第二十五课时5.4.2正弦函数、余弦函数的性质同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学正弦函数、余弦函数性质同步练，以“基础巩固-中档应用-综合拓展”分层，覆盖5大核心考点，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|周期、奇偶性等单一考点|选择（1-4）、填空（9-12）直接考查定义与公式，强化概念记忆| |中档层|复合函数（如sin2x）的周期、单调性|选择（5-8）、解答14结合公式推理，提升运算能力| |综合层|sinx+cosx的周期、奇偶性、最值|解答15需辅助角公式转化，发展数学模型观念与综合应用能力|

高一数学A版必修第一册 · 课时同步训练 第二十五课时 正弦函数、余弦函数的性质 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数，最小正周期为2π。一般地，对于函数y ＝ Asin(ωx ＋ φ)，其周期T ＝ 2π/|ω|。周期函数的性质：若T是函数f(x)的周期，则kT（k ∈ Z，k ≠ 0）也是f(x)的周期。 考点二 奇偶性 正弦函数y ＝ sinx满足sin(－x) ＝ －sinx，是奇函数，图象关于原点对称。余弦函数y ＝ cosx满足cos(－x) ＝ cosx，是偶函数，图象关于y轴对称。对于复合函数的奇偶性，若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数；若内层函数为奇函数，则复合函数的奇偶性与外层函数相同。例如y ＝ cos(2x)，内层2x为奇函数，外层cosx为偶函数，故y ＝ cos(2x)为偶函数。 考点三 单调性 正弦函数y ＝ sinx在[－π/2 ＋ 2kπ, π/2 ＋ 2kπ]上单调递增，在[π/2 ＋ 2kπ, 3π/2 ＋ 2kπ]上单调递减。余弦函数y ＝ cosx在[－π ＋ 2kπ, 2kπ]上单调递增，在[2kπ, π ＋ 2kπ]上单调递减。 考点四 最值 正弦函数y ＝ sinx当x ＝ π/2 ＋ 2kπ时取最大值1，当x ＝ －π/2 ＋ 2kπ时取最小值－1。余弦函数y ＝ cosx当x ＝ 2kπ时取最大值1，当x ＝ π ＋ 2kπ时取最小值－1。函数y ＝ Asin(ωx ＋ φ)的值域为[－|A|, |A|]。 考点五 对称性 正弦函数y ＝ sinx的对称中心为(kπ, 0)，对称轴为x ＝ π/2 ＋ kπ。余弦函数y ＝ cosx的对称中心为(π/2 ＋ kπ, 0)，对称轴为x ＝ kπ。其中k ∈ Z。 知识结构思维导图 图1 正弦函数、余弦函数的性质知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数y ＝ sinx的最小正周期为（ ） A．π B．2π C．π/2 D．4π 2．函数y ＝ cosx的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 3．函数y ＝ sinx在下列哪个区间上单调递增（ ） A．[0, π] B．[π/2, 3π/2] C．[－π/2, π/2] D．[π, 2π] 4．函数y ＝ cosx在下列哪个区间上单调递减（ ） A．[0, π] B．[π/2, 3π/2] C．[－π/2, π/2] D．[π, 2π] 5．函数y ＝ sin(2x)的周期为（ ） A．2π B．π C．π/2 D．4π 6．函数y ＝ 3sinx的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 7．函数y ＝ sinx的对称中心为（ ） A．(kπ, 0) B．(π/2 ＋ kπ, 0) C．(kπ, 1) D．(2kπ, 0) 8．函数y ＝ cos(2x)的奇偶性为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶 D．既奇又偶 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．函数y ＝ sinx在[0, 2π]上的单调递增区间为 ____________。 10．函数y ＝ cosx在[0, 2π]上的单调递减区间为 ____________。 11．函数y ＝ 2sin(3x)的周期为 ____________。 12．函数y ＝ sinx取最大值1时x的集合为 ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）求下列函数的周期和最大值： （1）y ＝ 3sin(2x)； （2）y ＝ 2cos(3x ＋ π/4)。 14．（14分）已知函数f(x) ＝ sin(2x ＋ π/6)。 （1）求f(x)的周期； （2）求f(x)在[0, π]上的单调递增区间； （3）求f(x)取最大值时x的集合。 15．（14分）已知函数f(x) ＝ sinx ＋ cosx。 （1）求f(x)的周期； （2）判断f(x)的奇偶性； （3）求f(x)的最大值和最小值，并指出何时取到。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． B 3． C 4． A 5． B 6． C 7． A 8． B 9． [0,π/2]和[3π/2,2π] 10． [0,π] 11． 2π/3 12． {x|x=π/2+2kπ} ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】正弦函数y ＝ sinx的最小正周期为2π，选B。本题关键：sin(x ＋ 2π) ＝ sinx，2π是最小正周期。 2．【答案】B 【解析】余弦函数y ＝ cosx满足cos(－x) ＝ cosx，是偶函数，选B。 3．【答案】C 【解析】正弦函数y ＝ sinx在[－π/2, π/2]上单调递增，选C。本题关键：sinx在[－π/2 ＋ 2kπ, π/2 ＋ 2kπ]上单调递增。 4．【答案】A 【解析】余弦函数y ＝ cosx在[0, π]上单调递减，选A。本题关键：cosx在[2kπ, π ＋ 2kπ]上单调递减。 5．【答案】B 【解析】y ＝ sin(2x)的周期T ＝ 2π/2 ＝ π，选B。本题关键：y ＝ sin(ωx)的周期为2π/ω。 6．【答案】C 【解析】y ＝ 3sinx，因sinx最大值为1，故y最大值为3×1 ＝ 3，选C。 7．【答案】A 【解析】正弦函数y ＝ sinx的对称中心为(kπ, 0)，k ∈ Z，选A。 8．【答案】B 【解析】y ＝ cos(2x)，cos(－2x) ＝ cos(2x)，是偶函数，选B。本题关键：内层2x为奇函数，外层cosx为偶函数，复合函数为偶函数。 ■ 填空题解析 9．【答案】[0, π/2]和[3π/2, 2π] 【解析】sinx在[－π/2, π/2]上递增，在[0, 2π]内即[0, π/2]；sinx在[3π/2, 5π/2]上递增，在[0, 2π]内即[3π/2, 2π]。故递增区间为[0, π/2]和[3π/2, 2π]。也可通过观察正弦曲线在[0, 2π]上的图象，直接读出上升区间。 10．【答案】[0, π] 【解析】cosx的单调递减区间为[2kπ, π ＋ 2kπ]（k ∈ Z），在[0, 2π]上即[0, π]。 11．【答案】2π/3 【解析】y ＝ 2sin(3x)的周期T ＝ 2π/3。本题关键：y ＝ Asin(ωx)的周期为2π/ω。 12．【答案】{x | x ＝ π/2 ＋ 2kπ, k ∈ Z} 【解析】sinx ＝ 1时x ＝ π/2 ＋ 2kπ，k ∈ Z。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）周期π，最大值3；（2）周期2π/3，最大值2 【解析】（1）y ＝ 3sin(2x)，ω ＝ 2，周期T ＝ 2π/2 ＝ π。振幅A ＝ 3，最大值为3。 （2）y ＝ 2cos(3x ＋ π/4)，ω ＝ 3，周期T ＝ 2π/3。振幅A ＝ 2，最大值为2。 本题关键：y ＝ Asin(ωx ＋ φ)的周期T ＝ 2π/ω，最大值为|A|。 14．【答案】（1）周期π；（2）[0, π/6]和[2π/3, π]；（3）最大值1，x ＝ π/6 ＋ kπ 【解析】f(x) ＝ sin(2x ＋ π/6)。 （1）ω ＝ 2，周期T ＝ 2π/2 ＝ π。 （2）令u ＝ 2x ＋ π/6，sinu在[－π/2 ＋ 2kπ, π/2 ＋ 2kπ]上递增。 即－π/2 ＋ 2kπ ≤ 2x ＋ π/6 ≤ π/2 ＋ 2kπ。 各项减去π/6：－2π/3 ＋ 2kπ ≤ 2x ≤ π/3 ＋ 2kπ。 各项除以2：－π/3 ＋ kπ ≤ x ≤ π/6 ＋ kπ。 在[0, π]上：k ＝ 0时[0, π/6]；k ＝ 1时[2π/3, π]。 故递增区间为[0, π/6]和[2π/3, π]。 （3）sin(2x ＋ π/6)最大值为1，此时2x ＋ π/6 ＝ π/2 ＋ 2kπ。 解得x ＝ π/6 ＋ kπ，k ∈ Z。 本题关键：利用复合函数单调性，先求u ＝ 2x ＋ π/6的范围，再求x的范围。注意解不等式时先减后除的步骤。 15．【答案】（1）周期2π；（2）非奇非偶函数；（3）最大值，最小值－ 【解析】f(x) ＝ sinx ＋ cosx ＝ ·sin(x ＋ π/4)。 （1）ω ＝ 1，周期T ＝ 2π/1 ＝ 2π。 （2）f(－x) ＝ sin(－x) ＋ cos(－x) ＝ －sinx ＋ cosx。 f(－x) ≠ f(x)（不是偶函数），f(－x) ≠ －f(x)（不是奇函数）。 故f(x)是非奇非偶函数。 （3）f(x) ＝ ·sin(x ＋ π/4)，sin(x ＋ π/4)最大值为1，最小值为－1。 当x ＋ π/4 ＝ π/2 ＋ 2kπ，即x ＝ π/4 ＋ 2kπ（k ∈ Z）时，取到最大值。 当x ＋ π/4 ＝ －π/2 ＋ 2kπ，即x ＝ －3π/4 ＋ 2kπ（k ∈ Z）时，取到最小值－。 故f(x)最大值为，最小值－。 本题关键：利用辅助角公式将sinx ＋ cosx化为·sin(x ＋ π/4)，并明确取到最值时的x值。 高一数学必修第一册 · 第二十五课时 正弦函数、余弦函数的性质 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $