3.2.2奇偶性 同步练-2026年暑期预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性，通过基础-中档-综合三层设计，实现从定义判断到性质综合应用的递进，培养数学抽象与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|奇偶函数定义、定义域对称判断、简单性质|单选题考定义域对称（如判断非奇非偶），夯实概念理解| |中档|奇偶性与单调性结合、参数求解|填空题考奇偶性与单调性综合（如奇函数在对称区间单调性），提升推理能力| |综合|奇偶性与解析式、单调性综合应用|解答题考参数求解及单调性证明（如已知奇偶性求解析式），发展应用意识|

3.2.2奇偶性 奇偶性描述的是函数的整体对称性，是函数的核心性质之一，本质是定义域关于原点对称的前提下，自变量取相反数时函数值的对应关系。 一、奇偶函数的定义（前提：定义域关于原点对称） 设函数f(x)的定义域为D： 偶函数：对任意x∈D，都有f(−x)=f(x) 几何意义：函数图像关于y轴对称 举例：、、 奇函数：对任意x∈D，都有f(−x)=−f(x) 几何意义：函数图像关于原点对称 举例：、、​、 非奇非偶函数：定义域不关于原点对称，或f(−x)=f(x)且f(−x)≠−f(x) 既奇又偶函数：只有f(x)=0且定义域关于原点对称的函数，同时满足奇、偶定义 核心前提：判断奇偶性第一步先看定义域是否关于原点对称，如果不对称直接判定非奇非偶。比如,x∈[−1,2]就不是偶函数。 二、判断函数奇偶性的步骤（规范书写） 1. 求定义域：检查定义域是否关于原点对称，若不对称→非奇非偶； 2. 算f(−x)：代入−x化简表达式； 3. 比较关系： ① f(−x)=f(x) → 偶函数 ② f(−x)=−f(x) → 奇函数 都不满足 → 非奇非偶 示例：判断的奇偶性 定义域为R，关于原点对称； 结论：f(x)是奇函数。 三、奇偶函数的性质 1. 对称性相关： 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同（如在(−∞,0)和(0,+∞)都递增）； 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反（如在(−∞,0)递减，(0,+∞)递增）。 2. 最值/函数值关系： 奇函数若在x=0处有定义，必有f(0)=0 （f(−0)=−f(0)⇒f(0)=−f(0)⇒f(0)=0）； 偶函数在对称点的函数值相等：f(−x)=f(x)，常用于求抽象函数值。 运算性质：（可记为“符号同乘法”） 奇±奇=奇，偶±偶=偶； 奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇； 四、易错提醒 1. 奇偶性是针对整个定义域的性质，不能说“在区间上是奇函数”； 2. 分段函数判断奇偶性需要对所有x满足f(−x)=±f(x)，比如分段函数要对x>0和x<0分别验证（利用−x落在另一段的性质）。 3. 已知奇偶性求参数：通常用特殊值（如f(−1)=f(1)/ f(−1)=−f(1)）+ 定义域对称要求求解。 一、单选题 1．下列函数既是奇函数又在上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式逐一判断奇函数，仅有A，C项符合，再验证在上的单调性即得选项. 【详解】对于A项，函数的定义域是，且函数是奇函数，且在区间上单调递减，故A项正确； 对于B项，函数定义域是，且是偶函数，故B项错误； 对于C项，函数定义域是，函数是奇函数，但是在区间上单调递增，故C项错误； 对于D项，函数不是奇函数，故D项错误. 故选：A. 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合区间函数值的符号及排除法，即可得. 【详解】由解析式，函数的定义域为R，且， 所以为奇函数，排除B、D， 当时，有，排除C. 故选：A 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质求解析式即可. 【详解】由，则，故， 所以. 故选：D 4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由是定义在上的奇函数得到.由当时，得到当时的表达式，从而求出，即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，， 所以当时，，所以，故. 故选：C. 5．设为定义在上的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】首先求出函数的周期为，利用奇偶性和周期性求出和，即得结果. 【详解】是定义在上的奇函数，， 又，则， 所以，即函数的周期， ，又，. 6．已知函数满足，且，则（   ） A． B． C．不可能是奇函数 D．在上单调递增 【答案】AB 【分析】利用赋值法和举例法即可逐个选项进行判断. 【详解】对于A，取，得， 所以，A正确； 对于B，取，得，又， 所以，令，得，B正确； 对于C，若满足，C错误； 对于D，取（表示不超过的最大整数），则， 从而有，当时，，D错误． 故选：AB 7．若为偶函数，则a的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】方法一：根据偶函数的定义求解即可；方法二：根据多项式的奇次项系数为0即可求解. 【详解】方法一：因为为偶函数，所以恒成立， 即恒成立， 则恒成立，所以恒成立，故，解得． 方法二：，要使函数为偶函数， 只需多项式的奇次项系数为0，即，即． 故选：D. 8．函数是奇函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数定义：若是奇函数，则对任意都满足，且定义域为时必有. 【详解】代入得，因此， 代入得，结合即， 整理得对任意恒成立，平方化简得对任意恒成立，因此， 因此是奇函数等价于且，即， 反之若，必有， 此时确实是奇函数，故充要条件为. 9．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由奇函数性质可知，对任意恒成立，代入化简即可. 【详解】不妨设，由奇函数性质可知， 所以，即对任意恒成立， 于是，所以. 故选：D. 10．已知函数是定义在上的奇函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性及单调性可得函数的正负情况，进而可解不等式. 【详解】因为函数是奇函数，且在上单调递增， 所以函数在上也单调递增， 又因为，所以， 不等式等价于或，所以或， 故选：A. 二、填空题 11．已知是R上的奇函数，当时，，则____________；若，，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质得，代入即可求出答案；根据函数的单调性可将不等式化为，根据，得到，根据对勾函数的单调性求出的最小值即可求出答案. 【详解】因为是上的奇函数，当时，， 所以， 易得在上单调递增， 所以可化为， 即， 因为，所以， 函数在上单调递减， 所以当时，函数取得最小值， 所以，即， 所以的取值范围为. 12．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为_____________ 【答案】 【分析】由题意可得，判断的奇偶性和单调性，进而求解即可. 【详解】因对任意的，且，都有， 不妨设，则， 设，则， 所以在上单调递减， 又为奇函数及，所以， 则为偶函数，且，故在上单调递增， 则时，，时，， 由，则， 即，则不等式的解集为. 故答案为：. 13．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则___________． 【答案】9 【分析】利用函数的奇偶性建立方程组，求出解析式，进而求出的值. 【详解】由题意知，，. 因为①， 则，即②， 由①②联立解得，. 所以. 故答案为：9 三、解答题 14．已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 由题意可得，解得，故， 为偶函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故为偶函数； (2) 在上单调递减，理由如下： 令，则 ， 由，则，，故， 故在上单调递减； (3). 【分析】（1）将点与代入计算即可得a，b的值，再利用奇偶性定义即可证明的奇偶性； （2）令，再利用函数单调性定义证明即可得； （3）利用函数单调性及其奇偶性，可得，解出即可得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由为偶函数且在上单调递减， 则由可得， 即有，化简得， 解得或. 所以不等式的解集为. 15．已知函数在上是奇函数，当时. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇偶性求解析式即可； （2）分、两种情况解不等式即可． 【详解】（1）函数在上是奇函数，则，， 当时，，则， 所以； （2）当时，，符合题意； 当时，，， 即，， 则，解得或； 综上，不等式的解集为． 16．已知函数（为非零常数）， (1)判断的奇偶性，并证明； (2)当时，若，判断的单调性并证明，求出函数的值域． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)函数在上是单调递增函数，证明见解析， 【分析】（1）判断函数的奇偶性，根据函数的奇偶性的定义判断即可； （2）判断函数的单调性，根据函数单调性的定义证明，利用单调性求值域即可. 【详解】（1）为奇函数．证明如下： 因为，所以的定义域为 又， 为奇函数. （2）当时，． 函数在上是单调递增函数． 证明：，且， 则 ，， ，，即， ，即 函数在上是单调递增函数. ，， 函数在上的值域为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.2奇偶性 奇偶性描述的是函数的整体对称性，是函数的核心性质之一，本质是定义域关于原点对称的前提下，自变量取相反数时函数值的对应关系。 一、奇偶函数的定义（前提：定义域关于原点对称） 设函数f(x)的定义域为D： 偶函数：对任意x∈D，都有f(−x)=f(x) 几何意义：函数图像关于y轴对称 举例：、、 奇函数：对任意x∈D，都有f(−x)=−f(x) 几何意义：函数图像关于原点对称 举例：、、​、 非奇非偶函数：定义域不关于原点对称，或f(−x)=f(x)且f(−x)≠−f(x) 既奇又偶函数：只有f(x)=0且定义域关于原点对称的函数，同时满足奇、偶定义 核心前提：判断奇偶性第一步先看定义域是否关于原点对称，如果不对称直接判定非奇非偶。比如,x∈[−1,2]就不是偶函数。 二、判断函数奇偶性的步骤（规范书写） 1. 求定义域：检查定义域是否关于原点对称，若不对称→非奇非偶； 2. 算f(−x)：代入−x化简表达式； 3. 比较关系： ① f(−x)=f(x) → 偶函数 ② f(−x)=−f(x) → 奇函数 都不满足 → 非奇非偶 示例：判断的奇偶性 定义域为R，关于原点对称； 结论：f(x)是奇函数。 三、奇偶函数的性质 1. 对称性相关： 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同（如在(−∞,0)和(0,+∞)都递增）； 偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反（如在(−∞,0)递减，(0,+∞)递增）。 2. 最值/函数值关系： 奇函数若在x=0处有定义，必有f(0)=0 （f(−0)=−f(0)⇒f(0)=−f(0)⇒f(0)=0）； 偶函数在对称点的函数值相等：f(−x)=f(x)，常用于求抽象函数值。 运算性质：（可记为“符号同乘法”） 奇±奇=奇，偶±偶=偶； 奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇； 四、易错提醒 1. 奇偶性是针对整个定义域的性质，不能说“在区间上是奇函数”； 2. 分段函数判断奇偶性需要对所有x满足f(−x)=±f(x)，比如分段函数要对x>0和x<0分别验证（利用−x落在另一段的性质）。 3. 已知奇偶性求参数：通常用特殊值（如f(−1)=f(1)/ f(−1)=−f(1)）+ 定义域对称要求求解。 一、单选题 1．下列函数既是奇函数又在上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．0 B．2 C． D． 5．设为定义在上的奇函数，且满足，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．已知函数满足，且，则（   ） A． B． C．不可能是奇函数 D．在上单调递增 7．若为偶函数，则a的值为（   ） A．0 B． C．1 D．2 8．函数是奇函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数是定义在上的奇函数，且，若在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知是R上的奇函数，当时，，则____________；若，，则的取值范围为________． 12．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为_____________ 13．已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则___________． 三、解答题 14．已知函数满足，． (1)求a，b的值，判断的奇偶性并证明； (2)判断在上的单调性，并用单调性的定义证明； (3)求不等式的解集． 15．已知函数在上是奇函数，当时. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 16．已知函数（为非零常数）， (1)判断的奇偶性，并证明； (2)当时，若，判断的单调性并证明，求出函数的值域． 1 学科网（北京）股份有限公司 $