第26章 二次函数 暑假自学提升 学案2——二次函数y=ax2 、y=ax2+k的图像和性质 （2026--2027学年人教版九年级数学上册）

第二十六章 二次函数 26.2二次函数的图像和性质 26.2.1二次函数 、的图像和性质 一、二次函数的基础形式： 1. 定义 形如 （ 是常数，且 ）的函数叫做二次函数。 当 且 时，函数简化为 ，这是二次函数的最简形式，也是本章节的核心研究对象。 2. 图象绘制（描点法） 通过“列表→描点→连线”三步画出图象： 步骤 操作说明 列表 选取对称的自变量值（如 ），计算对应函数值 。 描点 在平面直角坐标系中，标记出 对应的点。 连线 用平滑曲线依次连接各点，得到抛物线。 3. 图象特征与性质 的图像，核心规律由系数 决定： 性质项目 (开口向上) (开口向下) 开口方向 向上 向下 顶点坐标 —— 最低点 —— 最高点 对称轴 轴（直线 ） 轴（直线 ） 最值 当 时， 当 时， 增减性 时， 随 增大而减小； 时， 随 增大而增大。 时， 随 增大而增大； 时， 随 增大而减小。 开口大小规律： 越大，开口越窄； 越小，开口越宽。 示例：的图像 当a＞0，以a为、a=1、a=2为例 当a＜0，以a为-、a=-1、a=-2为例 二、二次函数的进阶形式： 1. 核心概念：平移变换 形如 （ 为常数，）的函数，可以看作是基础二次函数 在竖直方向上发生了平移。 的作用不变：决定抛物线的开口方向和开口大小（形状）。 的作用：决定抛物线在 轴方向上的位置（上下平移）。 2. 平移规律 对比 和 的图象： - 当 时，将 的图象向上平移 个单位； 当 时，将 的图象向下平移 个单位。 记忆口诀：“上加下减”。即常数项 为正向上移，为负向下移。 3. 图象特征与性质 性质项目 (开口向上) (开口向下) 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（直线 ） 轴（直线 ） 顶点坐标 —— 最低点 —— 最高点 最值 当 时， 当 时， 增减性 时， 随 增大而减小； 时， 随 增大而增大。 时， 你 fgc 随 增大而增大； 时， 随 增大而减小。 三、易错点与难点解析 1. 忽略 ：若 ，函数退化为一次函数或常数函数，不再是二次函数。 1. 混淆增减性的区间：必须明确“对称轴左侧/右侧”的前提，不能笼统说“ 随 增大而增大/减小”。 1. 最值的条件遗漏：求最值时需强调“当 时”，避免只写结果不写前提。 1. 关于“形状相同”：只要 相等，抛物线的形状（开口宽窄）就完全相同。例如：、、 形状完全一样，仅位置不同。 1. 顶点坐标的变化： 的顶点是原点 ，而 的顶点变成了 。顶点的横坐标始终是 0，只有纵坐标随 变化。 4、 例题 例题 1：基础图像与性质分析 题目： 已知二次函数 。 1. 该抛物线的开口方向是______，顶点坐标是______，对称轴是______。 2. 当 时， 随 的增大而______（填“增大”或“减小”）。 3. 该函数有最______值（填“大”或“小”），当 ______时，该最值为______。 参考答案： 1. 向下；； 轴（或直线 ） 2. 减小 3. 大；0；0 解析： 因为 ，所以开口向下，有最高点（最大值）。在对称轴右侧（），图像下降，故 随 增大而减小。 例题 2：平移变换与解析式 题目： 1. 将抛物线 向上平移 3 个单位，得到的新抛物线解析式为____________。 2. 若将抛物线 向下平移 6 个单位，得到的新抛物线解析式为____________，此时顶点坐标变为______。 参考答案： 1. 2. ； 解析： 向上平移加 ，向下平移减 。原顶点 向下平移 6 个单位变为 ，即 。 例题 3：待定系数法求解析式（易错点） 题目： 已知一个二次函数的图像形状与抛物线 相同，但开口方向相反，且其顶点坐标为 。求该二次函数的解析式。 参考答案： 解析： 1. “形状相同”意味着 。 2. “开口方向相反”意味着 与 符号相反，所以 。 3. 顶点为 ，说明 。 4. 组合得 。 例题 4：图像上的点与对称性 题目： 若点 和点 都在抛物线 上，则 与 的大小关系是（ ）。 A. B. C. D. 无法确定 参考答案： C 解析： 抛物线 的对称轴是 轴。因为点 和点 的横坐标 和 互为相反数，根据对称性，它们的纵坐标相等，即 。 （也可以直接代入计算验证：, ）。 5、 自主预习检测 1．下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（     ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 4．抛物线的顶点坐标是，且形状及开口方向与抛物线相同，则a，c的值分别为（   ） A．，2 B．， C．，2 D．， 5．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 7．下列函数的图象中，与的函数图象形状一致的是（    ） A． B． C． D． 8．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 附：自主预习检测答案 1．C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 2．D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 3．C 【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案. 【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件； ②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件； ③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件； ④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件； 因此符合条件的是①④，故选C. 4．A 【分析】本题考查了利用抛物线的性质求解参数，抛物线的形状和开口方向由二次项系数a决定，形状与开口方向相同的抛物线二次项系数a相同，再将顶点坐标代入解析式即可求出c． 【详解】∵抛物线的形状及开口方向与相同， ∴， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴将，代入解析式得： ， ∴． 5．D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 【详解】解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质判断开口方向，再根据对称轴分析增减性即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数开口向下， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的形状由二次项系数决定，系数的绝对值相同则形状一致，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，与的函数图象形状一致的二次函数的二次项系数的绝对值要为3， ∴四个选项中，只有A选项中的函数符合题意， 故选：A． 8．D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $