专题26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质（高效培优讲义）数学新教材人教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图像和性质，构建从配方法化一般式为顶点式，到五点定形法画图，再到理解开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值的学习支架，衔接三种形式转化与综合应用。 资料通过即学即练、典例变式及中考链接分层设计，以配方法与公式法对比培养运算能力和推理意识，用五点定形法发展几何直观，结合汽车刹车距离等实例渗透模型意识，课中助力分层教学，课后便于学生查漏补缺。

专题26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 教学目标 1.掌握通过配方法将一般式化为顶点式； 2.理解并掌握一般式二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标及最值公式及增减性。 教学重难点 1.重点 （1）熟练运用配方法或公式法求出对称轴与顶点坐标，能精准利用对称性列表描点，快速、准确地画出二次函数图象； （2）通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； 2.难点 （1）深入理解最值问题的本质，能灵活运用顶点坐标公式解决实际问题（如待定系数法求解析式）； （2）从图象中提取关键信息进行综合应用。 知识点01 二次函数的图象和性质 1．二次函数图象的画法 （1）一般方法 列表、描点、连线 （2）简易画法：五点定形法 ①先根据函数解析式，求 和 ，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴； ②求抛物线与 的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来。 2．二次函数图象与性质 函数 二次函数(a、b、c为常数，a≠0) 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 。简记： 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而 。简记： 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最 值， 抛物线有最高点，当时，y有最 值， 3．图象的特征与a、b、c及的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 备注 a 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)。 开口向下 b 对称轴在y轴左侧 左同右异中间0 对称轴在y轴右侧 c 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 b2-4ac 与x轴有唯一交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有两个交点 与x轴没有交点 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）． A．   B． C．   D． 2．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ） A．开口向下 B．与y轴交于正半轴 C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限 3．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（5，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（ ） A． B． C． D． 知识点02 二次函数三种形式之间的相互关系 1.二次函数的三种形式 ①一般式： 由定义可知，二次函数的一般式为 。 ②顶点式： 能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。 即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。 ③两点式（交点式）： 能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即 。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为 与 。二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称。 ④二次函数的一般式转化为顶点式： 利用配方法将一般形式转化为顶点式，过程如下： ＝ →第一步：提 ； ＝ →第二步：配方：配 的一半的平方； ＝ →第三步：写成 形式； ＝ →第四步：写成 形式。 【即学即练】 5．抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（ ） A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5） 6．二次函数y＝（x﹣5）（x+7）的图象的对称轴是（ ） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝6 7．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a、m、n为常数，m≠n，a＜0），若m+n＜0，则该抛物线的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3 9. 在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（ ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 题型01 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与性质 【典例1】将二次函数化为的形式为（ ） A． B． C． D． 【典例2】将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象，则二次函数有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【典例3】抛物线的图象如图，当x____________时，y0． （1）考查方向：查一般式二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性、与坐标轴交点及图象位置判断。 （2）核心方法：先用判断开口方向，再用求对称轴，顶点坐标为，必要时通过配方化为顶点式分析性质。 【变式1】关于的二次函数，下列说法正确的是（ ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 【变式2】若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【变式3】二次函数的对称轴是___________． 【变式4】已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式5】已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）. A． B． C． D． 【中考链接1】已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．当或时， 【中考链接2】已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 题型02 二次函数的图象与系数的关系 【典例1】二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ． A．个 B．个 C．个 D．个 （1）考查方向：考查根据图象判断a,b,c,Δ以及a+b+c、a−b+c、2a+b等代数式的符号。 （2）核心方法：由开口判断a，由与y轴交点判断c，由对称轴位置判断a,b的关系，由与x轴交点个数判断，特殊点函数值看x=1,−1,2等代入结果。 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【变式2】若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【变式3】二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则（ ） A． B． C． D． 【中考链接】如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（ ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 题型03 的对称性 【典例1】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． （1）考查方向：考查利用抛物线对称轴求对称点、另一交点、未知坐标，以及根据表格或已知等高点确定对称轴和解析式。 （2）核心方法：抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，若两点横坐标为x1,x2，则对称轴为；已知对称轴后，可利用对应点横坐标到对称轴距离相等求未知量。 【变式1】如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【变式2】二次函数的图象经过．则当时，y的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是_____，_____，_____． (2)求该二次函数的表达式． 【中考链接】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．点在函数图象上 题型04 二次函数的最值 【典例1】二次函数的最小值为（ ） A．2 B．0 C． D．−9 （1）考查方向：考查二次函数最大值或最小值的求法，以及结合图象对称性解决最短路径、动点最值和代数式最值问题。 （2）核心方法：将一般式配方为，若a>0，最小值为k；若a<0，最大值为k；涉及线段和最短时，常借助抛物线对称性把折线路径转化为直线路径。 【变式1】已知抛物线，当为（ ），y值最大 A． B． C． D． 【变式2】如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________． 【变式3】如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【中考链接】点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ） A． B．4 C．﹣ D．﹣ 题型05 待定系数法求函数解析式 【典例1】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 （1）考查方向：考查根据点坐标、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点或表格信息求二次函数解析式。 （2）核心方法：根据条件选择合适形式：已知三点用一般式，已知顶点用顶点式，已知与x轴两个交点用交点式，再代入已知点求参数。 【变式1】如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．当时， 【变式2】已知二次函数图像经过，则______． 【变式3】抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【中考链接】二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． A组·基础过关 1．二次函数的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 3．已知点在抛物线上，下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ） A． B． C． D． 5．在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（ ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 8．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（ ） A． B． C． D． 9．在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 10．我们知道，抛物线可由抛物线经过平移得到，那么平移的方法可以是（ ） A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位 B组·能力提升 11．已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（ ） A． B．该函数的最小值为 C．该函数图象不经过第三象限 D．该函数图象的对称轴是直线 12．已知抛物线与轴无交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 13．已知二次函数的图象如图所示，下列判断不正确的是（ ） A． B． C． D． 14．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 15．设二次函数，图象经过，两点，则h的最大值是（ ） A． B．17 C． D．37 16．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的最小值为 C． D．当时，的最小值为 17．二次函数中x，y的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 4 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A．函数图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为和 18．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 19．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 20．在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． C组·拓展延伸 21．如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 22．已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 23．抛物线 的对称轴是直线，与x轴负半轴的交点坐标为，且 与轴交于点，则下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 24．已知二次函数的图象上有四个点：，，，，其中，下列结论一定不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 25．点在抛物线上，其中，，若对于任意，都有，则m的取值范围为（ ） A． B．或 C．或 D． 26．小明很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系，上抛和下降的飞行路径可看作是抛物线的一部分，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分，且当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段．有下列结论： ①当时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为； ②当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，的值为； ③当时，小明的前方有一堵高的围栏，若纸飞机可以顺利飞过围栏，则小明距离围栏的水平距离最少为，最多为． 其中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 27．坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（ ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 28．已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，的最大值为，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，的最大值与最小值的差，求的值． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.2.3 二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 教学目标 1.掌握通过配方法将一般式化为顶点式； 2.理解并掌握一般式二次函数开口方向、对称轴、顶点坐标及最值公式及增减性。 教学重难点 1.重点 （1）熟练运用配方法或公式法求出对称轴与顶点坐标，能精准利用对称性列表描点，快速、准确地画出二次函数图象； （2）通过图象能熟练地掌握二次函数的性质； 2.难点 （1）深入理解最值问题的本质，能灵活运用顶点坐标公式解决实际问题（如待定系数法求解析式）； （2）从图象中提取关键信息进行综合应用。 知识点01 二次函数的图象和性质 1．二次函数图象的画法 （1）一般方法 列表、描点、连线 （2）简易画法：五点定形法 步骤： ①先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴； ②求抛物线与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来。 2．二次函数图象与性质 函数 二次函数(a、b、c为常数，a≠0) 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大。简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小。简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 3．图象的特征与a、b、c及的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)。 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异中间0 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（ ）． A．   B． C．   D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 2．关于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，下列说法错误的是（ ） A．开口向下 B．与y轴交于正半轴 C．对称轴在y轴左侧 D．不经过第一象限 【答案】D 【解答】解：由条件可知图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； 令x＝0，即y＝3， ∴图象交于y轴的正半轴，故选项B正确，不符合题意； ，所以对称轴在y轴的左侧，故选项C正确，不符合题意； 令﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，故与x轴的交点（1，0），（﹣3，0），又知道与y轴的交点坐标为（0，3），图象一定经过第一象限，选项D错误，符合题意； 故选：D． 3．已知点A（3，y1），B（4，y2），C（5，y3）均在抛物线y＝2x2﹣4x+m上，下列说法中正确的是（　　） A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y2＜y3 【答案】D 【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+m， ∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x1， ∴抛物线上的点离对称轴最远，对应的函数值就越大， ∵点C（﹣3，y3）离对称轴最远，点A（3，y1）离对称轴最近， ∴y1＜y2＜y3． 故选：D． 4．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列讨论中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 知识点02 二次函数三种形式之间的相互关系 1.二次函数的三种形式 ①一般式： 由定义可知，二次函数的一般式为 。 ②顶点式： 能直接看出二次函数的顶点坐标的函数解析式叫二次函数的顶点式。 即 。由顶点式可知二次函数的顶点坐标为 。 ③两点式（交点式）： 能直接得到二次函数与轴的交点坐标的二次函数解析式是二次函数的两点式，又叫做二次函数的交点式。即 。此时二次函数与轴的两个交点坐标分别为 与 。二次函数的对称轴为 。函数值相等的两个点一定关于 对称轴 对称。 ④二次函数的一般式转化为顶点式： 利用配方法将一般形式转化为顶点式，过程如下： ＝ →第一步：提 二次项系数 ； ＝ →第二步：配方：配 一次项系数 的一半的平方； ＝ →第三步：写成 完全平方 形式； ＝ →第四步：写成 顶点式 形式。 【即学即练】 5．抛物线y＝（x﹣1）2+5顶点坐标是（ ） A．（1，5） B．（﹣1，﹣5） C．（1，﹣5） D．（﹣1，5） 【答案】A 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+5， ∴抛物线顶点为（1，5）， 故选：A． 6．二次函数y＝（x﹣5）（x+7）的图象的对称轴是（ ） A．直线x＝﹣1 B．直线x＝1 C．直线x＝2 D．直线x＝6 【答案】A 【解答】解：二次函数图象与x轴的交点为（5，0），（﹣7，0）， ∴对称轴为直线， 故选：A． 7．已知抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）（a、m、n为常数，m≠n，a＜0），若m+n＜0，则该抛物线的顶点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解答】解：∵y＝a（x﹣m）（x﹣n）， 令a（x﹣m）（x﹣n）＝0， ∴x1＝m，x2＝n， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∴， ∵a＜0， ∴抛物线的开口向下， ∴抛物线的顶点在第二象限， 故选：B． 8．将二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+3 D．y＝（x﹣1）2+3 【答案】D 【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝x2﹣2x+4＝x2﹣2x+1+3＝（x﹣1）2+3， ∴二次函数为y＝x2﹣2x+4化为顶点式为y＝（x﹣1）2+3． 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（ ） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【答案】D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据抛物线平移“上加下减，左加右减”的规律，即可判断平移方向和距离． 【详解】解：∵原抛物线， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵变换后抛物线为， ∴变换后抛物线的顶点坐标为， ∵顶点纵坐标不变，横坐标从变为， ∴原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 题型01 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与性质 【典例1】将二次函数化为的形式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，掌握将一般式转化为顶点式是解题的关键． 先提取二次项系数，再配一次项系数一半的平方，即可求解． 【详解】解：． 故选：D． 【典例2】将二次函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，得到二次函数的图象，则二次函数有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最大值 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，掌握平移规律，二次函数最值的计算方法是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，再根据平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”求出的解析式，由此即可求解． 【详解】解：， ∵将图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， ∴， ∴顶点坐标为， ∴二次函数有最小值， 故选：． 【典例3】抛物线的图象如图，当x____________时，y0． 【答案】 【分析】由图观察得出y=0时所对的x的值，再根据开口方向，从而确定y0时，x的取值范围. 【详解】由图观察得出y=0时，x=1或x=3，又知开口向上，则 y0时，. （1）考查方向：查一般式二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性、与坐标轴交点及图象位置判断。 （2）核心方法：先用判断开口方向，再用求对称轴，顶点坐标为，必要时通过配方化为顶点式分析性质。 【变式1】关于的二次函数，下列说法正确的是（ ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．当时，随的增大而增大 D．图象与轴交于点 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 通过二次函数的一般形式，分析系数的值，判断开口方向、对称轴、增减性和与轴交点． 【详解】解： ， ，抛物线开口向下，故A错误，不符合题意； 对称轴，故B错误，不符合题意； ，开口向下，对称轴， 当时，随的增大而减小，故C错误，不符合题意； 当时，， 图象与轴交点为，故D正确，符合题意． 故选D． 【变式2】若，，为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，由题意得，抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，再根据二次函数的增减性求解即可． 【详解】解：由题意得，抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， ∵点离对称轴直线最远，点离对称轴直线最近， ∴， 故选：D． 【变式3】二次函数的对称轴是___________． 【答案】直线 【分析】本题主要考查了求二次函数的对称轴，将二次函数化为一般形式，利用对称轴公式求解． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线． 故答案为：直线． 【变式4】已知二次函数的图象如图所示，那么下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的图象性质，根据二次函数的图象判断式子符号，正确掌握相关性质内容是解题的关键； 根据图象特点可得到，，，，即可判断选项A；根据对称轴不是直线，可得，即可判断选项B；根据图象可知，当时，，即可判断选项C；根据图象可知，当时，，即可判断选项D． 【详解】解：由二次函数图象可知，函数图象开口向上，即， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∵图象与轴的交点在轴的负半轴， ∴， ∴，可判断选项A错误； ∵当对称轴时，可得， 而由图象分析可知，二次函数的对称轴不是直线， ∴，故选项B错误； 由图象可知当时，，故选项C正确； 由图象可知当时，，故选项D错误； 故选：C． 【变式5】已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质．熟悉二次函数的图像和性质，抛物线的对称性，二次函数的对称轴公式，是解题的关键． 点和纵坐标相同，故关于抛物线的对称轴对称，先求对称轴以确定，再代入求． 【详解】解：∵抛物线，经过和，两点纵坐标相等， ∴对称轴为直线， 又∵对称轴为直线， ∴，解得， ∴抛物线为， 代入，得， 或代入，，结果一致． 故选：． 【中考链接1】已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 【中考链接2】已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 题型02 二次函数的图象与系数的关系 【典例1】二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（ ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． （1）考查方向：考查根据图象判断a,b,c,Δ以及a+b+c、a−b+c、2a+b等代数式的符号。 （2）核心方法：由开口判断a，由与y轴交点判断c，由对称轴位置判断a,b的关系，由与x轴交点个数判断，特殊点函数值看x=1,−1,2等代入结果。 【变式1】已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 【变式2】若二次函数的图象在坐标系中的位置如图所示，则函数的图象可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由的图象可得，，，，从而可判断的大致图象． 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， ∴的图象与轴交于负半轴； ∵的对称轴在轴左边， ∴， ∴， ∵的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴， ∴的图象开口向下，对称轴在轴左边， ∵的图象与轴没有交点， ∴， ∴的图象与轴没有交点， 综上所述，可得D选项符合题意． 故选：D． 【变式3】二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图像的性质，由开口方向确定 的符号，由对称轴确定 与 的关系，由与 轴交点确定 的符号，结合特殊点的函数值进行判断． 【详解】解： 抛物线开口向下， ． 对称轴是直线 ， ，即 ， ，故 C 选项正确． ， ． 抛物线与 轴交点在 轴上方， ． ，故 A 选项错误． 由图可知，当 时，， 即 ． 将 代入得 ，即 ，故 D 选项错误． 根据抛物线的对称性，当 时，，则当 时 ， 即 ，故 B 选项错误． 【中考链接】如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（ ） A．②③④ B．②③ C．②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 题型03 的对称性 【典例1】已知抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线________． 【答案】 【分析】抛物线与x轴的两个交点纵坐标相等，可知两个交点关于抛物线对称轴对称，根据交点横坐标即可计算出对称轴． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 和 ， ∴ 两个交点关于抛物线的对称轴对称， 抛物线对称轴为直线 ． （1）考查方向：考查利用抛物线对称轴求对称点、另一交点、未知坐标，以及根据表格或已知等高点确定对称轴和解析式。 （2）核心方法：抛物线上纵坐标相同的两点关于对称轴对称，若两点横坐标为x1,x2，则对称轴为；已知对称轴后，可利用对应点横坐标到对称轴距离相等求未知量。 【变式1】如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为，根据二次函数图象与x轴的两个交点关于对称轴对称求解即可． 【详解】解：设该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为， ∵该点与点关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴该二次函数图象与x轴的另一交点坐标为． 【变式2】二次函数的图象经过．则当时，y的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数与x轴的两个交点的坐标得到对称轴，再根据对称性可得答案． 【详解】解：∵二次函数图象过和两个点， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴当时的函数值与当时的函数值相等， ∵二次函数图象过点， ∴二次函数图象过点，即时，． 【变式3】已知二次函数图象上的部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： … 0 … … 1 1 … 根据以上信息回答下列问题： (1)二次函数图象的顶点坐标是_____，_____，_____． (2)求该二次函数的表达式． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次函数图象的对称性，待定系数法求解函数解析式． （1）由表格可得当和时的函数值相等，即可确定对称轴和顶点坐标，再由对称性求解值； （2）设顶点式，再代入一组的值即可求解抛物线的表达式． 【详解】（1）解：由表格可得顶点坐标为，对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵抛物线的顶点坐标为 ∴设解析式为， ∵当时，， ∴， 解得， ∴二次函数表达式为． 【中考链接】如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴是直线，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．点在函数图象上 【答案】B 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出的正负；利用对称轴为直线，可得出与0的关系；由抛物线与x轴的交点情况，可得出与的大小关系；由抛物线与x轴的一个交点坐标为，再结合对称轴为直线，可得出另一个交点坐标． 【详解】解：A、由二次函数的图形可知：，所以．故本选项不符合题意； B、因为二次函数的对称轴是直线，则，即．故本选项符合题意； C、因为抛物线与x轴有两个交点，所以，即．故本选项不符合题意； D、因为抛物线与x轴的一个交点坐标为，且对称轴为直线，所以它与x轴的另一个交点的坐标为．故本选项不符合题意； 故选：B． 题型04 二次函数的最值 【典例1】二次函数的最小值为（ ） A．2 B．0 C． D．−9 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值，掌握配方法将二次函数转化为顶点式是解题的关键． 将二次函数的一般式通过配方转化为顶点式，利用二次函数开口向上时顶点纵坐标为最小值的性质求解． 【详解】解： ∵二次项系数，抛物线开口向上， ∴当时，函数取得最小值，最小值为， 故选D． （1）考查方向：考查二次函数最大值或最小值的求法，以及结合图象对称性解决最短路径、动点最值和代数式最值问题。 （2）核心方法：将一般式配方为，若a>0，最小值为k；若a<0，最大值为k；涉及线段和最短时，常借助抛物线对称性把折线路径转化为直线路径。 【变式1】已知抛物线，当为（ ），y值最大 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的最值，灵活运用二次函数的性质及顶点横坐标公式是解题的关键，根据判断出抛物线开口向下，进而利用求出使式子取得最大值时的值． 【详解】解：抛物线解析式为，其中，， ， 抛物线开口向下，在顶点处值取得最大值， 根据二次函数顶点横坐标公式， ， 即当时，值最大． 故选：． 【变式2】如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为________． 【答案】 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短， 设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 【变式3】如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 【中考链接】点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ） A． B．4 C．﹣ D．﹣ 【答案】C 【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值． 【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上， ∴a＝0， ∴n＝m2+4， ∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣， ∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣， 故选：C． 题型05 待定系数法求函数解析式 【典例1】已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 【答案】D 【分析】先选取表格中三个点代入解析式求出系数，得到顶点式后根据函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选取表格中三组对应值，，代入， 得， 解得， ∴二次函数解析式为，配方得， 选项A：∵，∴抛物线开口向上，故A错误，该选项不符合题意； 选项B：对称轴为直线，故B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵开口向上，对称轴为，∴当时，随的增大而增大，因此时，随的增大而增大，故C错误，该选项不符合题意； 选项D：∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，故D正确，该选项符合题意． （1）考查方向：考查根据点坐标、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点或表格信息求二次函数解析式。 （2）核心方法：根据条件选择合适形式：已知三点用一般式，已知顶点用顶点式，已知与x轴两个交点用交点式，再代入已知点求参数。 【变式1】如图，抛物线与直线交于B，C两点，与轴交于点，已知点C的坐标为，点B的横坐标为3，轴．下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】求出点坐标，待定系数法求出函数解析式，结合函数图象，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵点在直线上，且B的横坐标为3， ∴点的纵坐标为3， ∴， ∵轴， ∴， 把，，代入，得 ，解得， ∴， ∴，； 由图象可知，当时，抛物线在直线的下方，故； 即； 综上：只有选项D错误. 【变式2】已知二次函数图像经过，则______． 【答案】2026 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到与的关系式，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：将点代入，得 ， 整理得，即， ∴． 【变式3】抛物线的顶点坐标为，且与x轴交于两点，已知两点相距4个单位，该抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】先设抛物线的顶点式，再求出交点坐标，代入顶点式求出二次项系数，即可得到抛物线表达式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的两个交点相距个单位，且两点关于对称轴对称， 两个交点的横坐标为，，即交点为和， 将代入，可得，解得， 抛物线的表达式为． 【变式4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与与相交于点，，点的坐标为，若点在抛物线上，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是解题的关键．先利用待定系数法求得抛物线，再令，得，解得或，从而即可得解． 【详解】解：把点 ，点代入抛物线得， ， 解得， ∴抛物线， 令，得， 解得或， ∴， ∴； 故答案为：． 【中考链接】二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． A组·基础过关 1．二次函数的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 2．抛物线的对称轴是直线（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 3．已知点在抛物线上，下列说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向上的抛物线上点到对称轴距离越大，对应函数值越大的规律比较大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为， 分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵开口向上的抛物线，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，且， ∴． 4．如图，若，，，则抛物线的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可以得出抛物线的开口向下，由得出抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，由，可以得出抛物线的对称轴，即抛物线的对称轴在轴右侧，据此即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，故C选项错误； ∵， ∴抛物线与轴的交点在轴的负半轴上，故A选项错误； ∵，， 故抛物线的对称轴为， ∴抛物线的对称轴在轴右侧，故D选项错误． 5．在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两个函数的性质和图象的特征，结合选项中的图象逐项判断即可． 【详解】解：A、直线中，，抛物线中，，故本选项符合题意； B、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； C、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意； D、直线中，，抛物线中，，矛盾，故本选项不符合题意． 6．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是二次函数的对称性，解题关键是根据二次函数的对称性推得． 先根据与轴的两点求出对称轴，再利用点与的对称性得到与的关系，最后结合的范围求出的范围． 【详解】解：二次函数的图象过点和， 抛物线的对称轴为直线， 当时，，即抛物线过点，且点不在坐标轴上， 点与点关于对称轴对称， ，即， ， ，即． 故选：． 7．汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（ ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 【答案】B 【分析】汽车刹车后停下来时，行驶距离s达到最大值，本题利用二次函数的性质，将解析式配方为顶点式，顶点的横坐标即为刹车到停车的时间. 【详解】解：∵ 对解析式配方得： ∵二次项系数 ∴当时，取得最大值，即汽车停下来. 因此汽车从开始刹车到停下来所用时间是秒． 8．假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：设二次函数解析式为， 把、和代入得，， 解得， ∴二次函数解析式为， 故选：． 9．在平面直角坐标系中，抛物线经变换后得到抛物线，则下列变换正确的是（） A．向右平移3个单位 B．向左平移3个单位 C．向右平移2个单位 D．向左平移2个单位 【答案】D 【分析】先求出变换前后抛物线的顶点坐标，再根据“左加右减”、“上加下减”的规律即可求解． 【详解】原抛物线，顶点坐标为； 变换后抛物线，顶点坐标为， 故原抛物线向左平移个单位即可得到变换后的抛物线． 10．我们知道，抛物线可由抛物线经过平移得到，那么平移的方法可以是（ ） A．先向上平移2个单位，再向左平移1个单位 B．先向上平移2个单位，再向右平移1个单位 C．先向下平移2个单位，再向左平移1个单位 D．先向下平移2个单位，再向右平移1个单位 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据解析式可得两个抛物线的顶点坐标，根据对应的顶点坐标可判断出对应的平移方式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∵将点先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到点， ∴抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到抛物线， 故选：B． B组·能力提升 11．已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（ ） A． B．该函数的最小值为 C．该函数图象不经过第三象限 D．该函数图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】先利用表格中的对应点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项，找出错误结论即可． 【详解】解：由表格可知当时，，当时，； ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， 、，结论正确，不符合题意； 、由，则函数开口向上， ∵对称轴为， ∴将代入得， ∴函数最小值为，结论正确，不符合题意； 、当时，，， ∴恒成立，函数与轴交点都在正半轴，图象不经过第三象限，结论正确，不符合题意； 、由选项得函数对称轴为直线，不是，结论错误，符合题意． 12．已知抛物线与轴无交点，且当时，随的增大而减小，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，对称轴与轴的交点的横坐标，进行求解即可. 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵抛物线与轴无交点，且当时，随的增大而减小， ∴， 解得. 13．已知二次函数的图象如图所示，下列判断不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质结合函数图象分析即可求解．抛物线开口向下，即可判断A选项；抛物线与x轴有两个交点，即可判断B选项；抛物线的对称轴为直线，即可判断C选项；当时，，即可判断D选项． 【详解】A、二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∴，∴选项不符合题意； B、二次函数的图象与x轴有两个交点， ∴，∴选项符合题意； C、二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，∴选项不符合题意； D、当时，， ∴选项不符合题意． 14．如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 15．设二次函数，图象经过，两点，则h的最大值是（ ） A． B．17 C． D．37 【答案】D 【分析】利用二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，得到原二次函数对称轴．求出m和a的关系．再代入点坐标得到h关于a的二次函数，配方求最大值即可． 【详解】解：∵点和纵坐标相等，二次函数图象上纵坐标相等的两点关于对称轴对称， ∴二次函数的对称轴为． 又∵二次函数的对称轴为， ∴， 得． 把代入二次函数得： ， 整理得， 配方得． ∵， ∴， ∴． 即h的最大值为37． 16．已知，，则下列说法正确的是（ ） A． B．当时，的最小值为 C． D．当时，的最小值为 【答案】B 【分析】由已知条件推导出关于的表达式，再将整理为关于的二次函数，结合实数平方的非负性确定的取值范围，最后根据二次函数的性质求的最小值，判断各选项． 【详解】解：∵ ，， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 整理得 ，解得 ，因此选项A、 C错误； 将代入，得， ∵为实数， ∴， 即， 代入，，得， 整理得 ，即， ∴满足该不等式，在的取值范围内， ∵二次函数开口向上，在顶点处取最小值， ∴当时，取得最小值，因此选项B正确，D错误； 故选B． 17．二次函数中x，y的部分对应值如下表所示： … 0 1 2 3 … … 4 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（ ） A．函数图象开口向下 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为和 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象性质．利用表格中的数据，用待定系数法求出二次函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵时，， ∴， 即． 选取表格中两组对应值，代入中，得： 化简得：， 解得：， ∴ 二次函数解析式为，配方得． ∵， ∴ 抛物线开口向上，A错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴B错误； ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，y随x的增大而增大， 又∵满足，因此当时，y随x的增大而增大，C正确； 令，得， 解得，即图象与x轴交点为和，不是和， ∴D错误． 18．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】将抛物线转为顶点式，根据平移规则求得平移后的解析式，判断顶点坐标的符号，即可求解． 【详解】解：， 向下平移1个单位后，解析式为， 则顶点坐标为：， ∵， ∴， ∴， 又因为， 所以顶点坐标在第三象限． 19．二次函数的图象经过，，三点． (1)求这个函数的解析式； (2)求函数顶点的坐标； (3)当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，将点代入到解析式中求解即可； （2）将二次函数一般式转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （3）根据二次函数的增减性求得在内函数的最大值与最小值，得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵二次函数经过点，， ∴设二次函数解析式为， 又∵二次函数的图象经过， 将点代入中， 得，解得， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴二次函数的顶点为． （3）解：∵二次函数的二次项系数为， ∴二次函数开口向下， 由（2）知，二次函数的对称轴为，且在内， ∴二次函数在顶点处取得最大值，最大值为， ∵二次函数开口向下 ∴二次函数上的点离对称轴越近函数值越大， ∵， ∴二次函数在处取得最小值， 将代入中，解得， ∴时，． 20．在直角坐标系中，抛物线（，是常数，）与轴相交于点． (1)若抛物线经过点，，求，的值； (2)已知，若，有最大值，求的值． 【答案】(1)的值分别为 (2)或 【分析】（）利用待定系数法，将函数图像经过的两个点坐标代入二次函数解析式，构造出关于参数的二元一次方程组，通过解方程组直接求出a、b的数值； （）先根据用表示，代入解析式配成顶点式确定对称轴；再按照开口向上、开口向下分类讨论，结合自变量的取值范围判断最大值对应的，分别列式求解，最后汇总所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴的值分别为； （2）解：∵， ∴， ∴抛物线为， ∵， ∴抛物线顶点坐标为， ①当时，抛物线开口向上，， ∴当时，为最大值， 即，解得； ②当时，抛物线开口向下， ∴当时，为最大值， 即， 解得； 综上所述，或． C组·拓展延伸 21．如图为二次函数的图像，则下列说法：①；②；③；④当时，；⑤；⑥，其中正确的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图像的开口方向可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，根据图像的特点可以判断④，根据二次函数图像与轴的交点可判断⑤，根据二次函数的最值可判断⑥． 【详解】解：∵二次函数的图像开口向下， ∴，故说法①不正确； ∵二次函数的图像与轴交点横坐标分别是和， ∴该图像的对称轴为：， ∴，故说法②正确； 由二次函数的图像可知：当时，， ∴，故说法③正确； 由二次函数的图像可知：当时，函数图像在轴上方，即，故说法④正确； 由二次函数的图像可知：该图像与轴有个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的根， ∴，故说法⑤错误； ∵二次函数的图像开口向下，对称轴为， ∴当时，最大值为， 当时，， ∴， 即（为实数），故说法⑥正确； ∴正确的有个． 22．已知抛物线与x轴交于，两点，且点，都在抛物线上，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．无论a为何值， D．无论a为何值， 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质判断即可 【详解】解：∵已知抛物线与x轴交于，两点， 根据抛物线与x轴交点的横坐标，得出抛物线的对称轴， ∴抛物线对称轴是直线， ∴点D是抛物线的顶点， ∵不确定a大于还是小于0，根据点D横坐标与抛物线的对称轴，判断点D为顶点；a的大小不确定，需分类讨论． ∴抛物线开口方向不确定，是这个二次函数的最值，但不确定是最大值还是最小值， ∴和的大小关系不能确定，故C，D选项错误； 由于是这个二次函数的最值，只要C不是顶点，即， ，都有， 当时，开口方向仍有两种可能， ∴和的大小关系不能确定，故A选项错误； 当时，抛物线开口向下，是这个二次函数的最大值，故，B选项正确． 23．抛物线 的对称轴是直线，与x轴负半轴的交点坐标为，且 与轴交于点，则下列结论中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件得到抛物线的基本参数范围，再结合抛物线的对称性，交点性质和最值性质逐个判断选项． 【详解】解：抛物线过点， ， 对称轴为直线， ， 可得， 抛物线与轴的一个交点满足，对称轴为， 另一个交点满足，可得抛物线开口向下， ， ，， ， 选项A：，，，，故A选项错误； 选项B：与关于对称轴对称，时，即，不满足，故B选项错误； 选项C：抛物线与轴有两个交点，，即，故C选项错误； 对选项D：抛物线开口向下，顶点在对称轴处，对任意，都有，即：，移项整理得：，因式分解得，故D选项正确． 24．已知二次函数的图象上有四个点：，，，，其中，下列结论一定不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象性质，包括对称轴、开口方向及点的分布．通过分析和时抛物线的开口方向、对称轴位置，以及点、与点、的对称关系，结合判断点的横坐标大小关系，从而确定哪个选项一定不正确，熟练掌握二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 当时，，抛物线开口向下，对称轴， ∵，纵坐标相同， ∴， ∴， 同理可得：， ∴，故A正确； 当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴点、到对称轴的距离大于点、到对称轴的距离， ∴可能存在的情况，故B正确； 当时，，开抛物线口向上，对称轴， 同理可得：，， ∴，故C正确； 当时，抛物线开口向上，对称轴， ∵， ∴点、到对称轴的距离小于点、到对称轴的距离， 若，则点、到对称轴的距离大于点、到对称轴的距离，与矛盾，故D错误； 故选：D． 25．点在抛物线上，其中，，若对于任意，都有，则m的取值范围为（ ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】先将抛物线配方得到对称轴，利用开口向上二次函数的性质：点离对称轴越远，函数值越大，将恒成立转化为：内所有点到对称轴的最大距离不超过到对称轴的距离，解绝对值不等式得到m的范围 【详解】解：∵， ∴ 抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上的二次函数中，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ∴等价于对任意恒成立， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 情况1：，解得， 情况2：，解得 综上，m的取值范围是或． 26．小明很喜欢玩纸飞机，他发现纸飞机的飞行一般会经历上抛、下降、滑行三个阶段．如图所示，以地平线为轴，起抛点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系，上抛和下降的飞行路径可看作是抛物线的一部分，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分，且当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段．有下列结论： ①当时，纸飞机进入滑行阶段时的高度为； ②当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，的值为； ③当时，小明的前方有一堵高的围栏，若纸飞机可以顺利飞过围栏，则小明距离围栏的水平距离最少为，最多为． 其中，正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据进入滑行阶段的函数解析式与，，可求得此时的函数值，以此可判断①； 当纸飞机的落地点与起抛点的水平距离为时，此时纸飞机已在滑行阶段，由此可求得的值，从而可判断②； 先求出直线的解析式，再根据小明的前方有一堵高的围栏，求出抛物线的解析式中的范围，再当时，求出一次函数的值，再求出当时，的范围，两个范围合并即可得出小明距离围栏的水平距离最少与最多的值，由此可判断③． 【详解】解：因为当纸飞机飞行的水平距离为时进入滑行阶段，滑行的飞行路径可看作是直线的一部分， 所以当，时，， 故①正确； 落地点在，此时纸飞机已在滑行阶段， 所以落地点在直线上，且此时， 所以， 所以， 又因为在处，抛物线与直线高度相等， 所以， 所以， 故②正确； 当时，，， 当时，， 解得：， 所以直线的解析式为，， 当时，， 解得：，， 所以当时，， 又，， 所以， 当时，， 解得：， 所以当时，， 又，， 所以， 所以当时，飞机高度，可以飞过， 所以小明距离围栏的水平距离最少距离为，最多为， 故③正确， 综上所述，三个结论都正确， 故选：D． 27．坐标平面上，若移动二次函数的图象，使其与轴交于两点，且此两点的距离为个单位，则移动方式可为（ ） A．向上平移个单位 B．向左平移个单位 C．向下平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的平移，二次函数平移与交点距离的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 通过将二次函数化为顶点式，确定与轴交点距离的表达式，垂直平移改变常数项，从而改变交点距离，水平平移不改变交点距离，设垂直平移量，令平移后交点距离为，求解即可． 【详解】解：将化为顶点式：即， 令，得， ∴， 解得， ∴交点距离为， 设垂直平移个单位，新函数为， 令，得， ∴交点距离为， 令，则， ∴， 解得， 即向下平移5个单位， 水平平移不改变交点距离，故选项B和D无效， 故选：C． 28．已知二次函数． (1)若该二次函数的图象经过点和，求该二次函数的解析式； (2)若，当时，的最小值为，的最大值为，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，的最大值与最小值的差，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据图象的性质即可列方程求解即可； （3）分三种情况讨论：当在对称轴的左侧时，当在对称轴的右侧时，当在对称轴的两侧时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和代入二次函数中得， ，解得， 二次函数的解析式为； （2）解：，对称轴为， 抛物线开口向下，的值离对称轴越远，的值越小， ， 当时，有最小值，当时，有最大值． 即，解得， ； （3）解：由（1）可知，，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ， 当在对称轴的左侧时，即时， 的最大值与最小值的差， ， 整理得， 解得（不合题意，故舍去）． 当在对称轴的右侧时，，即时， 的最大值与最小值的差， ， 整理得， 解得（不合题意，故舍去）． 当在对称轴的两侧时，即时， 的最大值与最小值的差， 或， 解得，（舍去）或（舍去），， 综上所述，的值为或． 2 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $