4.3对数同步练-2026年暑期预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本同步练以“对数”为核心，通过基础巩固、综合应用、迁移拓展三层设计，构建“概念理解→运算强化→问题解决”的知识巩固路径，培养数学抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|对数定义、互化、基本性质|单选题（6题）考定义辨析（如真数范围），填空题（2题）练简单求值，夯实概念理解| |中档|运算性质、换底公式应用|多选题（2题）辨运算正误，解答题（11题）分步骤化简计算，强化推理与运算能力| |提升|方程/不等式求解、参数问题|解答题（12题）结合函数奇偶性与对数不等式，考查知识迁移与综合应用，发展应用意识|

4.3对数 一、对数的概念 1. 对数的定义 如果 （a>0，且 a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作： 其中： ① a叫做底数（与指数函数中底数规定一致：a>0,a≠1）； ② N 叫做真数（N>0，因为 恒成立）； ③ 叫做对数式， 叫做指数式。 2. 指数式与对数式的互化 常见互化举例： ，， 3. 两类特殊对数 名称 记号 含义 备注 常用对数 lgN log10​N 底数为10，科学计数、工程常用 自然对数 lnN loge​N 底数为 e≈2.71828，微积分、增长模型常用 4. 对数的基本性质（由定义直接推出） ① 零与负数没有对数：真数 N>0； ② （因为 ）； ③ （因为 ）； ④ （对数恒等式，前提 ）； ⑤ （对任意实数 x 成立）。 二、对数的运算性质 1. 四则运算性质（前提：） 加法（积的对数） 减法（商的对数） 数乘（幂的对数） 易错提醒：（不能对和差取对数）；（乘积变加法，不是乘法）；真数里的系数、根号要化为幂再用性质：。 2. 对数恒等式与重要结论 对数恒等式： 倒数关系： 幂底互换： 三、换底公式 1. 公式内容 对于任意 ，，N>0，有：最常用的两种形式： 换成常用对数： 换成自然对数： 2. 换底公式推论 ① （互为倒数） ② ③ （连环换底消元） 3. 典型应用 ① 底数不同的对数比较大小、化简、求值； ② 形如 的连乘化简； ③ 已知 求 、 等。 四、常见题型与解题方法 1. 指数式与对数式互化 关键：找准 a,x,N 三者在 中的对应关系。 例：将 化为对数式解： 2. 对数式求值 利用定义与基本性质直接算： （因为 ）； （因为 ）； 3. 对数运算化简 步骤： ① 把根式、分式写成幂的形式； ② 用 把指数拉下来； ③ 用加减法合并 ； ④ 必要时用换底公式统一底数。 例：化简 解：原式 4. 解含对数的方程/不等式 ① 方程：先利用运算性质化为同底对数，再去掉对数符号（注意真数大于0）； ② 不等式：结合对数函数单调性（底数 a>1 递增，0<a<1 递减）求解，并验真数定义域。 五、易错点总结 1. 忽略真数大于0：、 均无意义； 2. 乱用运算性质： 不能拆开， 是相加不是相乘； 3. 换底公式分子分母搞反：应是 ，不是倒数； 4. 忘记分类讨论底数大小：涉及单调性与解不等式时，必须分a>1 与 0<a<1 两种情况； 一、单选题 1．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以，，所以. 故选：D 2．设，则的值为（   ） A． B． C．2 D．10 【答案】C 【分析】指数式化为对数式，然后利用对数换底公式进行计算. 【详解】因为，所以， . 故选：C 3．若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的定义将指数化为对数. 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 4．对数式M＝log(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A．(－∞，5) B．(3，5) C．(3，＋∞) D．(3，4)∪(4，5) 【答案】D 【分析】根据真数为正数，底数为不等于1的正数列式可求出结果. 【详解】由题意得， 解得3<a<4或4<a<5， 即a的取值范围是(3，4)∪(4，5)． 故选：D. 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换底公式以及对数的运算法则直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 6．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数是奇函数，再结合指数和对数运算公式，即可求值. 【详解】因为，所以，所以， 又是奇函数，所以. 故选：B 二、多选题 7．下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AB 【分析】根据对数的概念和常见底数的对数逐一判断每个选项 【详解】①，正确； ②根据指数式和对数式的互化可知其正确； ③，错误； ④，对数的真数部分是正数，因此无意义，错误. 故选：AB 8．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据对数运算判断AC；根据根式的定义判断BD. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，是非负数，所以，故D正确； 故选：AD． 三、填空题 9．在对数式中，实数的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据对数式中底数与真数范围列不等式组即可求解． 【详解】解：由对数式可知： ,解之得：且 故答案为：且． 10．计算：__________. 【答案】/ 【详解】原式 四、解答题 11．计算下列各式的值： (1)； (2). 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据幂的运算法则计算，根式化为分数指数幂． （2）根据对数运算法则计算． 【详解】（1）原式. （2）原式 12．已知． （1）若，求x的值． （2）若不等式于在有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）把函数解析式中的x换为，解方程即可求解； （2）先令进行换元，然后整理已知不等式，反解出m，将已知问题转化为求函数最值的问题，进而可以求解． 【详解】解：（1）由已知可得： ， 即，解得或，则或； （2）令， 则， ， 所以已知不等式可化为： 在上有解， 又在上恒成立， 所以不等式整理可得， 即在区间上有解，只需， 又函数在上单调递增， 所以当时，， 故m的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3对数 一、对数的概念 1. 对数的定义 如果 （a>0，且 a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作： 其中： ① a叫做底数（与指数函数中底数规定一致：a>0,a≠1）； ② N 叫做真数（N>0，因为 恒成立）； ③ 叫做对数式， 叫做指数式。 2. 指数式与对数式的互化 常见互化举例： ，， 3. 两类特殊对数 名称 记号 含义 备注 常用对数 lgN log10​N 底数为10，科学计数、工程常用 自然对数 lnN loge​N 底数为 e≈2.71828，微积分、增长模型常用 4. 对数的基本性质（由定义直接推出） ① 零与负数没有对数：真数 N>0； ② （因为 ）； ③ （因为 ）； ④ （对数恒等式，前提 ）； ⑤ （对任意实数 x 成立）。 二、对数的运算性质 1. 四则运算性质（前提：） 加法（积的对数） 减法（商的对数） 数乘（幂的对数） 易错提醒：（不能对和差取对数）；（乘积变加法，不是乘法）；真数里的系数、根号要化为幂再用性质：。 2. 对数恒等式与重要结论 对数恒等式： 倒数关系： 幂底互换： 三、换底公式 1. 公式内容 对于任意 ，，N>0，有：最常用的两种形式： 换成常用对数： 换成自然对数： 2. 换底公式推论 ① （互为倒数） ② ③ （连环换底消元） 3. 典型应用 ① 底数不同的对数比较大小、化简、求值； ② 形如 的连乘化简； ③ 已知 求 、 等。 四、常见题型与解题方法 1. 指数式与对数式互化 关键：找准 a,x,N 三者在 中的对应关系。 例：将 化为对数式解： 2. 对数式求值 利用定义与基本性质直接算： （因为 ）； （因为 ）； 3. 对数运算化简 步骤： ① 把根式、分式写成幂的形式； ② 用 把指数拉下来； ③ 用加减法合并 ； ④ 必要时用换底公式统一底数。 例：化简 解：原式 4. 解含对数的方程/不等式 ① 方程：先利用运算性质化为同底对数，再去掉对数符号（注意真数大于0）； ② 不等式：结合对数函数单调性（底数 a>1 递增，0<a<1 递减）求解，并验真数定义域。 五、易错点总结 1. 忽略真数大于0：、 均无意义； 2. 乱用运算性质： 不能拆开， 是相加不是相乘； 3. 换底公式分子分母搞反：应是 ，不是倒数； 4. 忘记分类讨论底数大小：涉及单调性与解不等式时，必须分a>1 与 0<a<1 两种情况； 一、单选题 1．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．设，则的值为（   ） A． B． C．2 D．10 3．若（且），则（    ） A． B． C． D． 4．对数式M＝log(a－3)(10－2a)中，实数a的取值范围是（    ） A．(－∞，5) B．(3，5) C．(3，＋∞) D．(3，4)∪(4，5) 5．已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知是定义域为的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列四个命题：①；②若，则；③；④.其中真命题是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在对数式中，实数的取值范围是__________． 10．计算：__________. 四、解答题 11．计算下列各式的值： (1)； (2). 12．已知． （1）若，求x的值． （2）若不等式于在有解，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $