2.4+一元二次方程的应用 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的几何应用，以梯子下滑问题复习勾股定理引入，通过变式探究（顶端下滑与底端滑动距离相等）构建从具体情境到抽象模型的学习支架，衔接方程解法与实际问题。 其亮点在于以现实情境（梯子问题、海军基地巡航）培养数学眼光，通过“审设列解验答”步骤和模型转化流程发展数学思维与语言。如例1构造直角三角形列方程，帮助学生掌握建模方法，教师可借助清晰流程提升教学效率。

2.4 一元二次方程的应用 北师版九年级上册 第二章 一元二次方程 第1课时 几何图形问题 1 01 教学目标 01 1.掌握建立数学模型解决几何(行程)问题,解决与勾股定理有关的实际问题。 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。 复习导入 你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一架长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为 8 m。如果梯子顶端下滑 1 m，那么梯子底端滑动多少米？ 解：设梯子底端滑动 x m，滑动后梯子底端距墙_______m。 （x＋6） 根据题意，可得方程： 72＋(x＋6)2 ＝ 102 (x＋6)2 ＝ 102－72 (x＋6)2 ＝ 51 03 新知探究 x x 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (8-x)2+(6+x)2 =102 x2-2x = 0 x1= 0（舍），x2 = 2。 （1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ 03 新知讲解 （2）如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (12-x)2+(5+x)2 =132 x2-7x = 0 x1= 0（舍），x2 = 7。 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 结 小 纳 归 （1）审：审题要弄清已知量、未知量和问题中的等量关系； （2）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异； （3）列：列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程； （4）解：求出所列方程的解； （5）验：检验方程的解是否正确，能否保证实际问题有意义； （6）答：根据题意，选择合理的答案作答。 03 新知讲解 提炼概念 数学问题( 一元二次方程) 实际问题 实际问题的解 抽象 寻找等量关系 数学问题的解 (一元二次方程的解) 解方程 解释 验证 例1 如图，某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 n mile 处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 n mile 处有一重要目标C。小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头；小岛 F 位于 BC 的中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇与 E 处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1 n mile） （1）要求 DE 的长，需要如何设未知数？ （2）怎样建立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ （3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ （4）选定Rt△DEF 后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？ 03 新知讲解 解：连接DF。 ∵AD=CD，BF=CF， ∴DF是△ABC 的中位线。 ∴DF∥AB ， 且DF=AB。 ∵AB⊥BC，AB=BC=200 n mile， ∴DF⊥BC，DF=100 n mile，BF=100 n mile。 设相遇时补给船航行了x n mile， 那么DE=x n mile，AB+BE=2x n mile， EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)n mile。 A D B E F C 北 东 03 新知讲解 在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x²=100²+(300-2x)²， 整理，得3x²-1 200x+100 000=0。 解这个方程，得x1=200-≈118.4， x2=200+(不合题意，舍去)。 所以，相遇时补给船大约航行了118.4 n mile。 A D B E F C 北 东 课堂小结 列一元二次方程解应用题的一般步骤： 审 设 列 解 验 答 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，东西方向上有A，C两地相距10 km，甲以16 km/h的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12 km/h的速度从C地出发向正南方向前进，则最快经过(　　)小时，甲、乙两人相距6 km。 A. B. C. 1.5 D. A 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 解：设 t s 后 P ，Q 两点相距 15 cm。 由题意有 t2＋(21－t)2 = 152， 解得 t1 = 9，t2 = 12。 所以，运动 9 s 或12 s 时，P ，Q 两点相距 15 cm。 2.如图，在 △ACB 中，∠C = 90°，AC = 30 cm，BC = 21 cm。动点 P 从点 C 出发沿 CA 方向运动，动点 Q 同时从点 B 出发沿 BC 方向运动。如果动点 P，Q 的运动速度均为 1 cm/s，那么经过几秒它们相距 15 cm？ 3.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2 m，另一边减少了3 m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( ) A.10 m B.9 m C.8 m D.7 m D 4.为改善村容村貌，建设美丽乡村，某村计划将一块长18米、宽10米的矩形场地建成绿化广场.如图，广场内部修建同样宽的三条小路，其中一条路与广场的长边平行，另外两条路与广场的短边平行，其余区域进行绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，则小路的宽为 　 　米.  　1　 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动。P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm。 06 作业布置 【综合拓展类作业】 解　设P，Q两点从出发经过t s时，点P，Q间的距离是10 cm， 作QE⊥AB，垂足为E，则QE=AD=6 cm，PQ=10 cm，如图所示. ∵PA=3t cm，BE=CQ=2t cm， ∴PE=|AB-AP-BE|=|16-5t|，由勾股定理， 得(16-5t)2+62=102， 整理，得25t2-160t+192=0.解得t1=4.8，t2=1.6。 故从出发到1.6 s或4.8 s时，点P和点Q的距离是10 cm。 6.如图，某景区准备在一块边长为20米的正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所，要求修建4条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边.若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域(阴影部分)的面积为192米2.设小道宽度为x米，根据题意，下列所列方程正确的是( ) A.(20－x)2＝192 B.4×3x(20－4x)＝192 C.(20－4x)2＝192 D.202－4×3x2－(20－3x)2＝192 B 7.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则点D出发 　 　s时，四边形DFCE的面积为20 cm2.  　1或5　 谢谢大家 $