2.4 一元二次方程的应用 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖行程、几何图形及动点问题。课堂导入以“梯子下滑”情景为起点，从顶端下滑1米底端滑动距离的旧知，延伸到下滑距离与滑动距离相等的问题，搭建学习支架衔接前后知识。 其亮点在于以现实问题为载体，通过“梯子下滑”“海军巡航”“鸡场面积”等实例，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理运算、用数学语言建立方程模型的能力。采用问题链引导探究，学生能提升应用意识，教师可高效落实核心素养教学。

第2章 一元二次方程 4 一元二次方程的应用 第1课时 行程、几何图形及动点问题 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 1 情景导入 你还记得本章开始时梯子下滑的问题吗？ 如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m.如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （1）在这个问题中，梯子顶端下滑 1 米时，梯子底端滑动的距离大于 1 米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？ x x 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (8-x)2+(6+x)2 =102 x2-2x = 0 x1= 0（舍），x2 = 2. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （2）如果梯子长度是 13 m，梯子顶端与地面的垂直距离为 12 m，那么梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？ 设梯子顶端下滑x米，底端滑动x米 (12-x)2+(5+x)2 =132 x2-7x = 0 x1= 0（舍），x2 = 7. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 探究新知 实践探究 例1 如图：某海军基地位于 A 处，在其正南方向 200 海里处有一重要目标 B，在 B 的正东方向200 海里处有一重要目标C，小岛 D 位于 AC 的中点，岛上有一补给码头。小岛 F 位于 BC 中点。一艘军舰从 A 出发，经 B 到 C 匀速巡航，一艘补给船同时从 D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 5 已知军舰的速度是补给船的 2 倍，军舰在由 B 到 C 的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 （1）要求 DE 的长，需要如何设未知数？ （2）怎样建立含 DE 未知数的等量关系？从已知条件中能找到吗？ （4）选定Rt△DEF 后，三条边长都是已知的吗？DE，DF，EF 分别是多少？ （3）利用勾股定理建立等量关系，如何构造直角三角形？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解： 连接 DF. ∵AD = CD，BF = CF， ∴DF 是△ABC 的中位线. ∴DF∥AB，且 DF = AB. ∵AB⊥BC，DF = 100 n mile，BF = 100 n mile. 设相遇时补给船航行了 x n mile，那么 DE = x nmile，AB + BE = 2x n mile， EF = AB + BF-（AB + BE）=（300-2x）n mile. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 在Rt△DEF 中，根据勾股定理可得方程 x2 = 1002 + (300-2x)2， 整理，得 3x2-1200x + 100 000 = 0. 解这个方程，得x1=200－≈118.4， x2 =200 + （不合题意，舍去） 所以，相遇时补给船大约航行了 118.4 n mile. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 应用举例 【例2】如图是长方形鸡场的平面示意图，一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，且竹篱笆总长为35 m。 (1)若所围的面积为150 m2，试求此长方形鸡场的长和宽； 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 (2)若墙长为18 m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ (3)能围成面积为160 m2的长方形鸡场吗？说说你的理由。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 【方法指导】(1)若设BC＝x m，则AB的长为m，若设AB＝x m，则BC＝(35－2x)m，再利用题干中的等量关系，可求出(1)的解； (2)墙长为18 m，意味着BC边的长应小于或等于18 m，从而对(1)的结论进行甄别即可； (3)可借助(1)的解题思路构建方程，依据方程的根的情况可得结论。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：(1)设BC＝x m，则AB＝CD＝ m。 依题意可列方程为x· ＝150。 整理，得x2－35x＋300＝0。 解这个方程，得x1＝20，x2＝15。 当BC＝20 m时，AB＝CD＝7.5 m， 当BC＝15 m时，AB＝CD＝10 m。 即这个长方形鸡场的长与宽分别为20 m，7.5 m或15 m，10 m。 (1)若所围的面积为150 m2，试求此长方形鸡场的长和宽； 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：(2)当墙长为18 m时，显然BC＝20 m时，所围成的鸡场会在靠墙处留下一个缺口，不合题意，应舍去，此时所围成的长方形鸡场的长与宽只能是15 m，10 m。 (2)若墙长为18 m，则(1)中长方形鸡场的长和宽分别是多少？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：(3)不能围成面积为160 m2的长方形鸡场。理由如下：设BC＝x m，则AB＝m。 依题意可列方程为x· ＝160。整理，得x2－35x＋320＝0。 此时Δ＝352－4×1×320＝1 225－1 280＝－55＜0，原方程没有实数根，从而知用35 m的篱笆按图示方式不可能围成面积为160 m2的鸡场。 (3)能围成面积为160 m2的长方形鸡场吗？说说你的理由。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 课堂小结 通过这节课的学习活动，你有什么收获？ 北师大版（2024） 九年级 数学（上） 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 随堂练习 1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙行各几何。”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3。乙一直向东走，甲先向南走了 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇。那么相遇时，甲、乙各走了多远？ 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：设所行时间为 t，则有 (3t)2 +102 = (7t-10)2， 解得 t1 = 0（舍去），t2 = . ∴甲走了×7 =（步），乙走了×3 = （步）. 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 2．直角三角形的两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长为 ( ) A． B．5 C． D．7 B 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3．从正方形铁皮的一边切去一个2 cm宽的长方形，若余下的长方形面积是48 cm2，则原来正方形铁皮的面积是___________。 64 cm2 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝10 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4 cm/s的速度移动。点Q到达点C后，点P，Q停止运动。设P，Q从点A，B同时出发，经过多少秒后，△PBQ的面积是10 cm2? 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 解：设x s后，△PBQ的面积等于10 cm2。 由题意，得×4x(6－x)＝10。 整理，得x2－6x＋5＝0。 解得x1＝1，x2＝5(不合题意，舍去)。 答：经过1 s后，△PBQ的面积等于10 cm2。 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 单击此处编辑母版标题样式 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1 $