3.5 圆内接四边形 课时练习 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 围绕圆内接四边形性质与圆周角定理，通过基础巩固、中档应用、综合拓展三层设计，实现从单一知识点到综合问题解决的进阶，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点直接应用|单选1-6/填空11-13直接考查圆内接四边形对角互补、圆周角定理| |中档|多知识点结合与分类讨论|单选7-10/填空14-15融入对称、动点等情境，需分类讨论点位置| |综合|复杂情境综合推理|解答题16-18设置多问递进，如第16题从证明到角度计算再到代数式表示，培养推理意识|

3.5 圆内接四边形 课时练习 一、单选题 1.如图，在⊙O中，点A、B、C在⊙O上，且∠ACB＝100°，则∠α＝（　　） A. 80°                                     B. 100°                                     C. 120°                                     D. 160° 2.如图，AB经过圆心O，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝3∠BAC，则∠ADC的度数为（   ） A. 100°                                   B. 112.5°                                   C. 120°                                   D. 135° 3.如图，∠AOB=100°，点C在⊙O上，且点C不与A，B重合，则∠ACB的度数为（    ） A. 50°                               B. 80°或50°                               C. 130°                               D. 50°或130° 4.如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D．若点P是⊙O上异于点A，B的任意一点，则∠APB=（    ） A. 30°或60°                         B. 60°或150°                         C. 30°或150°                         D. 60°或120° 5.如图， 是圆内接四边形 的一条对角线，点 关于 的对称点 在边 上，连接 .若 ，则 的度数为（   ） A. 106°                                    B. 116°                                    C. 126°                                    D. 136° 6.在圆内接四边形ABCD中， 与 的比为3：2，则∠B的度数为(    ) A. 36°                                     B. 72°                                     C. 108°                                     D. 216° 7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AB为直径作半圆。点D在弧 上（不与A，C重合），点E在AB上，且点D.E关于AC对称. 给出下列结论： ①若∠ACE=20°，则∠BAC=25°②若BC=3，AC=4，则 给出下列判断，正确的是（    ） A. ①②都对                       B. ①②都错                       C. ①对②错                        D. ①错②对 8.如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中 =180°，且 = ， = ．若阿超在 上取一点P，在 上取一点Q，使得∠APQ=130°，则下列叙述何者正确（    ） A. Q点在 上，且 >                              B. Q点在 上，且 < C. Q点在 上，且 >                             D. Q点在 上，且 < 9.已知：正方形ABCD内接于⊙O ， 点P是⊙O上不同于点B、C的任意一点，则∠BPC的度数是（   ）． A. 45°                                  B. 90°                                  C. 135°                                  D. 45°或135° 10.如图，四边 内接于 ，若 ，则 的度数为（　　） A.                                    B.                                    C.                                    D.  二、填空题 11.在⊙O中，若一条弦AB的长等于这个圆的半径，则这条弦AB所对的圆周角是________（注意：有两种情况，可不要少填哟！） 12.如图，四边形 内接于圆 ， 为边 延长线上一点，已知弧 的度数为 ，则 ________． 13.一条弦把圆分成1：2两部分，那么这条弦所对的圆周角的度数为________. 14.如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC∥AD，∠DAB＝60°，∠ADC＝106°，则∠OCB＝________°. 15.如图，四边形ABCD内接于⊙O ， AE⊥CB交CB的延长线于点E ， 若BA平分∠DBE ， AD＝5，CE＝ ，则AE＝________． 三、解答题 16.如图，⊙ 的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E、F。 （1）若∠E=∠F时，求证：∠ADC=∠ABC； （2）若∠E=∠F=42°时，求∠A的度数； （3）若∠E=α，∠F=β，且。α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小. 17.如图，四边形 内接于⊙ ， ， ． （1）求点 到 的距离； （2）求 的度数． 18.      综合题： （1）已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，延长BC至E．求证：∠A+∠BCD=180°，∠DCE=∠A． （2）依已知条件和（1）中的结论：  ①如图2，若点C在⊙O外，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系； ②如图3，若点C在⊙O内，且A、C两点分别在直线BD的两侧．试确定∠A+∠BCD与180°的大小关系． 答案解析部分 一、单选题 1. D 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：优弧AB上任取一点D ， 连接AD ， BD ， ． ∵四边形ACBD内接与⊙O ， ∠C＝100°， ∴∠ADB＝180°﹣∠C＝180°﹣100°＝80°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝2×80°＝160°． 故答案为：D ． 分析：在优弧AB上任取一点D ， 连接AD ， BD ， 先由圆内接四边形的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠AOB的度数即可． 2. B 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：∵AB经过圆心O， ∴∠ACB=90°， ∵∠B=3∠BAC， ∴∠B=67.5°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC=180°-∠B=112.5°， 故答案为：B. 分析：根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据题意求出∠B，根据圆内接四边形的性质计算即可. 3. D 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：如图， 当点C在优弧AB上时， ∠ACB=∠AOB=×100°=50°； 当点C在劣弧AB上时， ∠C+∠AC1B=180°， ∴∠AC1B=180°-50°=130°. ∴∠ACB的度数为50°或130°. 故答案为：D. 分析：分情况讨论：当点C在优弧AB上时，利用圆周角定理求出∠C的度数；当点C在劣弧AB上时，利用圆内接四边形的性质求出∠AC1B的度数。 4. D 考点：垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：连接OA，OB， ∵ 弦AB垂直平分半径OC ∴OD=OA， ∴∠OAD=30°， ∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-30°-30°=120°； 当点P在优弧AB上时 ∠APB=∠AOB=×120°=60°； 当点P在劣弧上时， ∠APB+∠AP1B=180° ∴∠AP1B=180°-60°=120°. ∴∠APB=120°或60°. 故答案为：D. 分析：利用垂径定理及已知可得到∠OAD=30°，再求出∠AOB的度数，再分情况讨论：当点P在优弧AB上时，利用圆周角定理就可取出∠P的度数；当点P在劣弧上时，利用圆内接四边形的对角互补，就可求出∠AP1B的度数。 5. B 考点：圆内接四边形的性质，轴对称的性质 解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠D=180°-∠ABC=180°-64°=116°， ∵点D关于 的对称点 在边 上， ∴∠D=∠AEC=116°， 故答案为B. 分析：根据圆的内接四边形对角互补，得出∠D的度数，再由轴对称的性质得出∠AEC的度数即可. 6. C 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：如图， ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠B+∠D=180°，  ∵ 与  的比为3：2， ∴∠B：∠D=3：2， ∴∠B=180°×=108°. 故答案为：C. 分析：由 与  的比为3：2，根据圆周角定理可得∠B：∠D=3：2， 结合圆内接四边形对角互补的性质，可求∠B的大小. 7. D 考点：三角形中位线定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：连接OC、BD，如图： 两线相交于点F.∵ 点D.E关于AC对称 ， ∴AC是的DE的垂直平分线， ∴AE=AD,CE=CD， 又∵AC=AC ∴△ADC≌△AEC， ∴∠ACE=∠ACD=20°，∠BAC=∠DAC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠BCD=∠BCA+∠ACD=110°， ∵四边形ABCD是圆的内接四边形， ∴∠BAC=180°-∠BCD=70°， ∴ ∠BAC =∠DAC=35°，故①错误； 在Rt△ABC中，∠ACB=90°， BC=3，AC=4 ， ∴AB=5，∴OB=OC=2.5， ∵∠DBC =∠DAC=35°， ∴BC=CD=3，弧BC=弧CD， ∴OC⊥BD，∴∠BFO=90°，设OF=x, 根据勾股定理得出OB2-OF2=BC2-CF2 ， 即2.52-x2=32-（2.5-x）2 ， 解得x=， ∵AB是圆的直径，∴∠BDA=90°，由∵OC⊥BD，∴∠OFB=90°=∠ADB，∴OC∥AD，∵点O是AB的中点，∴AD=2OF=,故②正确. 故答案为：D. 分析：根据轴对称的性质及三角形全等的判断方法判断出△ADC≌△AEC，根据全等三角形的对应角相等得出∠ACE=∠ACD=20°，∠BAC=∠DAC，根据直径所对圆周角是直角及圆内接四边形的对角互补得出∠BAC=70°，从而得出∠BAC =∠DAC=35°，根据圆周角定理得出弧BC=弧CD，从而根据垂径定理得出OC⊥BD，然后根据勾股定理，由OB2-OF2=BC2-CF2 ， 建立方程，求解算出OF的长，进而再根据三角形的中位线定理得出AD的长. 8. B 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：连接AD、OB、OC、在弧AD上取点E，连接AE，CE， ∵弧AD的度数为180°， ∴AD是直径， ∵ = ， = ∴∠AOB=90°，∠BOC=45°， ∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+45°=135°， ∴. ∵∠ABC+∠E=180°， ∴∠ABC=180°-67.5°=122.5°＜130°， ∴∠APQ＞∠ABC， ∴点Q在上，且 故答案为：B. 分析：连接AD、OB、OC、在弧AD上取点E，连接AE，CE，由已知条件可知AD是直径，根据 = ， = ， 可分别求出∠BOC和∠AOC的度数，再利用圆内接四边形的对角互补求出∠ABC的度数，可以推出∠APQ＞∠ABC，就可得到点Q的位置。 9. D 考点：正方形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：连接BD， 则BD是直径， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴∠BDC=45°， ∴∠BPC=∠BDC=45°. 如图所示： ∠BP′C+∠P=180°， ∴∠BP′C=135°. 故答案为：45°或135°. 故选D. 分析：连接BD，则BD是直径，△BCD是等腰直角三角形，即∠BDC=45°，根据圆周角定理即可证∠BPC=∠BDC=45°，进而利用P点位置不同得出答案． 10. D 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：∵四边形 内接于 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：D． 分析：由圆周角定理知，∠C= ∠BOD=50°．由圆内接四边形的对角互补知，∠A=180°-∠C=130°． 二、填空题 11. 30°或150°． 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：如图，连接OA、OB，∵△OAB中，OA＝OB＝AB， ∴△OAB是等边三角形，即∠OAB＝∠ABO＝∠O＝60°， ∴∠C＝30°，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形， ∴∠D＝180°﹣∠C＝150°，∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°． 故答案是：30°或150°． 分析：连接OA、OB，可得△OAB是等边三角形，根据圆周角定理和圆的内接四边形的性质定理，即可求解． 12. 考点：圆内接四边形的性质 解： 弧 的度数为 ， ， 四边形 内接于圆 ， ， ． 故答案为： 分析：由弧 的度数为 可求出 的度数，再根据圆的内接四边形的性质，即可求得 的度数，继而求得答案 13. 60°或120° 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：如图，连接OA、OB. 弦AB将⊙O分为1：2两部分， 则∠AOB＝ ×360°＝120°； ∴∠ACB＝ ∠AOB＝60°， ∠ADB＝180°﹣∠60＝120°； 故这条弦所对的圆周角的度数为60°或120°. 故答案为：60°或120° 分析：此题有两种情况，连接OA、OB，由已知条件弦AB将⊙O分为1：2两部分，可求出∠AOB的度数，再利用圆周角定理求出∠ACB的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补，就可求出∠ADB的度数。 14. 46° 考点：圆内接四边形的性质 解：∵OC∥AD, ∴∠OCD=180°-∠ADC=74°, ∵四边形ABCD内接于⊙O, ∴∠BCD=180°-∠DAB=120°, ∴∠OCD=∠BCD-∠OCD=46°,故答案为：46. 分析：根据平行线的性质求出∠OCD,根据圆内接四边形的性质求出∠BCD,计算即可. 15. 考点：圆周角定理，圆内接四边形的性质 解：连接AC，如图， ∵BA平分∠DBE， ∴∠ABE=∠ABD， ∵∠ABE=∠CDA，∠ABD=∠ACD， ∴∠ACD=∠CDA， ∴AC=AD=5， ∵AE⊥CB， ∴∠AEC=90°， 故答案为：2 . 分析：连接AC，由圆内接四边形的性质和圆周角定理得到∠BAE=∠CDA，∠ABD=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CDA，得出AC=AD=5，然后利用勾股定理计算AE的长． 三、解答题 16. （1）解：∠E=∠F，∵∠DCE=∠BCF，∴∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，∴∠ADC=∠ABC. （2）解：由（1）知∠ADC=∠ABC，∵∠EDC=∠ABC，∴∠EDC=∠ADC，∴∠ADC=90°，∴∠A=90°﹣42°=48° （3）解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD=∠A，∵∠ECD=∠1+∠2，∴∠A=∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，∴2∠A+α+β=180°，∴∠A=90°﹣ ． 考点：圆内接四边形的性质 分析：（1）由三角形外角知识可得∠ADC=∠E+∠DCE，∠ABC=∠F+∠BCF，再由∠E=∠F，∠EDC=∠ABC，等量代换可得∠ADC=∠ABC。 （2）由（1）知∠ADC=∠ABC，再由∠EDC=∠ABC，等量代换得出∠EDC=∠ADC，最后得出∠A。 （3）连结EF，由四边形ABCD为圆的内接四边形，可得∠ECD=∠A，再由三角形外角可得∠ECD=∠1+∠2，等量代换得出∠A=∠1+∠2，最后由三角形内角和定理可得∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°，等量代换得出∠A的度数  . 17. （1）解：作 于 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ； （2）解：连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． 考点：勾股定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形 分析：（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM=CM=2 ，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC=∠MCO=45°，求得∠AOC=90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 18. （1）证明：连结AC，BD， ∴∠CAD=∠CBD，∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC， ∵∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°， ∴∠CAD+∠BAC+∠ABD+∠CBD+∠ACB+∠ACD+∠ADB+∠BDC=360°， ∴∠CAD+∠BAC+∠ACB+∠ACD=180°， 即∠BAD+∠BCD=180°， 又∵∠DCE+∠BCD=180°， ∴∠BAD=∠DCE. （2）解：①设BC与⊙O交于点E，连结DE， ∵四边形ABED是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BED=180°， 又∵∠BED=∠CDE+∠BCD, ∴∠BED＞∠BCD， ∴∠A+∠BCD＜180°. ②延长DC交⊙O于点E，连结BE， ∵四边形ABED是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BED=180°， 又∵∠BCD=∠CBE+∠BED, ∴∠BCD＞∠BED， ∴∠A+∠BCD＞180°. 考点：圆内接四边形的性质 分析：（1）连结AC，BD，由同弧所对的圆周角相等和四边形的内角和为360°，即可得证∠A+∠BCD=180°，再由同角的补角相等可得∠DCE=∠A． （2）①设BC与⊙O交于点E，连结DE，根据圆的内接四边形对角互补和三角形外角性质，即可得证. ②延长DC交⊙O于点E，连结BE，根据圆的内接四边形对角互补和三角形外角性质，即可得证. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $