14 全等三角形--导学案--2026-2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学导学案聚焦全等三角形，涵盖概念性质、五种判定方法及角平分线知识。通过平移、翻折、旋转等图形变换导入，衔接图形变换旧知，构建从具体到抽象的学习支架。 资料以情境化例题（如池塘测距）引导探究，通过对比辨析（如排除SSA）强化判定逻辑，规范几何语言表达。培养学生抽象能力、推理意识与应用意识，助力自主学习与问题解决能力提升。

14 全等三角形 知识框架： · 概念及性质 · 全等的判定方法（5种） · 角平分线 1、 全等三角形 定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 思考：（1）如图（1），把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF． （2）如图（2），把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC． （3）如图（3），把△ABC绕点A旋转，得到△ADE． 以上各图形经平移、翻折、旋转后，前后两个三角形全等吗？全等 “全等”用“≌”表示，读作“全等于”． 继续思考，“全等”代表着什么？两个全等的三角形能够完全重合． 得到性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等． 用几何语言表示： 如图：∵△ABC≌△DEF， ∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF（全等三角形的对应边相等）， ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F（全等三角形的对应角相等）． 注意：对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边． 例题精析 1．下列说法正确的个数有（ ）． ①形状相同的两个图形是全等形；②对应角相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的面积相等；④若△ABC≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图所示，△ABC≌△AEF，请指出所有的对应边和对应角． 3．如图所示，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4cm，BB′＝1cm，则A′B长是______cm． 练习1 1．下列说法中不正确的是（ ）． A．一个直角三角形与一个锐角三角形一定不会全等 B．两个等边三角形是全等三角形 C．斜边相等的两个等腰直角三角形一定是全等三角形 D．若两个钝角三角形全等，则钝角所对的边是对应边 2．下列图形中，①平行四边形；②正方形；③等边三角形；④等腰三角形．能用两个全等的直角三角形拼成的图形是（ ）． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①④ 3．下列命题中不正确的是（ ）． A．全等三角形的对应高相等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的周长相等 D．周长相等的两个三角形全等 4．如图所示，△ABC≌△FED，那么下列结论错误的是（ ）． A．EC＝BD B．EF∥AB C．DF＝DB D．AC∥FD 5．如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ）． A．15° B．20° C．25° D．30° 6．如下图，△AOC≌△BOD，∠C与∠D是对应的，AC与BD是对应的，AC＝8cm，AD＝10cm，OD＝OC＝2cm，那么OB的长是（ ）． A．8 cm B．10 cm C．2 cm D．不能确定 7．如下图，Rt△ABF≌Rt△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论：①AE＝ED，②AE⊥DE，③BC＝AB＋CD，④AB∥DC，其中成立的是（ ）． A．仅① B．仅①③ C．仅①③④ D．①②③④ 8．如图，两个大三角形是全等三角形，可记作__________≌__________，若∠B＝40°，则∠__________＝40°，AC＝__________，BF＝__________． 9．如图所示，若△OAD≌△OBC，且∠O＝65°，∠C＝20°，则∠OAD＝__________． 10．如图，已知点D在AC上，点B在AE上，△ABC≌△DBE，且∠BDA＝∠A，若∠A∶∠C＝5∶3，求∠DBC的度数． 2、 全等的判定方法（4+1） 1. 边边边（SSS） 即，三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）． 符号语言： 如图，在△ABC与△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SSS）． 例题精析 例1如下图△ABC是一个钢架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架， 求证：△ABD≌△ACD． 证明：∵D是BC的中点，∴BD＝DC． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． 跟进练习 如图，点E、F在BC上，AB＝DC，AF＝DE，BE＝CF，B、E、F、C在同一直线上， 求证：△ABF≌△DCE． 证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE． 在△ABF和△DCE中， ∴△ABF≌△DCE（SSS）． 练习2 1．如图，在①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE四个条件中，能根据“SSS”证明△ABD与△ACE全等的条件顺序是（ ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．③②④ 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，那么全等三角形的对数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．下图是5×5的正方形网格，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画（ ）． A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 4．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D两点，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是__________． 5．如图，AD＝BC，DC＝AB，AE＝CF，根据“SSS”，找出图中的一对全等三角形：__________，并说明你的理由：__________________________________________． 2. 边角边（SAS） 即，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简称“边角边”和“SAS”）． 符号语言： 如图，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（SAS）． 例题解析 例1 如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达A和B．连结AC并延长到D，使CD＝CA．连结BC并延长到点E，使CE＝CB．连结DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？ 证明：在△ABC和△DEC中， ∴△ABC≌△DEC（SAS）． ∴AB＝DE． 探究 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC．固定住长木棍，转动短木棍，得到△ABD．这个实验说明了什么？ 图中的△ABC和△ABD满足两边和其中一边的对角分别相等，即AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC和△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，所以它不能作为判定两三角形全等的条件． 总结： “两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS”）． 例2 如图，OA平分∠BOC，并且OB＝OC．求证：（1）AB＝AC，（2）∠B＝∠C． 证明：∵OA平分∠BOC，∴∠BOA＝∠COA． 在△OAB和△OAC中， ∴△OAB≌△OAC(SAS)．∴AB＝AC，∠B＝∠C． 练习3 1.如图，已知△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，且CD＝BE，△ADC与△AEB全等吗？小明是这样分析的：因为AB＝AC，BE＝CD，∠BAE＝∠CAD，所以△ADC≌△AEB（SSA），他的思路正确吗？请说明理由． 2．如图，A，D，F，B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC． 求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD． 3．已知：如图所示，AB＝AD，BC＝CD，∠ABC＝∠ADC．求证：OB＝OD． 检测1 1．如图，△ABD与△CBD都是等边三角形，AC与BD相交于点O，图中全等三角形有（ ）． A．2对 B．4对 C．6对 D．8对 2．如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．下列结论不正确的是（ ）． A．∠BAD＝∠CAE B．△ABD≌△ACE C．AB＝BC D．BD＝CE 3．如图，AB，CD相交于点O，且AO＝OB，图中已具备的另一个相等条件是________，联想“SAS”，只需补充条件__________，就有△AOD≌△BOC． 4．如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A，D，B，F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添一个条件，这个条件可以是__________________________________________． 5．如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB＝AC，AD＝AE，求证：BE＝CD． 3. 角边角（ASA） 即，两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 符号语言： 如图，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 例题精析 例1 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C．求证：AD＝AE． 证明：在△ACD和△ABE中， ∴△ACD≌△ABE（ASA）．∴AD＝AE． 例2 如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F．求证：AB＝DE． 证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF． 又∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF． 在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA）．∴AB＝DE． 4. 角角边（AAS） 即，两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等 符号语言： 如图，在△ABC和△DEF中， ∴△ABC≌△DEF（AAS）． 例题精析 例1 如图，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF． 求证：△ABC≌△DEF． 证明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°， ∴∠C＝180°－∠A－∠B． 同理∠F＝180°－∠D－∠E． 又∠A＝∠D，∠B＝∠E，∴∠C＝∠F． 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 例2 如图，E，F在线段AC上，AD∥CB，AE＝CF．若∠B＝∠D，求证：DF＝BE． 证明：∵AD∥CB，∴∠A＝∠C． ∵AE＝CF，∴AF＝CE．在△ADF和△CBE中， ∴△ADF≌△CBE（AAS）．∴DF＝BE 练习4 1．已知：如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD，BF⊥CD，垂足为E，F，求证：CE＝BF． 2.如图，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB＝AC，∠B＝∠C， 求证：BO＝CO． 检测2 1．在△ABC和△A′B′C′中，①AB＝A′B′，②BC＝B′C′，③AC＝A′C′，④∠A＝∠A′，⑤∠B＝∠B′，⑥∠C＝∠C′，则下列条件中不能保证△ABC≌△A′B′C′的是（ ）． A．①②③ B．①②⑤ C．①⑤⑥ D．①②④ 2．如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ）． A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA 3．如图所示，AB＝AC，若利用“ASA”来证明△ABE≌△ACD，需补充的一个条件是________；若利用“AAS”来证明△ABE≌△ACD，需补充的一个条件是____________． 4．如图，分别过点C，B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E，F．求证：BF＝CE． 5 斜边、直角边(HL)--只适用于直角三角形 即，直角边与斜边相等的直角三角形全等 符号语言： 如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）． 例题精析 例 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．求证：BC＝AD． 证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠D＝∠C＝90°． 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）．∴BC＝AD． 练习5 1．如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE有什么关系？ 2．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF．求证：AB∥DC． 检测3 1．下列语句中，不正确的是（ ）． A．两条直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．两边及第三边上的高对应相等的两个锐角三角形全等 C．两边及其中一边上的高对应相等的两个锐角三角形全等 D．两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 2．要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图），可以证明△EDC≌△ABC，得到DE＝AB，因此测得ED的长就是AB的长．判定△EDC≌△ABC的理由是（ ）． A．SAS B．ASA C．SSS D．HL 3．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，AE＝AF，请找出一对全等的三角形________． 4．如图，在△ABO与△ACO中，∠ABO＝∠ACO＝90°，__________＝__________，则△AOB≌△AOC． 5．要将下图的∠MON平分，小梅设计了如下方案：在射线OM，ON上分别取OA＝OB，过A作DA⊥OM于A，交ON于D，过B作EB⊥ON于B交OM于E，AD，EB交于点C，过O，C作射线OC即为∠MON的平分线，试说明这样做的理由． 3、 角平分线 思考：如何作已知角的平分线？ 已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线． 作法：(1) 以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． (2) 分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． (3) 画弧线OC．射线OC即为所求． 如图，任意作一个∠AOB，作出∠AOB的平分线OC．在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试． 发现PD都等于PE． 总结出角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 符号语言： 如图：∵∠AOC＝∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE． 证明过程： 因为PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°． 在△PDO和△PEO中，,∴△PDO≌△PEO（AAS）．∴PD＝PE． 反之是否成立呢？即到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？尝试证明 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上． 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO＝∠PEO＝90°（垂直的定义）． 在Rt△PDO和Rt△PEO中，，∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）． ∴∠POD＝∠POE．∴点P在∠AOB的平分线上． 结论：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．（角的平分线的判定） 符号语言表示： ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，∴点P在∠AOB的平分线上． 例题精析 1.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等． 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD＝PE． 同理PE＝PF．∴PD＝PE＝PF．即点P到三边AB，BC，CA的距离相等． 2.如图，填空． （1）∵∠1＝∠2，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴___________ （________________________________________） （2）∵DC⊥AC，DE⊥AB，DC＝DE， ∴__________ （________________________________________________） 答案：（1）DC＝DE，角的平分线上的点到角的两边的距离相等． （2）∠1＝∠2，角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 练习6 1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，则下列五个结论：（1）AD上任意一点到AB，AC两边的距离相等；（2）AD上任意一点到B，C两点的距离相等；（3）AD⊥BC，且BD＝CD；（4）∠BDE＝∠CDF；（5）AE＝AF．其中，正确的有（ ）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）． A．P为∠A、∠B两角平分线的交点 B．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点 C．P为AC、AB两边上的高的交点 D．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点 3．在△ABC中，AB＝20，BC＝30，AC＝40，点O是三条角平分线的交点，则△AOB，△BOC，△AOC面积的比为（ ）． A．1∶1∶1 B．1∶2∶3 C．3∶4∶5 D．2∶3∶4 4．如图，在三角形ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，AB＝36 cm，BC＝24 cm，S△ABC＝144 cm2，则DE＝___________． 5．如图，把Rt△ABC（∠C＝90°）折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则∠A等于_______度． 6．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，且BE＝CF．求证：AD平分∠BAC． 检测4 1．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是（ ）． A．4 B．3 C．6 D．5 2．下面的结论中，错误的是（ ）． A．到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上 B．一条直线上有一点到已知角两边的距离相等，则这条直线平分已知角 C．在角的内部，到角两边距离相等的某点与角的顶点的连线平分已知角 D．角内有两点各自到角两边的距离相等，经过这两点的直线平分这个角 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，且BD∶CD＝3∶2，则点D到线段AB的距离为________． 4．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB＝7 cm，AC＝4 cm，则S△ABD∶S△ACD＝______． 5．如图所示，已知AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延长线于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．求证：DE＝DF． 答案： 例题精析1 1 C． 2．因为△ABC≌△AEF，所以∠A与∠A是公共角也是对应角，∠C与∠F是对应角，∠ABC与∠AEF是对应角；BC与EF，AC与AF，AB与AE是对应边． 3．3． 练习1 1．B 2．A 3．D 4．C．5．D．6．A 7．D．8．△ABC，△EDF，∠D，EF，CD． 9．95°． 10．解：设∠A＝5x，∠C＝3x，则∠CBE＝∠A＋∠C＝5x＋3x＝8x． ∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE．∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC， 即∠ABD＝∠CBE＝8x．又∵∠BDA＝∠A，∴∠BDA＝5x．∵∠BDA＝∠C＋∠DBC，∴∠DBC＝2x．∴∠ABC＝10x．在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°， 即5x＋10x＋3x＝180°，∴x＝10°，∴∠DBC＝2x＝20°． 练习2 1．C．2．C． 3．这里要考虑满足两个三角形三边相等的所有情况，共有4种情况．B 4．答案：SSS． 5．答案：△ADC≌△CBA 根据“SSS”，即AD＝CB，DC＝BA，AC＝CA． 练习3 1.小明的思路错误．错解在把“SSA”作为三角形全等的判别方法，实际上，“SSA”不能作为三角形全等的判别条件．因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全等． 正解：△ADC≌△AEB．因为AB＝AC，D，E为AB，AC的中点，所以AD＝AE．在△ADC和△AEB中，因为AC＝AB，AD＝AE，CD＝BE，所以△ADC≌△AEB（SSS）． 或者：因为AB＝AC，D，E为AB，AC的中点，所以AD＝AE．在△ADC和△AEB中，因为AC＝AB，∠CAD=∠BAE，AD＝AE，所以△ADC≌△AEB（SAS）． 2．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠A＝∠B．又∵AD＝BF，∴AD＋DF＝BF＋FD．即AF＝BD． 在△AEF和△BCD中， ∴△AEF≌△BCD． （2）∵△AEF≌△BCD，∴∠EFA＝∠CDB．∴EF∥CD． 3．证明：在△ABC和△ADC中， ∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴∠DCO＝∠BCO 在△BCO和△DCO中， ∴△BCO≌△DCO（SAS）．∴OB＝OD 检测1 1：D． 2．C 因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，选项A正确．因为AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，根据“SAS”可知△ABD≌△ACE，所以选项B正确．由全等三角形的对应边相等，得出BD＝CE，所以选项D正确． 只有选项C没有充分的条件可以证明，故选C． 3．答案：∠AOD＝∠BOC DO＝CO． 4．答案：∠C＝∠E（答案不唯一，也可以是AB＝FD或AD＝FB）． 5．证明：∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAC＝∠EAD＝90°（垂直的定义）． ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE，即∠BAE＝∠CAD． 在△BAE和△CAD中， ∴△BAE≌△CAD（SAS）．∴BE＝CD． 练习4 1．证明：∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC＝∠BFC＝90°．∴∠BCF＋∠B＝90°． ∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＋∠ACF＝90°．∴∠ACF＝∠B． 在△BCF和△CAE中 ∴△BCF≌△CAE（AAS），∴CE＝BF． 2证明：在△ACD和△ABE中，∴△ACD≌△ABE（ASA）． ∴AD＝AE．∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AE．即BD＝CE． 在△BOD和△COE中， ∴△BOD≌△COE（AAS）．∴BO＝CO． 检测2 1．D．2．B．3．∠B＝∠C，∠AEB＝∠ADC． 4．证明：∵CE⊥AF，FB⊥AF，∴∠DEC＝∠DFB＝90°． 又∵AD为BC边上的中线，∴BD＝CD． 又∵∠EDC＝∠FDB（对顶角相等），∴△BFD≌△CED（AAS）．∴BF＝CE． 练习5 1．解：∠ABC＋∠DFE＝90°． 理由如下：在Rt△ABC和Rt△DEF中， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）．∴∠ABC＝∠DEF． 又∵∠DEF＋∠DFE＝90°，∴∠ABC＋∠DFE＝90°． 即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余． 2． 证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴在Rt△ADE与Rt△CBF中 ∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）．∴AE＝CF，DE＝BF． ∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE． 在Rt△CDE与Rt△ABF中， ∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）．∴∠DCE＝∠BAF．∴AB∥DC． 检测3 1．D．2．B．3．△ADE≌△ADF． 4．AB＝AC或BO＝CO或∠BAO＝∠CAO或∠BOA＝∠COA． 5．解：∵DA⊥OM，EB⊥ON，∴∠OAD＝∠OBE＝90°． 在Rt△OAC和Rt△OBC中， ∴Rt△OAC≌Rt△OBC（HL）．∴∠BOC＝∠AOC，即OC平分∠MON． 练习6 1．D 2．B 3．D．4．4.8 cm．5．30． 6．证明：∵D是BC的中点，∴BD＝CD． ∵DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，∴在Rt△BDE和Rt△CDF中 ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．∴DE＝DF． ∴点D在∠BAC的平分线上．∴AD平分∠BAC． 检测4 1．B．2．B．3．4． 4．解析：作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F， ∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF． ∵S△ABD＝·AB·DE，S△ACD＝AC·DF， ∴S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC＝7∶4． 5．证明：连接AD，在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）．∴∠BAD＝∠CAD， 即AD平分∠BAC．又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． ∴△EDM≌△FDN（ASA）．∴DE＝DF． 学科网（北京）股份有限公司 $