三角函数分类、分层专题提高训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以三角函数概念为起点，通过分层模块构建从基础公式到图像性质的逻辑体系，强化抽象能力与推理意识的专项训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角函数的概念|6题|象限角判断、终边性质、充要条件分析|从角的定义到三角函数值符号，构建概念认知基础| |同角关系与诱导公式|8题|条件等式求值、三角形内角性质判断|公式推导与应用，强化逻辑推理能力| |图像与性质|12题（选择+解答）|周期性、单调性、对称性综合分析|从函数图像到性质应用，培养几何直观| |恒等变换与应用|11题（填空+解答）|三角公式化简、实际问题建模（弧长面积）|从代数变换到实际应用，发展应用意识|

三角函数分类、分层专题提高训练 1、 单选题 (一)三角函数的概念 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由，可得，此时，所以充分性成立； 反之：由，可得，此时，所以必要性成立，所以“”是“”的充要条件. 2．若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 【答案】A 【详解】由，，则是第三象限角，即， 所以，当，即为偶数时，，此时是第二象限角； 当，即为奇数时，，此时是第四象限角； 综上是第二或第四象限角. 3．已知、，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，则或，所以“”“”， “”“”，故“”是“”的必要而不充分条件. 4．角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以点位于第二象限，α是第二象限角，则，，，所以，，，则B正确，CD错误； 又，当且仅当时，，即时，不一定成立，则Ａ错误． 5．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 【答案】B 【详解】当角的终边不在坐标轴上时，，所以，所以只需， 又因为，要使，所以只需，所以角的终边在第二象限或第三象限. 6．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】因为是第二象限角，点为其终边上一点，所以， 解得或或，因为是第二象限角，所以，所以. (二)同角三角函数的基本关系 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则. 2．已知是的内角，且 若，则是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形． 【答案】B 【详解】，，， ，，为三角形内角，，， 为钝角，即三角形为钝角三角形. 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，则，所以， 又因为，所以，则，即， 联立，解得，所以. 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，即，所以，故，即，可知，得， 所以，解得，，故． (三)三角函数的诱导公式 1．在中，设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】A 【详解】在中，若，可得，即，所以，所以充分性成立； 反之：在中，若，可得， 所以或，可得或， 所以或，所以必要性不成立， 综上可得，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 2．若为第二象限角，则下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若为第二象限角，，A选项不符合题意； ，B选项不符合题意；，C选项不符合题意； ，D选项符合题意； 3．已知，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为第三象限角，且， 所以是第四象限角，所以. 所以. 4．已知，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】存在使得，则， 则，充分性成立，取，满足， 此时无论取何值，，，必要性不成立. 2、 多选题 (一)三角函数的图像与性质 1．设函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象的对称轴为 D．的单调递增区间为 【答案】AD 【详解】对于A，由函数，可得的最小正周期为，故A正确； 对于B，由，所以的图象不关于点对称，所以B错误； 对于C，令，解得， 即函数的对称轴的方程为，所以C不正确； 对于D，令，解得， 即函数的单调递增区间为，所以D正确. 2．关于函数，下列说法正确的有（   ） A．定义域为，值域为 B．函数是偶函数 C．函数的最小正周期为 D．函数在上单调递增 【答案】ABC 【详解】选项A：函数的自变量可取任意实数，故定义域为， 根据余弦函数的图象特征，其函数值的取值范围是，即值域为，A正确； 选项B：对任意，都有，满足偶函数的定义，故是偶函数，B正确； 选项C：对任意，都有， 且不存在小于的正实数使得，对所有成立，故的最小正周期为，C正确； 选项D：在上随增大，函数值从减小到，是单调递减的，并非单调递增，D错误. 3．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C． D．的零点为 【答案】ACD 【详解】对于A，因为的定义域为R，且，所以为偶函数，故A正确；对于B，令，则，由正弦函数在上单调递增，可得的值域为，故B错误；对于C，，，因为，，所以，， 所以，，则，故C正确； 对于D，令，可得，又，所以，则，故D正确． 4．下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，函数的周期为， 当时，，在上单调递减，A正确； 对于B，当时，，函数在上单调递增，B错误； 对于C，函数的周期为，当时，，在上单调递减，C正确； 对于D，函数的周期为，D错误. 5．已知函数，则下面说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 【答案】ABD 【详解】，周期为，故A项正确； 当时，，所以在上单调递增，故B项正确； 因为，所以不是的对称中心，故C项错误； 因为，是的最小值，所以的图象关于直线对称，故D项正确. 6．已知函数 ，下列叙述正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上有个零点 D．的最大值为 【答案】AD 【详解】对于A，因为函数的定义域为，又， 所以函数是偶函数，故A正确； 对于B，当时，，所以函数在上单调递减，故B错误； 对于C，因为函数是偶函数，且，故只需研究函数在上的零点个数即可， 当时，，令，得，所以函数在上只有一个零点，同理函数在上也只有一个零点，所以函数在上有3个零点，故C错误； 对于D，因为当时，，此时函数的最大值为3， 又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，所以当时，函数的最大值为3， 综上，函数的最大值为3，故D正确. 3、 填空题 (一)三角函数恒等变换 1．若，，则______． 【答案】 【详解】若，，则则. 2．若，则的值为_______ 【答案】 【详解】因为，所以，. 3．若是第三象限角，且 ，则___________． 【答案】/ 【详解】由，则，即，由， 则，，又是第三象限角，则，，则，， 所以． 4．已知，，则______． 【答案】 【详解】由，，得，且.两式相加得，即，所以. 5．已知，为锐角，且，，则的值为______． 【答案】或 【详解】因为，均为锐角，所以，可得，由，为锐角，得，由，得， 利用配凑角，根据余弦差角公式可得： 当时，； 当时，， 6．若，则________. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，所以. 从而. (二)弧长与面积公式 1．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______． 【答案】 【详解】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积，所以莱洛三角形的面积是. 2．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是________． 【答案】/ 【详解】由已知得，则AB=BC=AC=2，故扇形的面积为，由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，∴所求面积为． 3．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图1），扇面形状较为美观．从半径为20 cm的圆面中剪下扇形，使扇形的面积与圆面中剩余部分的面积比值为（≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为．则一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图2）的面积为________cm2． 【答案】 【详解】由条件可知，得,解得：， ，，，. 4．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米. 【答案】 【详解】如图，是月牙湖的示意图，是的中点，连结，可得，由条件可知， 所以，所以，， 所以月牙泉的周长. 5．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________． 【答案】 6 12π﹣9 【详解】∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过作，交于，根据圆的几何性质可知，垂直平分.∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6， ∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9． 4、 解答题 (一)函数的图像与性质 1．已知函数. (1)若，求的值；(2)求在上的单调区间. 【详解】（1），所以. （2） ，因为，所以. 令，得；令，得， 因此在上的单调递增区间为，单调递减区间为. 2．函数（，，）在一个周期内的图象如图所示， (1)求函数的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间． 【详解】（1）由题意可知，，又因为函数的最小正周期为，， 所以，此时，由，可得， 因为，所以，所以，解得， 所以函数的解析式为． （2）因为．所以． 化简得.所以函数的值域为． 令，解得， 令，解得． 所以函数的单调增区间为，单调减区间为 3．已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，令，所以，所以的对称轴方程为. （2）由题意知，，因为的最大值为1，即，所以， 由，即，所以， 所以，即. 4．函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间；(2)已知，且，求的值. 【详解】（1）由图可得，，所以，且，得，， 又因为，所以，所以.又因为，， 解得，，所以在上的单调递增区间为. （2）因为，所以.因为，所以， 即，所以.所以. 5．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 【详解】（1） ，所以的最小正周期为， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）由题可知，， 当时，，由得， 由得，因此函数在上单调递增，在上单调递减， 令，则，即， 又函数在上有2个零点等价于函数在上的图象与有两个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数在上的图象，如图，观察图象知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点，所以实数的取值范围是． 6．已知函数的最大值为1，为常数． (1)求函数在上的单调递增区间；(2)求使成立的的取值集合． 【详解】（1）函数 ，因为的最大值为1，所以，解得，所以．令，解得：， 又因为，则取交集，所以在的单调递增区间为； （2）因为，即，可得：． 所以．解得： 综上：成立的的取值集合是． 7．已知函数的最小正周期为，且 (1)求的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间. 【详解】（1）由，得.由，且，所以，所以； （2）由，所以 ， 所以的值域为， 因为在上单调递增，在上单调递减， 由得，由得，， 所以的递增区间为，递减区间为，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数分类、分层专题提高训练 1、 单选题 (一)三角函数的概念 1．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，则是（   ） A．第二或第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一或第三象限角 3．已知、，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．角α的终边经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若角的终边不在坐标轴上，且满足，则角为（    ） A．第一象限角或第二象限角 B．第二象限角或第三象限角 C．第三象限角或第四象限角 D．第二象限角或第四象限角 6．已知是第二象限角，点为其终边上一点，且，则等于（   ） A． B．2 C． D．3 (二)同角三角函数的基本关系 1．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．已知是的内角，且 若，则是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形． 3．若，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，则（   ） A． B． C． D． (三)三角函数的诱导公式 1．在中，设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2．若为第二象限角，则下列各式的值为负数的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，且为第三象限角，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2、 多选题 (一)三角函数的图像与性质 1．设函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．的图象的对称轴为 D．的单调递增区间为 2．关于函数，下列说法正确的有（   ） A．定义域为，值域为 B．函数是偶函数 C．函数的最小正周期为 D．函数在上单调递增 3．已知函数，则（    ） A．为偶函数 B．的值域为 C． D．的零点为 4．下列四个函数中，周期为且在区间上单调递减的有（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则下面说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递增 C．的图象关于点对称 D．的图象关于直线对称 6．已知函数 ，下列叙述正确的有（    ） A．函数是偶函数 B．函数在区间上单调递增 C．函数在区间上有个零点 D．的最大值为 3、 填空题 (一)三角函数恒等变换 1．若，，则___________ 2．若，则的值为___________ 3．若是第三象限角，且 ，则___________． 4．已知，，则______． 5．已知，为锐角，且，，则的值为______． 6．若，则________. (二)弧长与面积公式 1．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A、B、C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角（如图所示）．若莱洛三角形的周长为，则其面积是______． 2．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形．若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是________． 3．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．按如下方法剪裁（如图1），扇面形状较为美观．从半径为20 cm的圆面中剪下扇形，使扇形的面积与圆面中剩余部分的面积比值为（≈0.618，称为黄金分割比例），再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为．则一个按上述方法制作的扇形装饰品（如图2）的面积为________cm2． 4．“一湾如月弦初上，半壁澄波镜比明”描述的是敦煌八景之一的月牙泉.如图所示，月牙泉由两段在同一平面内的圆弧形岸连接围成.两岸连接点间距离为米.其中外岸为半圆形，内岸圆弧所在圆的半径为60米.某游客绕着月牙泉的岸边步行一周，则该游客步行的路程为_______米. 5．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________． 4、 解答题 (一)函数的图像与性质 1．已知函数. (1)若，求的值；(2)求在上的单调区间. 2．函数（，，）在一个周期内的图象如图所示， (1)求函数的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间． 3．已知函数. (1)求的最小正周期及对称轴方程； (2)若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 4．函数（，，）的部分图像如图所示. (1)当时，求的单调递增区间；(2)已知，且，求的值. 5．已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若在上有2个零点，求实数的取值范围． 6．已知函数的最大值为1，为常数． (1)求函数在上的单调递增区间；(2)求使成立的的取值集合． 7．已知函数的最小正周期为，且 (1)求的解析式； (2)设函数，求的值域和单调区间. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $