26.2.2 二次函数y=ax²+k的图象和性质（第2课时）课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2 + k\)的图象和性质，通过复习\(y = ax^2\)的图象特征与性质，结合配方思想引入新知，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以探究活动为主线，通过画图对比\(y = \frac{1}{2}x^2\)与\(y = \frac{1}{2}x^2 \pm 2\)的平移关系，培养几何直观与推理意识，课堂练习融入面积计算等实际问题，发展模型意识。学生能深化知识联系，教师可提升教学效率。

第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数的图象和性质 学习目标 1.会画二次函数 y＝ax2＋k 的图象. 2.掌握二次函数 y＝ax2＋k 的性质并会应用. 3.理解y＝ax2与 y＝ax2＋k 之间的联系. 复习巩固 1.二次函数 的图象是什么形状？ 2.它的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么？ 3.当 和 时，函数的增减性和最值分别是怎样的？ 图象 抛物线 对称轴 轴 顶点坐标 开口方向 时，开口向上 时，开口向下 增减性 时 随 增大而减小， 时 随 增大而增大； 时， 有最小值 0. 时 随 增大而增大， 时 随 增大而减小； 时， 有最大值 0. 课堂导入 课堂引入 在研究了的图象和性质之后，我们进一步探讨当，不全为0时，二次函数的图象和性质． 想一想 如何研究呢？能否将转化为类似的简单形式？ 一元二次方程 配方 这样，当分别讨论，的取值时，就可以 建立起与的联系了. 下面先来讨论当，时，二次函数的图象和性质 课堂导入 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2+2， y=x2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. x … −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 …  y=x2+2 … 10 6.5 4 2.5 2 2.5 4 6.5 10 …  y=x2-2 … 6 2.5 0 −1.5 −2 −1.5 0 2.5 6 … 先列表： 然后描点画图，就得到 y=x2+2， y=x2-2 的图象. y=x2+2 y=x2-2 探究新知 知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知讲解 可以看出，抛物线  y=x2+2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是 (0,2)； 抛物线 y=x2-2 的开口向上，对称轴是y轴，顶点是  (0,-2). y=x2+2 y=x2-2 探究 (1) 在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y=x2+2， y=x2-2的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点. 探究新知 知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知讲解 探究 (2) 抛物线 y=x2+2， y=x2-2 与抛物线 y=x2 有什么关系？ y=x2+2 y=x2-2 可以发现，把抛物线y=x2 （图中的虚线图形）向上平移 2 个单位长度，就得到抛物线 y=x2+2； 把抛物线向下平移 2 个单位长度，就得到抛物线 探究新知 知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知讲解 在同一坐标系内画出下列二次函数的图象： （1）y=- x2 （2）y=- x2-2 （3）y=- x2+2 根据图象回答下列问题： (1)图象的形状都是________； (2)三条抛物线的开口方向______； (3)对称轴都是______； (4)从上而下顶点坐标分别是________________________； 抛物线 向下 y轴 (0,2)，(0,0)，(0,-2) (5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为____、____、____； (6)函数的增减性都相同： _________________________； _________________________. 高 大 y=2 y=0 y=-2 对称轴左侧y随x增大而增大 对称轴右侧y随x增大而减小 思考：你能归纳出二次函数 y=a+k 的图象特征和性质吗？ 抛物线y=a+k 顶点（0，k） 抛物线y=a 顶点（0，0） 沿 y 轴向下平移|k|个单位长度 抛物线y=a+k 顶点（0，k） 抛物线y=a 顶点（0，0） 沿 y 轴向上平移 k 个单位长度 （1）当k>0时： （2）当k<0时： 简记为“上加下减常数项” 探究新知 知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知讲解 二次函数y=ax2 +k的图象和性质： y=ax2+k a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 探究新知 1.抛物线y=2x2＋3可以由抛物线y=2x2向 平移 个单位得到. 2.抛物线y=- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x2. 3.抛物线y=-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 . 上 3 下 1 向下 y轴 （0，-5） 课堂练习 课堂练习 4．对于二次函数y＝－x2＋3，下列说法中错误的是 (　 　) A．最大值为3 B．图象与y轴没有交点 C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．其图象关于y轴对称 5．已知抛物线y＝4x2＋2上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2＜0，则y1与y2的大小关系是 (　 　) A．y1＜y2　　　B．y1＝y2　　　 C．y1＞y2　　　D．无法确定 B C 知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 新知讲解 6. 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y=x²，y=x²+1，y=x²-1. 指出三条抛物线的位置关系，并分别指 出它们的开口方向、对称轴和顶点，以 及随着x的增大，y的变化情况. 抛物线y=x²向上平移1个单位长度，可以得到抛物线y=x²+1；抛物线y=x²向下平移1个单位长度，可以得到抛物线y=x²-1. 课堂练习 【教材P38练习】 随堂练习 课堂练习 7.关于二次函数y=2x2+3,下列说法正确的是（ ） A.图象的开口向下 B.当x<－1时，y随x的增大而减小 C.图象的对称轴是直线x=2 D.当x=0时，y有最大值3 B 8.关于抛物线y=-x2+1与y=x2-1,下列说法正确的是（ ） A.开口方向相同 B.顶点相同 C.对称轴相同 D.当x>0时，y随x的增大而增大 C 课堂练习 9.二次函数y=-3x2＋1的图象是将（ ） A.抛物线y=-3x2向左平移3个单位得到 B.抛物线y=-3x2向左平移1个单位得到 C.抛物线y=3x2向上平移1个单位得到 D.抛物线y=-3x2向上平移1个单位得到 D 10.抛物线 y= -x2+3 的顶点坐标是( ) A.(0,3) B.(0,-3) C.(3,0) D.(-3,0) A 课堂练习 11.已知抛物线y=ax2+k. (1)若抛物线y=ax2+k的形状与y=2x2相同，开口方向相反，且顶点坐标为(0,-3)，则该抛物线的函数表达式是________. (2)若抛物线y=ax2+k向上平移两个单位后得到的抛物线的函数表达式为y=-0.5x2-1，则a=____，k=____. (3)若抛物线y=ax2+k的最小值为4，且经过点(1,5)，则该抛物线的函数表达式是_________；将抛物线y=ax2+k向下平移3个单位，得到的新的抛物线的函数表达式是_________. y=-2x2-3 -0.5 -3 y=x2+4 y=x2+1 12.如图，抛物线y=x2-4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB=4，求P点的坐标. 解：抛物线y=x2-4，当y=0时，x=±2， 即A点的坐标为(-2,0)，B点的坐标为(2,0). ∴AB=4. ∵S△PAB=4，设P点纵坐标为b， ∴×4｜b｜=4. ∴｜b｜=2. 即b=±2. 当b=2时，x2-4=2，解得x= . 当b=-2时，x2-4=-2，解得x= . ∴P点坐标为(, 2)，(-, 2)，(, -2)，(-, -2). 课堂练习 $