专题26.2.1 二次函数y=ax2的图像和性质（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本初中数学讲义聚焦二次函数y=ax²的图像和性质，作为二次函数学习的基础支架，系统梳理图像绘制步骤（列表、描点、连线）、图像特征（抛物线、对称轴、顶点、开口方向与大小）及性质（增减性、最值），衔接一次函数与复杂二次函数知识脉络。 资料通过分层知识点、即学即练、题型示例与中考链接设计，以图像辨析题培养几何直观（数学眼光），性质表格对比推理强化逻辑思维（数学思维），不同难度练习题组助力分层教学，课中提升授课效率，课后帮助学生查漏补缺，强化应用意识（数学语言）。

专题26.2.1 二次函数y=ax2的图像和性质 教学目标 掌握二次函数y=ax2的图象与性质，能够熟练解决有关题目。 教学重难点 1.重点 （1）y=ax2型二次函数的图象； （2）y=ax2型二次函数的性质； 2.难点 （1）应用二次函数的图象与性质，判断各点的函数值的大小关系。 知识点01 二次函数y=ax2的图象 1.绘制二次函数y=ax2图象的步骤 画函数图象时，常用的方法是描点法。画二次函数图象也可以用描点法，一般按照以下步骤进行： 第一步：列表。在自变量允许的范围内，让x取一此代表性的值(正数、负数或0)，代入函数解析式，求出对应的y值,列出表格。 第二步：描点。把表中每一组对应值(x,y)看作平面直角坐标系中的一个点，并在坐标系中描出这些点。 第三步：连线。用平滑的曲线顺次连接所描出的点，得到函数图象。 2.二次函数y=ax2的图象特征 ①二次函数的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。 ②当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。 ③a影响抛物线的开口大小和方向。|a|越大,抛物线开口越小；|a|越小,抛物线开口越大。 【即学即练】 1．抛物线的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的开口方向和顶点坐标即可判断． 本题主要考查了而函数图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键 【详解】解：∵抛物线中，， ∴图像开口向上，且顶点为坐标原点， 故选：A． 2．二次函数的图象经过下列点中的（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 3．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与的关系即可得出答案． 【详解】解：观察图象可知，开口向上，故， 和开口向下，且的开口大小小于，故， ． 故答案为：． 4．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（ ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点． 【详解】∵函数的，开口向下，有最高点，当时随增大而增大，当时随增大而减小； 函数的，开口向上，有最低点，当时随增大而减小，当时随增大而增大； ∴A、B、C均不是共同点； ∵两个函数均为形式， ∴对称轴都是轴，故D正确. 故选：D． 5．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 【答案】(1)图见解析；二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． (2)，低． (3)，，大，0． 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键． （1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）根据函数的图象解答即可； （3）根据函数的图象解答即可． 【详解】（1）解：图象如图： 由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为． （2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点． 故答案为：，低． （3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0． 故答案为：，，大，0． 知识点02 二次函数y=ax2的性质 由函数y=ax2的图象总结性质如下： 当 大致图象 开口方向 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越 小 的绝对值越小，开口越 大 顶点坐标 （0，0） 对称轴 y轴 离对称轴越远的函数值越 大 离对称轴越近的函数值越 小 y轴 离对称轴越远的函数值越 小 离对称轴越近的函数值越 大 增减性 对称轴右边y随x的增大而 增大 。 对称轴左边y随x的增大而 减小 。 对称轴右边y随x的增大而 减小 。 对称轴左边y随x的增大而 增大 。 最值 函数值有最 小 值 这个值是 0 。 函数值有最 大 值 这个值是 0 。 【即学即练】 6．关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（ ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据的性质求解即可． 【详解】解：函数，，都是形式， 二次函数， 顶点坐标均为，对称轴均为y轴，最低点均为， 但a值分别为，1，2，不相等， ∴图象开口大小不同，形状不同， 故选：C． 7．若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象开口的方向与二次项系数的关系是解题的关键． 根据题意，函数有最低点可知二次函数图象开口向上，由此解出答案． 【详解】解：抛物线有最低点， 二次函数图象开口向上，即，解得． 故答案为：． 8．当为何值时，二次函数中随的增大而减小（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据二次函数开口向下，对称轴为，进行判断即可． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 故选：C． 9．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了比较二次函数值的大小，通过直接计算点A和点B在二次函数上的函数值，比较和的大小关系． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴， ∵ ∴． 故选：A． 题型01 y=ax2的图象 【典例1】二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是解决本题的关键．根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向下，故选：A． （1）考查方向：图象的开口方向、开口大小、顶点、对称轴，以及根据图象判断系数 a 的正负和大小。 （2）核心方法：抓住 a 的作用：a>0开口向上，a<0开口向下，∣a∣越大开口越小；图象恒过原点，顶点为(0,0)，对称轴为y轴。 【变式1】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 解法一：分和，根据一次函数的性质和二次函数的性质逐项判断即可； 解法二：根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解法一：当时，函数的图象开口向上，函数的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确； 当时，函数的图象开口向下，函数的图象经过第二、第三、第四象限，所以C错误． 解法二：A项，由一次函数的增减性，知，由一次函数图象与y轴的交点，知，故A不符合题意； B项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故B符合题意； C项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故C不符合题意； D项，由二次函数的图象，知，由一次函数的图象，知，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2】抛物线的开口方向是______． 【答案】向下 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟知相关知识点是正确解答此题的关键． 对于二次函数（是常数且），当时，二次函数开口向上，当时，二次函数开口向下，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线的开口方向是向下， 故答案为：向下． 【变式3】下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点（0，0），其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据函数的图象和性质，直接判断． 【详解】①二次函数的图象是抛物线，正确； ②因为，所以抛物线开口向下，正确； ③因为，所以对称轴是轴，正确； ④顶点（0，0）也正确． 故选：D． 【变式4】二次函数的图象过点，则a的值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的性质，将点代入二次函数解析式，直接求解a的值． 【详解】解：∵ 点在函数上， ∴ ， 即 ， ∴ ． 因此，a的值为1． 故选：D 【变式5】在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 【变式6】分别在同一坐标系内作出下列函数的图象． (1)，； (2)，，． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查二次函数的图象，用描点法画函数图象． （1）根据描点法，可得，的函数图象； （2）根据描点法，可得，，的函数图象． 【详解】（1）解：各取个点，坐标如下： 在平面直角坐标系中，画出，的图象： （2）解：各取个点，坐标如下： 在平面直角坐标系中，画出y＝3x2，y＝﹣2x2，yx2的图象， 【中考链接】已知二次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为________（用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此可根据“当时，开口向上，当时，开口向下，越大，开口也就越小”进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：；故答案为． 题型02 y=ax2的性质 【典例1】抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；分别分析每个二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，找出共同点即可． 【详解】解：对于： ∵， ∴开口向上，顶点，对称轴为轴，在时随增大而增大； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 对于： ∵， ∴开口向下，顶点，对称轴为轴，在时随增大而减小； 综上，三条抛物线对称轴均为轴； 故选C． （1）考查方向：y=ax2的增减性、最值、函数值大小比较、参数取值以及图象上点的坐标关系。 （2）核心方法：利用对称轴 y 轴和开口方向判断性质：a>0时离对称轴越远函数值越大，有最小值0；a<0 时离对称轴越远函数值越小，有最大值0。 【变式1】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【答案】轴（或直线） 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，即可得出答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是y轴． 故答案为：y轴（或直线）． 【变式2】已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的对称性与单调性，需结合函数性质逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵二次函数开口向上，对称轴为（y轴），在时单调递减，时单调递增，且点到对称轴距离越远，函数值越大． 选项A：当时，，，两点关于y轴对称，∴，A正确． 选项B：若，则、关于y轴对称，∴，解得，B正确． 选项C：若，则，∵函数在时单调递增，∴，C正确． 选项D：若，则，两边平方得，化简得，即，并非（如时，，，但），D错误． 故选：D． 【变式3】已知二次函数，当时，y的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先确定开口方向，求二次函数在的取值范围，需确定其在此范围内的最小值和最大值． 【详解】解：∵是开口向上的抛物线，顶点在， ∴ 当时，为最小值， 当时，； 当时，， ∴在时， 最大值为9， 因此 y 的取值范围是． 故选：C． 【变式4】已知二次函数图像上有两个不同的点 ，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．根据解析式可得对称轴为轴，再由、两点的纵坐标相同可得点、关于轴对称，据此可得答案. 【详解】解：对于二次函数，对称轴为轴， 点 ，纵坐标相等， 点、关于轴对称， ， 故答案为：． 【变式5】有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质；二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小．比较三个函数的值即可得出开口大小顺序． 【详解】解：二次函数图象的开口大小由系数的绝对值决定，越小开口越大，越大开口越小， 对于①，； 对于②， ； 对于③， ． 从小到大为：②③①， 故开口从大到小为：②③①，即②③①． 故选：C． 【中考链接】已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的增减性即可解答． 【详解】解：， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点距离对称轴有2个单位长度， 点距离对称轴有0个单位长度， 点距离对称轴有1个单位长度， ∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：， 故选：C． A组·基础过关 1．抛物线的顶点坐标是（ ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键； 利用二次函数的顶点坐标特征即可求解． 【详解】解：∵二次函数的形式为时，其顶点坐标为， 又∵抛物线符合（）的形式， ∴抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 2．已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将代入解析式即可求出a的值． 【详解】解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 即， ∴． 故选：A． 3．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质分别求出的值，再比较大小即可得出答案． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 同理可得，，， ∵， ∴． 故选：C． 4．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，解决本题的关键是将图像上的点代入求解． 根据该函数图像可知，该二次函数的顶点为，则可设该函数解析式为，将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：由函数图像可知，该二次函数的顶点为， 设该函数解析式为， ∵当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为． 则点， 将点代入可得，， 解得， ∴抛物线的表达式为． 故选：A ． 5．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系． 【详解】解：抛物线、开口向上， 且抛物线的开口更窄， ， 抛物线、开口向下， 且抛物线的开口更窄， ， ． 故选C． B组·能力提升 6．抛物线 的图象开口最大的是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大 7．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数，一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图像性质即可顺利解题． 分别将，两点的横坐标代入，由图像知，时，，当时，，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：将代入中时，得 ， 将代入中时，得 ， 根据图像可知，时，，当时，， 则有： ， 解得：， ∴只有满足， 故选D． 8．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是关键． 通过计算点P和点Q的纵坐标，结合二次函数性质，判断各选项正误． 【详解】解：根据题意，， A、若，则， ∴，正确； B、若，则，， ， 解得，正确； C、若，则， ∴ ，即， ∴ ，正确； D、若，则，，， 解得，， 但不一定，如时，但， ∴ 错误； 故选：D． 9．如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ）． A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数和正比例函数的结合，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，先求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的值即可． 【详解】解：∵直线分别交抛物线，于点， ∴的纵坐标均为2， 当时，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， 解得； 故选C． C组·拓展延伸 11．已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义和性质，掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 根据二次函数的定义，指数部分必须为2，求出a的值，再根据函数的增减性条件确定a的取值即可． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ 解得， ∵当时，y随x的增大而增大， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 12．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出__________． x m（） c c d 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 直接根据表格数据和二次函数的性质得，代入，将用表示即可求解． 【详解】解：由二次函数的性质可得的对称轴为轴， 由表可得， ， 又根据表格，对于函数 ，当 时，， 即 ； 当 时，， 即 。 故 。 ， ， 故答案为：4． 13．如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ________．（填序号） 【答案】①③② 【分析】本题主要考查二次函数的二次项系数与图象的关系，结合抛物线的形状与有关，根据的大小即可确定抛物线的开口的宽窄． 【详解】解：∵①；② ；③ ∴，二次项系数a分别为、、， ∵， ∴抛物线②的开口最宽，抛物线①的开口最窄． ∴图象，，对应的函数解析式依次是①③②． 故答案为：①③②． 14．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】(1)，． (2)当时，二次函数的函数值随的增大而增大． (3)点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 15．如图，在平面直角坐标系中，四条直线围成正方形． (1)若抛物线与正方形有公共点，求的取值范围． (2)若抛物线与正方形没有公共点，则的取值范围为______ 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据抛物线经过点时，可得抛物线中的值最大，抛物线经过点时，可得抛物线中的值最小； （2）根据抛物线与正方形没有公共点，可得抛物线中值大于抛物线经过点时的值，抛物线中值小于抛物线经过点时的值． 【详解】（1）解：由越大，抛物线开口越小，得抛物线经过点时，的值最大；拋物线经过点时，的值最小． ，解得． ，解得． 综上所述，当抛物线与正方形有公共点时，的取值范围是． （2）解：由（1）得，当或时，开口向上的抛物线与正方形没有公共点； 当时，抛物线开口向下，抛物线与正方形没有公共点， 综上所述：当或或时，抛物线与正方形没有公共点． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了二次函数的性质：越大，抛物线开口越小． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2.1 二次函数y=ax2的图像和性质 教学目标 掌握二次函数y=ax2的图象与性质，能够熟练解决有关题目。 教学重难点 1.重点 （1）y=ax2型二次函数的图象； （2）y=ax2型二次函数的性质； 2.难点 （1）应用二次函数的图象与性质，判断各点的函数值的大小关系。 知识点01 二次函数y=ax2的图象 1.绘制二次函数y=ax2图象的步骤 画函数图象时，常用的方法是描点法。画二次函数图象也可以用描点法，一般按照以下步骤进行： 第一步： 。在自变量允许的范围内，让x取一此代表性的值(正数、负数或0)，代入函数解析式，求出对应的y值,列出表格。 第二步： 。把表中每一组对应值(x,y)看作平面直角坐标系中的一个点，并在坐标系中描出这些点。 第三步： 。用 的曲线顺次连接所描出的点，得到函数图象。 2.二次函数y=ax2的图象特征 ①二次函数的图象是一条抛物线，它关于 对称，顶点是 。 ②当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的 ；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的 。 ③ 影响抛物线的开口大小和方向。|a|越大,抛物线开口越 ；|a|越小,抛物线开口越 。 【即学即练】 1．抛物线的图像大致是（ ） A． B． C． D． 2．二次函数的图象经过下列点中的（ ） A． B． C． D． 3．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是______ ．（请用“”连接） 4．关于函数与的图象的共同点，下列说法正确的是（ ） A．开口向上 B．都有最低点 C．随增大而增大 D．对称轴是轴 5．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)： (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______． 知识点02 二次函数y=ax2的性质 由函数y=ax2的图象总结性质如下： 当 大致图象 开口方向 开口大小 的绝对值越大，开口越 的绝对值越小，开口越 顶点坐标 对称轴 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 离对称轴越远的函数值越 离对称轴越近的函数值越 增减性 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 对称轴右边y随x的增大而 。 对称轴左边y随x的增大而 。 最值 函数值有最 值 这个值是 。 函数值有最 值 这个值是 。 【即学即练】 6．关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（ ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 7．若抛物线有最低点，则m的取值范围是_________． 8．当为何值时，二次函数中随的增大而减小（ ） A． B． C． D． 9．已知点，在二次函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 题型01 y=ax2的图象 【典例1】二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． （1）考查方向：图象的开口方向、开口大小、顶点、对称轴，以及根据图象判断系数 a 的正负和大小。 （2）核心方法：抓住 a 的作用：a>0开口向上，a<0开口向下，∣a∣越大开口越小；图象恒过原点，顶点为(0,0)，对称轴为y轴。 【变式1】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2】抛物线的开口方向是______． 【变式3】下列关于函数的图象说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点（0，0），其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4】二次函数的图象过点，则a的值是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5】在同一坐标系中画出的图象，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式6】分别在同一坐标系内作出下列函数的图象． (1)，； (2)，，． 【中考链接】已知二次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为________（用“>”连接）． 题型02 y=ax2的性质 【典例1】抛物线，，共有的性质是(　　) A．开口向上 B．顶点坐标都是 C．对称轴是y轴 D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 （1）考查方向：y=ax2的增减性、最值、函数值大小比较、参数取值以及图象上点的坐标关系。 （2）核心方法：利用对称轴 y 轴和开口方向判断性质：a>0时离对称轴越远函数值越大，有最小值0；a<0 时离对称轴越远函数值越小，有最大值0。 【变式1】在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是__________． 【变式2】已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】已知二次函数，当时，y的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4】已知二次函数图像上有两个不同的点 ，，则__________． 【变式5】有下列二次函数：①；②；③．在同一平面直角坐标系中，将它们图象的开口按从大到小的顺序排列，正确的是（） A．①②③ B．①③② C．②③① D．②①③ 【中考链接】已知点，，都在二次函数的图像上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． A组·基础过关 1．抛物线的顶点坐标是（ ） A．（1，0） B．（0，1） C．（0，0） D．（1，1） 2．已知二次函数的图像经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 4．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽为时，桥洞顶部离水面的距离为．已知桥洞的拱形可看作抛物线，若以顶点为坐标原点，水平方向为轴，以过点垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（ ） A． B． C． D． 5．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（ ） A． B． C． D． B组·能力提升 6．抛物线 的图象开口最大的是（ ） A． B． C． D．无法确定 7．在平面直角坐标系中，点，，的图象如下图所示，则的值可以为（ ） A．3 B．2 C． D． 8．已知，两点在二次函数的图象上，下列判断错误的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图，四边形是正方形，且点恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（ ）． A．2 B． C．4 D． 10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（ ） A． B． C． D． C组·拓展延伸 11．已知关于x的函数是二次函数，当时y随x的增大而增大，则a的值为________． 12．对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数的相关性质，可求出__________． x m（） c c d 13．如图所示，在同一坐标系中，作出①；② ；③的图象，则图象，，对应的函数解析式依次是 ________．（填序号） 14．已知二次函数的图象与直线交于点． (1)求a和b的值； (2)当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ (3)求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，四条直线围成正方形． (1)若抛物线与正方形有公共点，求的取值范围． (2)若抛物线与正方形没有公共点，则的取值范围为______ 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $