第2天 三角函数的图象和性质 每天专项小题练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数图象与性质核心考点，通过分层题型系统覆盖周期、平移、对称、单调性等高频考法，以题构建知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|7题|周期计算、图象平移、对称中心求解|从三角函数基本形式推导性质，强化概念应用| |多选|2题|综合性质判断（周期、对称轴、单调性、零点）|整合多性质辨析，构建知识关联网络| |填空|3题|零点性质、交点个数、参数范围问题|深化性质应用，提升抽象与推理能力| |解答|2题|解析式求解、值域与单调区间综合|从基础概念到综合应用，培养数学表达能力|

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项小题练习 第2天 三角函数的图象和性质 1.答案　D 解析　依题意,f(x)的最小正周期T==2π.故选D. 2.答案　C 解析　y=sin=sin 2x, 故将函数y=sin个单位长度得到函数y=sin 2x的图象.故选C. 3.答案　B 解析　由题意知a-=,k∈Z, 得a=+,k∈Z, 因为a>0,所以取k=0,得a的最小值为.] 4.答案　B 解析　把函数y=sin(4x+φ)个单位长度,所得图象对应的函数是y=sin,且它是偶函数, 所以-+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+,(k∈Z), 又因为-<φ<,所以φ=-.故选B. 5.答案　D 解析　函数f(x)=sin-cos x =sin xcos +cos xsin -cos x =sin x-cos x=sin, 由于f(x)在区间[0,t]上的最小值为-, 因此x-∈, 为了使f(x)在区间[0,t]上的最小值不小于-,则t-, 解得t的最大值为.故选D. 6.答案　C 解析　函数f(x)=sin ωx+cos ωx =sin(ω>0), 设函数f(x)的最小正周期为T, 由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N*), 所以T==(k∈N*),即ω=2k(k∈N*); 又函数f(x)在上存在零点, 且当x∈时,ωx+∈, 所以+≥π,即ω≥3,故ω=4即为所求.] 7.答案　A 解析　因为f(x)在上单调递增且x=为f(x)图象的一条对称轴, 所以×≥-, f=sin=1, 得0<ω≤2, 且ω+φ=+2k1π(k1∈Z). ① 因为是f(x)图象的一个对称中心, 所以f=sin=0, 得ω+φ=k2π(k2∈Z), ② 由①②得ω=-2+4(k2-2k1)(k1,k2∈Z), 结合0<ω≤2,得ω=2, 则φ=+2k1π(k1∈Z),又-π<φ<π, 所以φ=,故f(x)=sin. 当x∈时,2x+∈, 所以f(x)的最小值为 f=sin =-.] 8.答案　ACD 解析　对于A,函数f(x)的最小正周期为=π,A正确; 对于B,因f=sin=0≠±1,即f(x)的图象关于直线x=不对称,B错误; 对于C,当x∈时, 2x-∈, 因正弦函数在上单调递减, 故f(x)在上单调递减,C正确; 对于D,当x∈(0,π)时, 2x-∈, 由f(x)=0,得2x-=0或2x-=π, 解得x=或x=, 即f(x)在(0,π)上有2个零点,D正确. 故选ACD. 9.答案　AD 解析　对于A:由图知A=2,T==π, 所以ω=2, f(x)过点, 所以f=2sin=0, 可取φ=,则f(x)=2sin,故A正确; 对于B:由A知f(x)=2sin, 将f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍,可得y=2sin, 再向左平移个单位长度,得到g(x)的图象, 则g(x)=2sin =2sin =-2sin, f =2sin =2sin(x+π)=-2sin x, 二者不相等,故B错误; 对于C:由A知f(x)=2sin, 所以2x+=kπ,k∈Z, 解得x=-,k∈Z, 所以f(x)的对称中心为, k∈Z,故C错误; 对于D:x1,x2∈, 令t1=2x1+,t2=2x2+, 则t1,t2∈(0,π), 因为f(x1)=f(x2)(x1≠x2), 则sin t1=sin t2,t1,t2∈(0,π), 所以t1+t2=π, 即2(x1+x2)=,即x1+x2=, 所以f(x1+x2)=f=2sin =,故D正确.故选AD. 10.答案　- 解析　因为函数f(x)=sin x-, x∈(0,π)恰有两个零点x1,x2, 所以sin x1=,sin x2=, 又y=sin x, 在x∈(0,π)关于x=对称, 所以=,即x1+x2=π, f(x1+x2)=f(π)=sin π-=-. 11.答案　3 解析　因为2cos =-2>--1, 2cos=2>-1, 2cos=2<-1, 所以作出y=2cos与y=x-1的大致图象,易知共有3个交点. 12.答案　 解析　x∈时, 2x+φ∈, 令y=sin z, 则当z∈, k∈Z时,y>, 故要想f(x)=sin(2x+φ)在x∈时满足f(x)>恒成立, 需满足φ=+2kπ,k∈Z,不妨取φ=,则f(x)=sin. 若x∈,则2x+∈, 画出y=sin z在z∈上的图象,如下: 由图象可知,m∈, =,=, 则=, =, 故x1+x2=-=, x2+x3=-=, 两式相加得x1+2x2+x3=+=, 所以+x2+=. 13.解　(1)因为f(0)=cos φ=,且0≤φ<π, 所以φ=. (2)g(x)=f(x)+f =cos+cos 2x =cos 2xcos -sin 2xsin +cos 2x =cos 2x-sin 2x = =cos. 因为x∈R,所以当cos=1时, g(x)max=, 当cos=-1时,g(x)min=-, 所以g(x)的值域为[-,]. 令2kπ-π≤2x+≤2kπ(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ-(k∈Z). 令2kπ≤2x+≤2kπ+π(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以g(x)的单调递增区间为 (k∈Z), 单调递减区间为 (k∈Z). 14.解　(1)由两角和与差的正弦公式可得f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ=sin(ωx+φ), 由于ω>0,则f(x)的最小正周期为T=, f(T)=sin=sin(2π+φ)=sin φ=-, 因为|φ|<,所以φ=-. (2)因为f(x)与x轴相邻的两交点间的距离为, 所以f(x)=sin的最小正周期为π, 所以ω==2,即f(x)=sin, 当x∈时,2x-∈, 结合正弦函数的图象与性质可得,当2x-=-即x=0时,f(x)取最小值-, 当2x-=即x=时,f(x)取最大值1. 综上,f(x)在区间上的最大值为1,最小值为-. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 2027届新高考高三第一轮复习 每日专项小题练习 第2天 三角函数的图象和性质 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ 分数：_________ 一、单选题(每小题5分,共35分) 1.(2025·八省联考)函数f(x)=cos的最小正周期是(　　) A. B. C.π D.2π 2.(2025·汕头一模)要得到函数y=sin 2x的图象,只要将函数y=sin的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 3.(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 4.(2025·湖北七市联调)函数f(x)=sin(4x+φ)的图象向右平移个单位长度后,其图象关于y轴对称,则φ=(　　) A.- B.- C. D. 5.(2025·南京六校联考)已知函数f(x)=sin-cos x在区间[0,t]上的最小值为-,则t的最大值为(　　) A. B. C. D. 6.(2025·北京卷)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为(　　) A.8 B.6 C.4 D.3 7.(2025·天津卷)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π<φ<π)在上单调递增,且x=为f(x)图象的一条对称轴,是f(x)图象的一个对称中心,当x∈时,f(x)的最小值为(　　) A.- B.- C.-1 D.0 二、多选题(每小题6分,共12分) 8.(2025·成都二诊)已知函数f(x)=sin,则(　　) A.f(x)的最小正周期为π B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)在上单调递减 D.f(x)在(0,π)上有2个零点 9.(2025·湖北八市联考)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则(　　) A.f(x)的解析式可以为f(x)=2sin B.将f(x)图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍,再向左平移个单位长度,得到g(x)的图象,则g(x)=f C.f(x)的对称中心为,k∈Z D.若x1,x2∈,f(x1)=f(x2)(x1≠x2),则f(x1+x2)= 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.(2025·福州二检)函数f(x)=sin x-,x∈(0,π)恰有两个零点x1,x2,则f(x1+x2)=　　　　.  11.曲线y=2cos与直线y=x-1的交点个数为　　　　.  12.(2025·安阳一模)已知函数f(x)=sin(2x+φ)在x∈时满足f(x)>恒成立,且在区间内,仅存在三个数x1,x2,x3(x1<x2<x3),使得f(x1)=f(x2)=f(x3)=m,则+x2+=　　　　.  四、解答题(13题13分,14题15分) 13.(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=. (1)求φ; (2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间. 14.(2025·宜宾三模)已知函数f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ,其中ω>0,|φ|<.记f(x)的最小正周期为T,f(T)=-. (1)求φ的值; (2)若f(x)与x轴相邻交点间的距离为,求f(x)在区间上的最大值和最小值. 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $