第七周 第4天 对数的换底公式 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习（对数的换底公式），通过青铜、黄金、王者三级分层，实现从基础运算到综合应用再到创新挑战的知识巩固路径，培养数学抽象能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|换底公式基本化简与运算|基础选择、填空、解答题，强化对数运算能力| |黄金局|跨知识点综合与实际情境|结合汽车自动驾驶复杂度等现实问题，提升应用意识| |王者局|新定义与逻辑证明|“企盼数”探究及几何证明题，发展创新思维与推理能力|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第七周 第 4天 对数的换底公式 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.化简log832的值为(　　) A. B.2 C.4 D. 答案　D 解析　log832=. 2.log29×log34等于(　　) A. B. C.2 D.4 答案　D 解析　方法一　原式==4. 方法二　原式=2log23×=2×2=4. 3.等于(　　) A.lg 3 B.-lg 3 C. D.- 答案　C 解析　原式=lo+lo =lo+lo =lo=log310=. 4.若a=log35，5b=6，则ab-log32等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案　A 解析　由5b=6⇒b=log56， 故ab-log32=log35·log56-log32=log35·-log32=log36-log32=log3=log33=1. 5.已知log23=a，log27=b，则log4256等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由换底公式及运算性质化简整理，得log4256= = 将log23=a，log27=b代入上式，得log4256=. 6.已知ab≠1，logam=2，logbm=3，则logabm等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　由题意知，m>0，a>0，且a≠1，b>0，且b≠1， 因为logam=2，logbm=3，则m≠1， 所以由换底公式可得logma=logmb= 又因为logma+logmb=logmab(ab≠1)， 所以logmab= 所以由换底公式可得logabm=. 7.(多选)若log2m=log4n，则下列结论一定成立的是(　　) A.n=2m B.log9n=log3m C.ln n=2ln m D.log2m=log8(mn) 答案　BCD 解析　依题意log2m=log4n，所以m>0，n>0，log2m=lon=log2n=log2所以m=m2=n，A选项错误； log9n=lom2=log3m=log3m，B选项正确； ln n=ln m2=2ln m，C选项正确； log8(mn)=lom3=log2m=log2m，D选项正确. 8.(5分)若ln 3=a，则log9e=　　　　(结果用含a的代数式表示).  答案　 解析　因为ln 3=a，所以ea=3，则log9e=. 9.(5分)设log23·log36·log6m=log4(2m+8)，则实数m=　　　　.  答案　4 解析　左边==log2m=log4m2，所以m2=2m+8，解得m=4或m=-2(负值舍去). 10.(10分)计算下列各式的值： (1)log535+2lo-log5-log514；(5分) (2)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).(5分) 解　(1)原式=log535+log550-log514+2lo =log5+lo2=log553-1=2. (2)方法一　原式= = =log25·3log52 =13log25·=13. 方法二　原式= = ==13. 黄金局 提能力·融会贯通 11.根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵ 两边取常用对数，可得lg=lg 1010-lg 36-lg 230≈10-6×0.48-30×0.30=-1.88. ∴≈10-1.88≈. 12.(多选)若10a=4，10b=25，5c=4，则下列计算正确的是(　　) A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab=10 D. 答案　AD 解析　由10a=4，10b=25，5c=4， 则a=lg 4，b=lg 25，c=log54， 所以a+b=lg 4+lg 25=lg 100=2，故A正确； b-a=lg 25-lg 4=lg≠1，故B错误； 由ab≤=1，当且仅当a=b时取等号， 又a=lg 4，b=lg 25，所以等号不成立，即ab<1，故C错误； 由=log410-log45=log42=故D正确. 13.(5分)若lg a+lg b=2，lg a·lg b=则lg(ab)·(logab+logba)=　　　　.  答案　12 解析　因为lg a+lg b=2，lg a·lg b=. 所以lg(ab)·(logab+logba)=(lg a+lg b)· =(lg a+lg b)· =(lg a+lg b)· =2×=12. 14.(11分)设xa=yb=zc，其中x，y，z均大于0，且都不为1求证：z=xy. 证明　令xa=yb=zc=k，k>0且k≠1， 则a=logxk，b=logyk，c=logzk. 因为所以 即logkx+logky=logkz. 所以logk(xy)=logkz，即z=xy. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N*)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有　　　个.  答案　9 解析　令g(k)=f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)， 利用对数的换底公式可得f(k)=log(k+1)(k+2)= 得到g(k)=×…×=log2(k+2). 要使g(k)为整数，则k+2=2m，m∈N*. 由于k∈即2m∈ 因为22=4，210=1 024，211=2 048， 可取m=2，3，…，10. 因此在区间上这样的“企盼数”共有9个. 16.(12分)设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边长，且a≠1.求证：log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a·log(c-b)a. 证明　由勾股定理，得a2+b2=c2. log(c+b)a+log(c-b)a = = = = =2log(c+b)a·log(c-b)a. 所以原式成立. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第七周 第 4天 对数的换底公式 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.化简log832的值为(　　) A. B.2 C.4 D. 2.log29×log34等于(　　) A. B. C.2 D.4 3.等于(　　) A.lg 3 B.-lg 3 C. D.- 4.若a=log35，5b=6，则ab-log32等于(　　) A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.已知log23=a，log27=b，则log4256等于(　　) A. B. C. D. 6.已知ab≠1，logam=2，logbm=3，则logabm等于(　　) A. B. C. D. 7.(多选)若log2m=log4n，则下列结论一定成立的是(　　) A.n=2m B.log9n=log3m C.ln n=2ln m D.log2m=log8(mn) 8.(5分)若ln 3=a，则log9e=　　　　(结果用含a的代数式表示).  9.(5分)设log23·log36·log6m=log4(2m+8)，则实数m=　　　　.  10.(10分)计算下列各式的值： (1)log535+2lo-log5-log514；(5分) (2)(log2125+log425+log85)·(log52+log254+log1258).(5分) 黄金局 提能力·融会贯通 11.根据有关资料，汽车二级自动驾驶仪能够处理空间复杂度的上限M约为1010，目前人类可预测的地面危机总数N约为36×230.则下列各数中与最接近的是(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A. B. C. D. 12.(多选)若10a=4，10b=25，5c=4，则下列计算正确的是(　　) A.a+b=2 B.b-a=1 C.ab=10 D. 13.(5分)若lg a+lg b=2，lg a·lg b=则lg(ab)·(logab+logba)=　　　　.  14.(11分)设xa=yb=zc，其中x，y，z均大于0，且都不为1求证：z=xy. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N*)，定义使f(1)·f(2)·f(3)·…·f(k)为整数的数k(k∈N*)叫做“企盼数”，则在区间上这样的“企盼数”共有　　　个.  16.(12分)设a，b，c是直角三角形的三边长，其中c为斜边长，且a≠1.求证：log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)a·log(c-b)a. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $