专题3.6 利用导数求函数零点 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦利用导数研究函数零点核心考点，涵盖三次函数零点判断、零点个数分析、参数范围求解及零点转化四大题型，按知识梳理-题型突破-分层训练逻辑架构，通过考点精析、方法归纳、真题讲解等环节，帮助学生构建系统解题思路。 讲义以数学思维培养为核心，创新采用“题型分类+方法模板”策略，如三次函数零点判断中结合极值与极限趋势分析，引导学生抽象问题本质，设置跟踪训练与课后作业分层练习，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

专题3.6 利用导数研究函数的零点 知识梳理 1.三次函数零点个数判断通用方法：先求导得到两个极值点，计算两个极值的大小，结合三次函数两端的极限趋势判断零点数：若极大值且极小值，则函数有3个零点；若极大值或极小值，则函数有2个零点；若极大值或极小值，则函数有1个零点. 2.利用导数判断函数零点个数的方法： （1）函数的性质和零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （2）数形结合法：将函数的零点转化为方程解的个数，若能分离参数，将参数分离出来后，用表示参数的函数，作出该函数的图像，利用数形结合研究函数零点问题. （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 3.已知函数(方程)零点的个数求参数范围常见方法 ①函数在定义域上是单调函数，满足零点存在性定理． ②若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析． ③分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数． 【题型1 三次函数零点问题】 【例1】（25-26高二下·北京·期末）已知和分别是函数的极值点． (1)求，的值及函数的单调区间； (2)若恰有两个不同的零点，求的值． 【答案】(1)，，的单调递增区间为，，的单调递减区间为 (2)当且仅当或时，有两个不同的零点． 【难度】0.71 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）利用，求解即可； （2）利用零点存在定理讨论在区间，和上零点个数即可求解. 【详解】（1），，． ，分别为函数的极值点．且． 即 ，． ． ∴当，时，，单调递增； 当时，，单调递减． 则，分别为函数的极大极值点和极小值点． 的单调递增区间为，，的单调递减区间为． （2）当或时，至多有一个零点． 当，即．此时且， ∴在区间内存在唯一零点，此时恰有两个不同的零点． 当，即．此时且 ∴在区间内存在唯一零点，此时恰有两个不同的零点． 当且时，即．此时，． 在区间，，内分别存在唯一零点． 综上所述，当且仅当或有两个不同的零点． 跟踪训练 1.（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【分析】根据导函数正负得出函数单调性进而得出极值，再结合边界值应用实根的个数求解. 【详解】函数，， 当单调递增，当单调递减，当单调递增， 所以的极大值为，的极小值为，且，， 所以的最大值为2，的最小值为， 所以若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则或. 2.（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据极值求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】先排除的情况（此时为二次函数最多2个零点），再通过求导得到函数的极值点，结合三次函数的单调性与无穷处的极限趋势，将3个零点的条件转化为极值与0的大小关系，求解得到参数范围. 【详解】当时，为二次函数，最多2个零点，不符合题意，故. 对求导得，令，解得与. 分两类情况讨论： ① 当时： ∵ 时，，，故，单调递增. 时，，，故，单调递减. 时，，，故，单调递增. ∴ 的极大值为，极小值为. ∵ 时，，故；时，，故. 要使有3个零点，需极小值， 即，整理得，结合解得. ② 当时： 此时， ∵ 时，，（，，不等号变向得），故，单调递减. 时，，（，，不等号变向得），故，单调递增. 时，，，故，单调递减. ∴ 的极小值为，极大值为. ∵ 时，（，），故；时，，故. 要使有3个零点，需极小值， 即，整理得，结合解得. 综上，的取值范围是. 【题型2 判断函数零点的个数】 【例2】 已知函数f(x)=ax-ln x-2. (1)当a=1时,求函数f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)的零点个数. 解析：(1)当a=1时,f(x)=x-ln x-2(x>0),f'(x)=1-(x>0),令f'(x)>0,则x>1;令f'(x)<0,则0<x<1. 故函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞),单调递减区间为(0,1),当x=1时,函数取极小值f(1)=1-ln 1-2=-1,无极大值. (2)令f(x)=ax-ln x-2=0,因为x>0,所以a=. 记g(x)=,则有g'(x)=,令g'(x)>0,则0<x<;令g'(x)<0,则x>.故g(x)在0,内单调递增,在,+∞上单调递减,从而g(x)max=g=e. 当x→0时,<0,当x→+∞时,>0且趋近于0. 作出函数g(x)的图象(如图所示),因此 当a>e时,直线y=a与y=g(x)的图象没有交点; 当a=e或a≤0时,直线y=a与y=g(x)的图象有1个交点; 当0<a<e时,直线y=a与y=g(x)的图象有2个交点. 综上,当a>e时,函数f(x)没有零点;当a=e或a≤0时,函数f(x)有1个零点;当0<a<e时,函数f(x)有2个零点. 跟踪训练 1（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的单调区间，再由零点存在性定理判定零点个数即可. 【详解】, 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，所以当时，，无零点； 而，，且函数在上单调递增，故有一个零点. 故选：B 2.已知函数且在上的最大值为， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明 【答案】（1）（2）2个零点. 【分析】（1）由题意，可借助导数研究函数上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（2）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数． 【详解】(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),对于任意的x∈(0, )， 有sinx+xcosx>0,当a=0时,f(x)=− ，不合题意； 当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,从而f(x)在(0, )单调递减， 又函数f(x)=axsinx− (a∈R)在[0, ]上图象是连续不断的， 故函数在[0, ]上的最大值为f(0)，不合题意； 当a>0时,x∈(0, ),f′(x)>0,从而f(x)在(0, )单调递增， 又函数f(x)=axsinx− (a∈R)在[0, ]上图象是连续不断的， 故函数在[0, ]上上的最大值为f()=a−=，解得a=1， 综上所述,得； (2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。证明如下： 由(I)知,f(x)=xsinx−,从而有f(0)=− <0,f()=π−32>0， 又函数在[0, ]上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0, )内至少存在一个零点， 又由(I)知f(x)在(0, )单调递增,故函数f(x)在(0, )内仅有一个零点。 当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx， 由g()=1>0,g(π)=−π<0,且g(x)在[,π]上的图象是连续不断的， 故存在m∈,π),使得g(m)=0. 由g′(x)=2cosx−xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0， 从而g(x)在[,π]上单调递减。 当x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0， 从而f(x)在(,m)内单调递增 故当x∈(,m)时,f(x)>f(π2)=π−32>0， 从而(x)在(,m)内无零点； 当x∈(m,π)时,有g(x)<g(m)=0,即f′(x)<0， 从而f(x)在(,m)内单调递减。 又f(m)>0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的， 从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。 综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。 3.（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数. (1)当时，判断函数的单调性; (2)当时，判断函数的零点个数; 【答案】(1)在单调递增(2)个零点 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令，则， 令得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，即取得最小值为， 即对所有恒成立。 因此，在上单调递增. （2）当时，，显然，故是一个零点， 又，当时，，，故，在单调递增，因此时无零点； 当时，令，则，令得， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以的最小值为，又， 时，故在有两个零点， 因此在递增，递减，递增： 因为，，且， 又在单调递减，且，所以，而，所以， 所以，又时，， 所以在和各有一个零点， 综上，共有个零点. 【题型3 根据零点情况求参数取值范围】 【例3】（2025·江西萍乡·二模）已知函数． (1)证明：函数有且只有一个极值点； (2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值点、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求导得，利用函数单调性和零点存在性定理即可证明； （2）求导得，设，再对分和讨论即可. 【详解】(1)证明：因为，所以， 显然在上单调递增．且． 故根据零点存在性定理知在上有且仅有一个零点，且在上，，在上，，则在上单调递减，在上单调递增，即在上有且只有一个极值点. （2）设，则，记， 当时，恒成立，则函数在上单调递增， 此时在上至多存在一个零点，不合题意， 当时，函数的对称轴为，则函数在上单调递减， （i）当时，恒成立，即恒成立， 则函数在上单调递增，此时函数在上至多存在一个零点，不合题意； （ii）当时，恒成立，即恒成立，则函数在上单调递减， 此时函数在上至多存在一个零点，不合题意； （iii）当时，，，故存在，使得，即， 则函数在上单调递增，在上单调递减，又由于， 则，若要满足题设，只需，解得, 又因为，所以取值范围是. 综上所述，实数的取值范围为. 跟踪训练 1.（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2)的取值范围是 【难度】0.7 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究方程的根 【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，进而求得最小值； （2）先确定是方程的一个根，将问题转化为时仅有一个实根，构造函数分析其单调性和值域，确定参数范围即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，. 故的最小值为. （2）方程整理为，显然是方程的一个实根. 要使方程有两个不等实根，只需有且仅有一个非零实根，即时仅有一个实根. 令，则 . 令，则，解得. ①当时，，单调递减，此时， 且时，，时，，此时值域为， 因此当时，在有唯一解； ② 当时，，单调递减，时，，单调递增，所以在处取最小值， 当时，， 因此当时，在上有唯一解； 当时，在上无实数解； 当时，在上有2个解； 因此，满足条件. 综上，的取值范围是. 2.（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在和上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减，在上单调递增 (2) 【难度】0.31 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）对函数求导，通过讨论的范围，得到和，即可得到函数的单调区间； （2）根据（1）的单调区间，对进行分类讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到的取值范围. 【详解】（1）的定义域为，， ，则由得，． （ⅰ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． （ⅱ）当时，则，此时，所以在单调递减． （ⅲ）当时，则，当时，； 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增，在单调递减． 综上所述， 当时，在和上单调递减， 在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递减， 在上单调递增． （2）（ⅰ）若，则，由得． 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增． ∴当时，取得最小值，最小值为．   ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即． 当时，，，故， 所以，故在有一个零点．   设，，时，单调递增， 所以，即当时，， 故， 所以，因此在有一个零点．   （ⅱ）若，，由（1）知，至多有一个零点； （ⅲ）若，由（1）知，至多有一个零点； （ⅳ）若，，由（1）知，至多有一个零点； 综上，的取值范围为. 【题型4 转化为零点问题 】 【例4】（2026·北京房山·二模）已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.55 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】参变量分离，构造新函数求导判断单调性求值域转化成函数交点问题 【详解】若存在非零实数，使得， 则函数与有公共点， 即有根，即与有公共点， ，设，， 故在上单调递减，且， 所以在上，， 即，所以在上单调递减， 因为，时， 所以，即，所以. 当时，在上无解， 当时，在上无解， 所以 当时，令，则，0， 代入解析式得， ，代入解析式得， 因为，所以 又，两边除以，得，即 故当时可与时化为同一方程，同理可证， 综上， 跟踪训练 1.（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.32 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 2.（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】反函数的性质应用、利用导数研究函数的零点 【分析】将问题转化为与有交点，分离参数构造函数，结合导数研究函数的单调性以及最值即可求解. 【详解】关于的对称函数为， 则函数和的图象上存在点关于直线对称时，与有交点， 则有解，即有解， 令，则时有，时，，单调递增， 时，，单调递减， 则，且，，，， 所以，则． 课后作业： 1.函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由零点存在定理结合函数单调性即可判断. 【详解】因为函数定义域为与均在上单调递增， 所以在上单调递增且连续， 又，即， 所以由零点存在定理可得的零点所在区间为. 故选：B. 2.（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】先求导，根据导函数确定函数的单调性即可求解. 【详解】已知，函数，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 所以在处取到最小值， 因为函数在上恰有一个零点，则必有，解得. 3.（25-26高二下·湖北随州·期末）已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】利用零点与方程的关系，通过分离参变量构造函数，求导研究单调性和取值规律，最终通过数形结合可得参数范围. 【详解】函数在上有两个不同零点， 等价于方程在有两个不同实根， 设，问题转化为求与的交点个数， 对求导，化简得： ， 因为，所以， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以 在处取最小值： ， ​ 且：时，；时，， 则要使与有两个交点，需满足，即. 4.（2025·甘肃·模拟预测）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用导数法研究函数的单调性，再结合特殊点及一次函数的性质画出函数的大致图象，根据图象列不等式组求解即可. 【详解】设， 则不等式即有且只有两个整数解. 因为，且， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减. 当时，，当时，，当时，， 当无限趋向于负无穷大时，无限趋向于负无穷大， 当无限趋向于正无穷大时，无限趋向于0. 因为函数在上单调递增，，，， 则， 函数的大致图象如图 由图可知，要使有且只有两个整数解，这两个整数解必然是0，1， 所以解得.又，所以. 故选：C. 5.（多选 26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数恰有一个零点，且，则的取值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 【答案】CD 【难度】0.6 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【详解】对函数求导， 当时，，所以在上单调递增，由于，所以在区间必有一个零点，符合题意； 当时，令，即， 当，，则在、上递增， 当，，则在上递减， 故要使恰有一个负零点，只需满足极小值， 即， 令，故，解得，所以． 综上. 6.（多选 2026·安徽芜湖·二模）关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有两个根 B．当方程有两个根时， C．当时，方程有三个根 D．当方程在区间上有三个根时， 【答案】ACD 【难度】0.55 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究方程的根 【分析】对于A，解方程即可判断；对于BCD，结合图象及导数的几何意义求解判断即可. 【详解】对于A，当时，方程为，则，即或，故A正确； 对于B，由于函数为过定点的直线， 当时，设，如图， 设与相切于点， 当时，，则，则，即， 则时，函数与有两个交点，则方程有两个根，故B错误； 对于C，由B知，当时，函数与有3个交点， 则方程有三个根，故C正确； 对于D，要使方程在区间上有三个根，则， 且，即，则，故D正确. 7.（2026·山东德州·三模）设，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为__________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、计算古典概型问题的概率 【分析】根据给定条件，利用导数确定关系，再利用等可能事件的概率求解. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在处取得极大值，在处取得极小值， 由，得，因此函数恰有三个零点，当且仅当，即， 由，，得有序实数对共有对， 当时，；当时，；当时，， 因此满足函数恰有三个零点的有序实数对共有对， 所以函数恰有三个零点的概率为. 8.已知函数有两个零点，则的取值范围是 【答案】 【分析】因为，所以令，题意转化成有两个根，分和两种情况，当时，可转化成和有两个交点，通过导数画出的图象即可求解 【详解】， 令，显然该函数单调递增，，则有两个根， 当时，等式为，不符合题意； 故，等式转化为有两个根，即和有两个交点， 设，求导得， 故当时，，故在上单调递减； 时，，单调递增； 且当时，，， 故如图所示,由图可得，的取值范围是 9.（2025·云南·三模）函数在处的切线垂直于y轴． (1)求实数a； (2)若方程有两根，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究方程的根 【分析】（1）求导，结合题意分析可知，代入运算求解即可； （2）根据导数分析的单调性和最值，进而可得的图象，分析可知与有2个交点，结合图象即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， 因为在处的切线垂直于y轴， 则，解得. （2）由（1）可知，定义域是，且， 令，解得， 当x变化时，，的变化情况如下： x 0 单调递减 单调递增 令，解得，当时，；当时，． 所以的图象经过特殊点，，， 且当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于， 所以的大致图象如图； 若方程有两根，即与有2个交点， 由图象可知：，所以b的取值范围为. 10.（2026·湖南邵阳·三模）已知函数和． (1)设函数，讨论的单调性； (2)若函数与的图象有三条公切线，求实数的取值范围； 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）解：由题意得，函数，其定义域为， 且， 当时，恒成立，所以在上为减函数； 当时，令，可得，令，可得， 因为定义域为，所以在上单调递增，在上单调递减． （2）解：设公切线与相切于点，与相切于点， 由得公切线的方程为，整理得① 由得公切线的方程为， 整理得② 由①②得，整理得 设，则， 所以，得或， 所以在和上单调递增，在上单调递减． 又当时，，当时，且， 故要使得有三个不同的根，需， 综上可得，实数的取值范围为． 11.（25-26高二下·全国·期末）已知函数． (1)若为增函数，求实数a的取值范围； (2)证明：函数有且仅有一个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.43 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）对函数求导，问题化为恒成立，应用导函数求右侧的最小值，即可得； （2）问题化为证明 在上有且仅有一个零点，应用导数研究其零点即可证. 【详解】（1）由题设 ， 若为增函数，则，， 即对任意恒成立，即恒成立． 令，， 令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以，即的取值范围是； （2）令，可得，令 ， 所以， 设 且，则， 当时，当时， 所以在区间单调递减，在区间单调递增， 所以， 所以，在上单调递增， 取，且，则， 取，且，则， 所以在区间存在唯一零点， 所以有且仅有一个零点. 12.（2025·新疆·三模）已知函数，且． (1)当（为自然对数的底数）时，求函数在处的切线方程； (2)函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)且． 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，求出切线的斜率和切点坐标，即可得出答案； （2）将零点问题转换成方程解的个数问题，再转成图像的交点个数问题. 【详解】（1）因为，所以，， ，， 所以函数在处的切线方程为． （2） 因为函数在上有且仅有两个零点， 所以方程有且仅有两个不同的实数根，即方程有且仅有两个不同的实数根． 令，则方程有且仅有两个不同的实数根， ∵， 所以在区间上，，单调递增， 在区间上，，单调递减且， ∴， ∵与 有两个交点， ∴，结合图像解得且． 13.（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 【答案】(1)当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． (2)有2个零点． 【难度】0.51 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （2）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【详解】（1），令，解得， 因为，所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则，所以， 因为，且，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点． 14.（2026·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. (2) 【难度】0.43 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数（含参）的单调区间、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数与函数的单调性的关系，分和两种情况讨论，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成与有两个交点，先求出的单调区间，进而求作出的图象，数形结合，即可求解. 【详解】（1）易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，得到，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）令，得到，即， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又时，，时，，且，的图象如图所示， 因为有两个零点，则与有两个交点， 所以，即， 所以的取值范围为. 15.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，． (1)讨论函数的零点个数； (2)证明：当，时，． 参考数据： 【答案】(1)①当时，方程无实根，无零点；　　 ②当时，方程有唯一实根，有1个零点；　　 ③当时，方程有两个不同实根，有2个零点；　　 ④当时，方程有唯一实根，有1个零点． (2)证明见解析 【难度】0.31 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）讨论的单调性，再结合最低点与0的关系分析零点个数即可. （2）先证明，再利用 得到，进而证明. 【详解】（1）令，则函数的零点等价于方程的实数根．    令，得． 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增．         又时，且小于0；时，；时，．　　 ①当时，方程无实根，无零点；　　 ②当时，方程有唯一实根，有1个零点；　　 ③当时，方程有两个不同实根，有2个零点；　　 ④当时，方程有唯一实根，有1个零点． （2）当，时，即证： 由（1） ，得， 所以只需证：　　 设 ①当时， 　　 由（1）知， 此时 　　 ②当时， 令，则，在上单调递增， 故 　　 ，所以在上单调递增．　　 所以 . 综上，当，时，． 16.（2026·广东深圳·模拟预测）已知. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若有大于零的极值点，比较与的大小； (3)若有且只有唯一整数，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)． 【难度】0.31 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由，再参变分离得，令，再利用导数分析函数单调性得到图象，从而确定的取值范围； （2）根据导数确定函数的极值点，利用隐零点可得，令，再利用导数确定的最值即可； （3）易知时不等式不成立；当时，，当时，，根据图象，结合有且只有唯一整数，使，确定的取值范围． 【详解】（1）由 可得： ， 所以不是的零点，则令 ， 分离参变量可得，构造函数，则， 当时， ，则在上单调递增， 当或时， ， 则在，上单调递减， 当时， ，则在上单调递增， 根据单调性和极值点作出函数图象： 所以要满足方程有两个解，则 ； （2）求导得：，设为的导数， 则 ， 当时， ，所以在上单调递增， 要使得有大于零的极值点，则方程 在上有解， 即当， 在上必存在唯一正根， 满足 ，且为函数的极小值， 则 令 ，求导得： ， 当时， ， 则 在上单调递增， 当时， ， 则 在上单调递减， 所以 ，即 . （3），当时，不等式显然不成立； 当时，由得，，根据图象： 因为，且， 所以要满足有且只有唯一整数，使，即， 则，此时存在唯一整数； 当时，由得，，根据图象： 因为，， 所以要满足有且只有唯一整数，使，即， 则，此时存在唯一整数； 综上所述，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 利用导数研究函数的零点 知识梳理 1.三次函数零点个数判断通用方法：先求导得到两个极值点，计算两个极值的大小，结合三次函数两端的极限趋势判断零点数：若极大值且极小值，则函数有3个零点；若极大值或极小值，则函数有2个零点；若极大值或极小值，则函数有1个零点. 2.利用导数判断函数零点个数的方法： （1）函数的性质和零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （2）数形结合法：将函数的零点转化为方程解的个数，若能分离参数，将参数分离出来后，用表示参数的函数，作出该函数的图像，利用数形结合研究函数零点问题. （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 3.已知函数(方程)零点的个数求参数范围常见方法 ①函数在定义域上是单调函数，满足零点存在性定理． ②若函数不是严格的单调函数，则求最小值或最大值结合图象分析． ③分离参数后，数形结合，讨论参数所在直线与函数图象交点的个数． 【题型1 三次函数零点问题】 【例1】（25-26高二下·北京·期末）已知和分别是函数的极值点． (1)求，的值及函数的单调区间；(2)若恰有两个不同的零点，求的值． 跟踪训练 1.（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数.若关于的方程在区间内恰有两个不同实根，则（    ） A． B．0 C．2 D．或2 2.（25-26高二下·山东潍坊·期末）已知函数有3个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2 判断函数零点的个数】 【例2】 已知函数f(x)=ax-ln x-2. (1)当a=1时,求函数f(x)的极值; (2)讨论函数f(x)的零点个数. 跟踪训练 1（2025·安徽·模拟预测）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.已知函数且在上的最大值为， （1）求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明 3.（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数. (1)当时，判断函数的单调性; (2)当时，判断函数的零点个数; 【题型3 根据零点情况求参数取值范围】 【例3】（2025·江西萍乡·二模）已知函数． (1)证明：函数有且只有一个极值点； (2)若关于的方程在区间上恰有两个实数根，求实数的取值范围． 跟踪训练 1.（2026·江苏南通·模拟预测）已知． (1)求的最小值； (2)若方程有两个不等的实根，求的取值范围． 2.（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【题型4 转化为零点问题 】 【例4】（2026·北京房山·二模）已知函数 若存在非零实数，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 2.（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知函数和的图象上存在点关于直线对称，则实数a的取值范围为________． 课后作业： 1.函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 2.（2026·山西忻州·模拟预测）设，若函数在上恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·湖北随州·期末）已知函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.（2025·甘肃·模拟预测）若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5.（多选 26-27高三·全国·一轮复习）（多选）已知函数恰有一个零点，且，则的取值可能为（    ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 6.（多选 2026·安徽芜湖·二模）关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有两个根 B．当方程有两个根时， C．当时，方程有三个根 D．当方程在区间上有三个根时， 7.（2026·山东德州·三模）设，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为__________． 8.已知函数有两个零点，则的取值范围是 9.（2025·云南·三模）函数在处的切线垂直于y轴． (1)求实数a；(2)若方程有两根，求b的取值范围． 10.（2026·湖南邵阳·三模）已知函数和． (1)设函数，讨论的单调性； (2)若函数与的图象有三条公切线，求实数的取值范围； 11.（25-26高二下·全国·期末）已知函数． (1)若为增函数，求实数a的取值范围； (2)证明：函数有且仅有一个零点． 12.（2025·新疆·三模）已知函数，且． (1)当（为自然对数的底数）时，求函数在处的切线方程； (2)函数在上有且仅有两个零点，求a的取值范围． 13.（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 14.（2026·陕西咸阳·三模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求的取值范围. 15.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数，． (1)讨论函数的零点个数； (2)证明：当，时，．参考数据： 16.（2026·广东深圳·模拟预测）已知. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若有大于零的极值点，比较与的大小； (3)若有且只有唯一整数，使，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $