5.4.2正弦函数、余弦函数的性质 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合应用三层递进设计，覆盖正余弦函数性质的单一应用到综合探究，适配新授课知识内化与数学思维培养需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一性质（对称轴、单调性、定义域）|单选/填空直接应用（如定义域求解）| |能力提升|性质综合（奇偶性与周期、参数计算）|多选/填空参数题（如对称中心求参数）| |综合应用|实际应用与作图|解答题多步骤推理（如五点法作图及对称性分析）|

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 同步练习 （附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数图象的一条对称轴方程为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中在区间上是严格减函数的是（    ）． A． B． C． D． 3．已知，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．设函数的定义域为，则“”是“为偶函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．下列函数中，以为周期且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 9．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 二、多选题 10．下列函数中，是奇函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 11．下列函数中，最小正周期为的函数为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．函数的值域为______. 13．函数，的值域是________． 14．若为偶函数，且，则的值为______． 15．已知函数，为偶函数，则__________. 16．若直线是函数的一条对称轴，则__________． 17．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度由关系式确定，则当时， _____． 四、解答题 18．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间． 19．已知函数，. (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)求在区间上的最大值和最小值. 20．已知函数， (1)求函数的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数在上的值域． 21．已知函数 (1)填表并在坐标系中用“五点法”画出函数在一个周期内的闭区间上的图象（完成横、纵坐标列表）； 0 (2)写出函数图象的对称中心坐标及对称轴的方程. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《5.4 .2正弦函数、余弦函数的性质 同步练习 （附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A C B A B C A BCD 题号 11 答案 BCD 1．D 【知识点】正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 【分析】根据正弦函数的对称性与最值之间的关系分析判断. 【详解】由题意可知：，，， 均不是最值，故ABC错误； ，为最大值，可知为函数图象的一条对称轴方程，故D正确. 故选：D. 2．B 【知识点】判断指数函数的单调性、求sinx的函数的单调性、研究对数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据函数的单调性判断即可. 【详解】对于A：，在上单调递增，不符合. 对于B：是底数在内的指数函数，所以在上严格递减，从而在上也严格递减．符合. 对于C：在上单调递增，不符合. 对于D：在上单调递增，又，故不符合. 3．A 【知识点】比较正弦值的大小、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数、对数函数、三角函数的性质求解． 【详解】由题意知，，， 又因为，即，所以． 4．C 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、具体函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 5．B 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【详解】由是函数的图象的一个对称中心，得， 解得，而，则，因此当时，取得最小值. 6．A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、函数奇偶性的定义与判断、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【详解】当时，， 因为， 所以是偶函数，充分性成立； 若是偶函数，则，即， 解得，即（舍去）或， 化简可得， 当时，，此时， ，是偶函数，但，所以必要性不成立， 因此“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 7．B 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据正弦函数的值域可得所求值的范围. 【详解】因为，， ，，即. 故选：B. 8．C 【知识点】求含sinx的函数的最小正周期、求含cosx的函数的最小正周期、根据图像判断函数单调性 【分析】由判断A；由判断B；作出函数的图象判断C；作出的图象判断D. 【详解】对于A，因为，所以，由，得，所以单调递增，故A错误； 对于B，因为，所以，由，得，所以不单调，故B错误； 对于C，，其图象如图：    由图象知，在上单调递减，故C正确； 对于D，，其图象如图：      由图象知，，由，得， 所以在上不单调，故D错误. 故选：C. 9．A 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、诱导公式五、六、函数奇偶性的定义与判断 【详解】由诱导公式可得：， 则原式可化简为：，函数定义域为， 且满足， 故函数为奇函数. 10．BCD 【知识点】求函数的零点、由余弦（型）函数的奇偶性求参数、函数奇偶性的定义与判断 【详解】对于A，函数的定义域为，，为奇函数， 令，化简得，无解，不存在零点，A错误； 对于B，函数的定义域为，，为奇函数， 令，解得，有零点，B正确； 对于C，函数分母恒成立，函数的定义域为，，为奇函数， 令，则，解得，有零点，C正确； 对于D，，定义域为，，为奇函数， 令，则，解得存在零点，D正确. 11．BCD 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【详解】对于A，函数的图象可由函数保留轴右侧的图象不变， 去掉轴左侧图象， 并将右侧图象关于轴翻折到左侧得到，故函数没有周期性，故A错误； 对于B，的图象可由函数保留轴上方的图象不变， 并将轴下方的图象关于轴翻折到上方得到， 故其周期是函数的周期的一半，即，故B正确； 对于C，函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，函数的最小正周期为，故D正确. 12． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【详解】因为，所以. 即函数的值域为. 13． 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】先根据的取值范围求出的范围，再结合余弦函数的单调性计算值域. 【详解】令，由，可得， 又余弦函数在区间上单调递减，因此在上也单调递减， 当 时，函数取得最大值； 当时，函数取得最小值， 故函数，的值域为. 14．或 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【详解】为偶函数，， ，或. 15．，. 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【详解】因为为偶函数，故. 16． 【知识点】正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 【分析】根据正弦型函数图象在对称轴处取得最值的性质求解. 【详解】对于正弦型函数，其值域为，即最大值为，最小值为. 由正弦型函数的图象性质可知，函数图象的对称轴对应函数的最值点， 已知是的一条对称轴，因此在处取得最值，即. 17． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值 【详解】当时，． 18．(1) (2)． 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式 【分析】（1）先用二倍角、辅助角公式统一化为单角正弦型，再套周期公式求值； （2）整体代换正弦函数增区间，解不等式得到的取值范围. 【详解】（1） ， 所以函数的最小正周期为． （2）由（1）知， 由， 解得， 所以函数的单调递增区间为． 19．(1) (2)， (3)最小值为；最大值为 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】(1) 根据正弦型函数周期公式直接计算最小正周期； (2) 换元转化为基础正弦函数单调性，解不等式还原自变量范围； (3) 先确定相位的取值区间，结合正弦函数值域缩放得到原函数在闭区间上的最值. 【详解】（1）的最小正周期为 （2）令，，解得，， 故函数的单调递增区间为，. （3）当时，，则，根据正弦函数的性质， 可知当，即时，函数取得最小值为； 当，即时，函数取得最大值为. 20．(1)，单调递增区间为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据正弦型函数的周期及单调性求解即可. （2）结合正弦型函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）的最小正周期． 令，，则，， 所以函数单调递增区间为． （2）当时，， 又函数在区间上递增，在上递减，且， 故当，即时，取得最小值， 当，即时，取得最大值1， 故在上的值域为． 21．(1)答案见解析 (2)对称轴为：.对称中心为： 【知识点】五点法画正弦（型）函数的图象、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）令取表格给出的五个特殊值，计算出对应的和补全表格，再以五个计算结果为坐标在坐标系中描点、顺次连线，即可画出函数在一个周期内的图象； （2）利用正弦函数的对称性，分别令和，求解后整理即可得到函数的对称中心坐标和对称轴方程. 【详解】（1）列表 0 0 1 0 0 （2）对称轴为：.对称中心为： 对称轴方程的求解：由解得； 对称中心的求解：由解得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $