2)如果该方程的两个实数根的平方和为4，求的值． 18．计算与解方程： (1)计算：； (2)解方程： ． 19．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，求m的值． 20．综合与实践：制作一个有盖的长方体收纳盒． 材料：一张长为，宽为的长方形硬纸板． 方案设计：如图①，把硬纸板的四角分别剪去两个相同的小正方形和两个相同的小长方形，折成一个如图②所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． (1)任务一：若收纳盒的高为，求该收纳盒底面的两邻边和的长度； (2)任务二：若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高； (3)任务三：能否设计出一个收纳盒足够收纳长为，宽为，高为的长方体礼盒（如图③）的方案．如果能，求设计方案中的取值范围；如果不能，请说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $