重难点培优06 利用导数研究函数的零点（培优讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

该高中数学高考复习讲义聚焦“利用导数研究函数的零点”核心考点，以函数零点定义、判定定理为基础，通过数形结合、函数性质、构造函数、隐零点、新定义五大策略构建知识体系，设置知识精讲、题型深研（含例题与变式）、分层训练（巩固过关与创新提升）教学环节，帮助学生系统突破难点。 资料特色在于融合数学思维与数学语言，如隐零点问题采用“虚设变量-运算代换-数值估算”策略，培养学生逻辑推理与创新意识。分层训练设计双阶习题，配合真题变式演练，确保学生高效掌握解题通法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

重难点培优06 利用导数研究函数的零点内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型一 数形结合法研究函数的零点 题型二 函数性质法研究函数的零点 题型三 构造函数研究函数的零点 题型四 隐零点问题 题型五 与零点有关的新定义问题 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 知识点2函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 知识点3 利用导数研究函数的零点的策略 1.参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数范围. 2.利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件. 3.涉及函数的零点（方程的根）问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围. 知识点4 隐零点问题 导数的零点很多时候无法直接求解或者猜测出来，我们称之为“隐零点”（即能确定零点存但无法用显性数字表达），这类问题对学生的综合能力要求比较高，是考查的难点解决. “隐零点”问题的基本思路如下: （1）形式上虚设变量为时，设零点为； （2）运算上代换，对于含有隐零点的恒等式，根据需要通过移项将含有的一项或几项移在等号一边代换到另外式子中； （3）数值上估算，估算零点所在的区间； （4）策略上等价转化，运用充要条件等价转化或恒等变形； （5）方法上分离参数，零点用数学式子表示出来； （6）技巧上反客为主，零点作为主变量，其他变量作为参变量. 题型深研·通法变式提能力 题型一 数形结合法研究函数的零点 【例1】已知函数f（x）＝ex－（a∈R），讨论函数f（x）的零点个数. 【解】第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x=a在该区间上的交点问题； 由f（x）＝0，得xex＝a（x≠0）. 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 设h（x）＝xex（x≠0），得h'（x）＝（x＋1）ex， 令h'（x）＞0得x＞－1且x≠0，令h'（x）＜0，得x＜－1， 所以h（x）在（－1，0）和（0，＋∞）上单调递增，在（－∞，－1）上单调递减， 所以h（x）min＝h（－1）＝－. 又x＜0时，h（x）＜0，x＞0时，h（x）＞0， 第三步：结合图象求解. 据此可画出h（x）的大致图象如图， 所以①当a＜－或a＝0时，f（x）无零点； ②当a＝－或a＞0时，f（x）有一个零点； ③当－＜a＜0时，f（x）有两个零点. 【变式1】（2026·南昌模拟节选）已知函数f（x）＝x2＋bex（b∈R），若函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围. 【解】函数y＝f（x）有3个零点，即关于x的方程f（x）＝0有3个根， 也即关于x的方程b＝－有3个根. 令g（x）＝－，则直线y＝b与g（x）＝－的图象有3个交点. g'（x）＝， 由g'（x）＜0解得0＜x＜2； 由g'（x）＞0解得x＜0或x＞2， 所以g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增. g（0）＝0，g（2）＝－， 当x＞0时，g（x）＜0； 当x→＋∞时，g（x）→0； 当x→－∞时，g（x）→－∞， 作出g（x）的大致图象如图所示，作出直线y＝b. 由图可知，若直线y＝b与g（x）的图象有3个交点，则－＜b＜0， 即b的取值范围为（－，0）. 【变式2】(2026·江西南昌市模拟节选)已知函数f(x)＝(x－a)2＋bex(a，b∈R).若当a＝0时，函数y＝f(x)有3个零点，求b的取值范围. 【解】　函数y＝f(x)有3个零点，即关于x的方程f(x)＝0有3个根， 也即关于x的方程b＝－有3个根. 令g(x)＝－，则直线y＝b与g(x)＝－的图象有3个交点. g′(x)＝，由g′(x)<0解得0<x<2；由g′(x)>0解得x<0或x>2， 所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. g(0)＝0，g(2)＝－， 当x>0时，g(x)<0；当x→＋∞时，g(x)→0；当x→－∞时，g(x)→－∞， 作出g(x)的大致图象如图所示，作出直线y＝b. 由图可知，若直线y＝b与g(x)的图象有3个交点，则－<b<0， 即b的取值范围是. 【变式3】设函数f(x)＝ln x＋，m∈R，试讨论函数g(x)＝f′(x)－的零点个数. 【解】由题意知g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0). 设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1). 当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减. 所以x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点， 所以x＝1也是φ(x)的最大值点， 所以φ(x)的最大值为φ(1)＝.结合y＝φ(x)的图象(如图)可知： ①当m＞时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点. 综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点. 题型二 函数性质法研究函数的零点 【例2】（2024年高考全国甲卷T16）曲线与在上有两个不同的交点，求的取值范围 【解析】第1步：分离参数（a＝g（x））后，将原问题转化为y＝g（x）的值域（最值）问题或转化为直线y＝a与y＝g（x）的图象的交点个数问题（优选分离、次选分类）求解 令，即， 第2步：利用零点存在定理构建不等式求解 令 则， 令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 第3步：转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解. 因为曲线与在上有两个不同的交点，所以等价于与有两个交点，所以. 【变式1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若只有一个零点，求的取值范围． 【解】（1）函数的定义域为，， ①若，，则在单调递减； ②若，时，，单调递减，时，，单调递增. 综上：时，在上单调递减；时，在上单调递减，在上单调递增. （2）若，，. 结合函数的单调性可知，有唯一零点. 若，因为函数在上单调递减，在上单调递减，所以要使得函数有唯一零点，只需，解得或. 综上：或或. 【变式2】已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. ① 设函数，证明：在区间上单调递减； ② 试比较与的大小，并证明你的结论． 【解】（1）由题得. 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立. 又因为，时， 所以时， 所以存唯一，使得，即在上存在唯一零点. （2）【解】① 由（1）知，则，. ， 则 . ， ， 即在上单调递减. ② .证明如下： 由①知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，， 且对任意，所以. 【变式3】已知，设(x1>x2)是的两个零点.求证： （1）； （2）. 【证明】（1）由题意，不妨设， 则 设， 则g(x)在(0,+∞)上递增且g(1)=0，所以x∈(0,1)时，g(x)<0, 即时，g(x)>0，即f(x)>0， 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. ，且，， 所以 . 设，， 所以函数单调递增，所以， 所以，即. 又函数在上单调递减，所以，所以. （2）注意到， 所以，要证， 只需，即只需. 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，所以， 所以要证，只需，即， 不妨设， 则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递增， 因为，所以，即， 又因为，所以. 综上所述，命题得证. 题型三 构造函数研究函数的零点 【例3】 (2021·全国甲卷（理）T21节选)已知a>0且a≠1，函数f(x)=(x>0).若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围. 【解】第1步：将曲线交点个数问题转化为函数零点问题 曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点, 可转化为方程=1(x>0)有两个不同的解, 即方程=有两个不同的解. 第2步：构造函数，利用函数的单调性确定函数最值 设g(x)=(x>0)，则g′(x)=(x>0), 令g′(x)==0,得x=e, 当0<x<e时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增; 当x>e时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减，故g(x)max=g(e)=, 第3步：构建不等式求解参数的取值范围 当x>e时,g(x)∈, 又g(1)=0,所以0<<，所以a>1且a≠e, 故a的取值范围为(1,e)∪(e,+∞). 【变式1】已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2ln x，若方程f（x）＝g（x）在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围. 【解】∵方程f（x）＝g（x）在[1，e]上有两个不相等的解， 即在[1，e]上有两个不同的解， ∴y＝a与，x∈[1，e]有两个不同的交点， ， 令φ'（x）＝0，得， ∴当x∈[1，）时，φ'（x）＞0，当x∈（，e]时，φ'（x）＜0， ∴φ（x）在[1，）上单调递增，在（，e]上单调递减， ∴φ（x）max＝φ（）＝， 又φ（e）＝，φ（1）＝0， ∴要使y＝a与y＝φ（x）有两个不同的交点，则， 故a的取值范围是 【变式2】已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0).若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【解】曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点， 可转化为方程＝1(x＞0)有两个不同的解， 即方程＝有两个不同的解． 设g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝(x＞0)， 令g′(x)＝＝0，得x＝e， 当0＜x＜e时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增， 当x＞e时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减， 故g(x)max＝g(e)＝， 且当x＞1时，g(x)∈，又g(1)＝0， 所以0＜＜，所以a＞1且a≠e， 故a的取值范围为(1，e)∪(e，＋∞). 【变式3】(2026·福建厦门市模拟节选)设函数f(x)＝l n x＋x，若方程f(x)＝mx在区间[1，e2]上有唯一实数解，求实数m的取值范围． 【解】由f(x)＝m x得l n x＋x＝m x，又x>0，所以m＝1＋， 要使方程f(x)＝m x在区间[1，e2]上有唯一实数解，只需m＝1＋在区间[1，e2]上有唯一实数解. 令g(x)＝1＋，x∈[1，e2]，则g′(x)＝，由g′(x)>0，得1≤x<e；由g′(x)<0，得e<x≤e2， 所以g(x)在区间[1，e)上单调递增，在区间(e，e2]上单调递减． 又g(1)＝1，g(e2)＝1＋＝1＋，g(e)＝1＋， 则函数g(x)＝1＋，x∈[1，e2]的大致图象如图所示． 由图象可知，m＝1＋或1≤m<1＋.故m的取值范围是∪. 题型四 隐零点问题 【例4】（2026·山东聊城·一模）已知函数，，. (1)求的单调递增区间； (2)求的最小值； (3)设，讨论函数的零点个数. 【解】（1），令，可得， 故的单调递增区间为； （2） 第一步：分析题干，转化问题，找零点． ， 令， 则， 由，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 第二步：设零点，得出零点满足的关系式． 故存在，使，即， 即在上单调递减，在上单调递增， 故， 第三步：根据零点所满足的等量关系，“设而不求”，转化为不含参数的函数的最值问题 由，则， 【会代换】整体代换要向着解决问题的方向去靠，如本题两边同除，形式上接近，便易于求解了 令，则有， ，当时，恒成立， 故在上单调递增， 故，即， 则， 即的最小值为； （3）令， 即有， 即函数的零点个数为的实数根的个数， 由（2）知，在上单调递减，在上单调递增，且， 又当时，，当时，， 故当，即时，有唯一实数根， 当，即时，有两实数根， 当，即时，无实数根， 即当时，函数有一个零点， 当时，函数有两个零点， 当时，函数无零点. 【变式1】（2026·河北秦皇岛·三模）设函数． （1）求的图象在处的切线方程； （2）记，若，试讨论在上的零点个数． 【解】（1），所以，又， 所以的图象在处的切线方程为． （2）由已知得，所以， 令，则． 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减． 当时，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． 因为，故函数在上无零点， 又因为，由零点存在定理可得在上有且只有一个零点． 综上所述，当时，函数在上的零点个数为1． 【变式2】（2026·吉林白城二模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：函数的图象在x轴上方. 【解】（1）， 令则. 当时，，∴函数在上单调递增； 当时，，∴函数在上单调递减. 即的单调递增区间是，单调递减区间是； （2）， ，易知单调递增， 又，， ∴在上存在一个， 使得：，即：，且， 当，有单调递减； 当，有单调递增. ∴， ∴， ∴函数的图象在x轴上方. 【变式3】（2026·山东枣庄三模）已知函数 （1）若求的极值； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 【解】（1）当， 令，解得， 则当单调递减，当单调递增， 故的极小值为，无极大值； （2）由题意可得 令则 当时，则时，，不合题意； 当时，设， ，， 所以存在时，， 因为，所以在上单调递增， 所以当，；当，， 则当，；当，， 则在单调递减，在单调递增， 所以 因为，所以，即 故解得 综上所述，实数a的取值范围 题型五 与零点有关的新定义问题 【例5】（2026·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【解】（1）若，则， 当时，， 故不是 “导可控函数” . （2）依题意，， 所以，在上为减函数，所以至多一个零点； ，， 当时，， 当时，， 所以存在零点，综上存在1个零点； （3）因为，由导数的定义得 ， 即， 不妨设 若，则 若， 则 . 命题得证. 【变式1】定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 【解】（1）与是具有C关系，理由如下： 根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得， 因为，，， 所以， 令，即，解得， 所以与具有C关系. （2）令， 因为，，所以， 令，则，故， 因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正， 又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立， 当时，显然成立； 当时，在上恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，所以， 综上：，即. （3）因为和， 令，则， 因为与在上具有C关系，所以在上存在零点， 因为， 当且时，因为，所以， 所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，显然当时，， 当时，因为在上单调递增，且， 故在上存在唯一零点，设为，则， 所以当；当；又当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点， 因为，所以， 又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上具有C关系， 综上：，即. 【变式2】设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． (1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； (2)已知，．证明：点是的0度点； (3)求函数的全体2度点构成的集合． 【解】（1）设，则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当，即． 故原点是函数的一个1度点， 该切线过点，故， 令，则，令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，也时最小值，且， 故无解，点不是函数的一个1度点 （2）设，， 则曲线在点处的切线方程为． 则该切线过点当且仅当（*）． 设，则当时，，故在区间上严格增． 因此当时，，（*）恒不成立，即点是的一个0度点． （3）， 对任意，曲线在点处的切线方程为． 故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解． 设． 则点为函数的一个2度点当且仅当两个不同的零点． 若，则在上严格增，只有一个实数解，不合要求． 若，因为， 由或时得严格增；而当时，得严格减． 故在时取得极大值，在时取得极小值． 又因为，， 所以当时，由零点存在定理，在、、上各有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，不合要求； 当时，仅上有一个零点，也不合要求． 故两个不同的零点当且仅当或． 若，同理可得两个不同的零点当且仅当或． 综上，的全体2度点构成的集合为或． 【变式3】对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和t，使得成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”． (1)试分别判断函数，和，是不是“卓然”函数？并说明理由； (2)若是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围； (3)证明：是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围． 【解】（1）函数是“卓然”函数，因为， 当时，则有，，满足； 因为，， 当时，，而，所以，不可能成立， 即不存在实数，满足成立， 所以，不是“卓然”函数； （2）由题意可得，， 所以有解，即有解． 对于函数： 因为，， 所以；， 令，则，解得：， 所以严格增区间：， 严格减区间：，值域：． 所以实数的取值范围是． （3），，设， ， 当时，恒成立， 此时不存在使得成立，不合题意； 当时，在上严格减，所以在上严格增， 因为， 所以存在使，， 当时，严格减， 当时，严格增， 所以， 由，所以， 此时不存在使得成立，不合题意； 当时，若，则，从而， 所以在上严格增， 当时，设，则， 设，当时，在上严格增， 且，所以，从而， 所以在上严格增，所以， 从而，所以在上严格增， 又， 由零点存在性定理，存在使得， 即成立，符合题意； 当时，，显然存在零点符合题意； 当时，在上严格减， 且，所以，从而， 所以在上严格减， 又时，， 存在，使得，即， 当时，严格增， 当时，严格减， 又时，， 由零点存在性定理，存在使得， 即成立，符合题意； 综上所述，为“卓然”函数，该函数“卓然”取值范围是 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)设，讨论函数在上的单调性； (2)判断函数在上的零点个数. 【解】（1）因为，则， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 又因为，所以当时，，所以， 所以在上单调递减. （2）函数在上有唯一零点. 因为， 则， 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，， 所以，使， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以，使， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以，使， 所以在上有唯一零点. 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 【解】（1）当时， ， 当时， ， ， 切线斜率 ，又. 故可得切线方程为. （2）时，显然有且仅有一个零点，矛盾， 时，，考虑， 此时， 当时，若，则，单调递增，且 ， 由零点存在定理知其在内有且仅有一个零点． 故时其只有一个零点． 注意到时，，单调递减：时，，单调递增， 由唯一零点知 ，得． 当时，若，则，单调递增，且， ， 由零点存在定理知其在区间内有且仅有一个零点． 故时其只有一个零点， 注意到时，，单调递增； 时，，单调递减， 由唯一零点知 ，得． 综上，的取值集合是． 3．（2026·宁夏银川·三模）已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【解】（1）因为， 所以，，即切点为，又， 所以切线方程为， 当时，，当时，， 切线与坐标轴围成的三角形面积为. （2）因为，函数有两个零点， 相当于曲线与直线有两个交点， 又， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，， 且当时，，当时，， 所以的图象如下所示： 由图可得实数的取值范围为． 4．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 【解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 函数有两个零点，当且仅当， 则，解得，所以实数a的取值范围是. 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 【解】（1）解：由题意，，则， . ∴曲线在点处的切线方程为， 即； （2）解：由题意，. 在上存在两个零点， ∴存在，使， 即. 令函数，则直线与函数的图象有两个交点. ， 由，得. 当时，；当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增，则. ∵当时，；当时，， ∴当时，直线与函数的图象有两个不同交点， ∴实数的取值范围是． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围． 【解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图， 观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为． 7．（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 【解】（1），令，解得， 因为，所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则，所以， 因为，且，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点． 8．（2026·河北邢台·二模）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若直线l是曲线的切线，且直线l与曲线仅有一个交点，求实数a的值. 【解】（1）函数的定义域为; 当时，，得； 令，得或，则： 0 1 0 0 当时，；当时，； 在和上单调递增，在上单调递减. （2），； 直线是曲线的切线，且直线与曲线仅有一个交点，直线与曲线的交点是切点，设切点的坐标为； ，； ，得； 令，， 在上单调递增，即在存在唯一的实数根，使得； 又，； ，解得； 实数a的值为0. 9．（2026·河北张家口·二模）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若时，函数有3个零点，求实数的取值范围. 【解】（1）因为在上为增函数， 所以在上恒成立. 若，则在上恒成立，满足题意； 若，由对恒成立，知， 则成立，即，解得. 综上所述，实数的取值范围是. （2）若时，由，得， 设，， 则， 由得，由得或， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为与， 又，当时，，时，， 作出函数的图象，如下： 要使函数有3个零点，则与的图象有3个交点， 即，所以的取值范围是. 10．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：在上存在唯一零点； (2)证明： 在上恒成立的充要条件是． 【解】(1)当时，， ∵， ∴在R上单调递减， 又∵ ， ∴在R上有唯一零点 ． (2)必要性：因为 时， ， 所以，即，所以， 充分性：当时，， 令，则， ， ①当时，， 当且仅当时， ， 所以在上单调递增， 故，所以 ， ②当时，记，则， 因为，，， 又因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在 上存在、，使，，且，， 所以当或时， ；当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 又因为，，， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，而，，所以， 所以 ，所以 . 11．（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)若在上为凹函数，求实数的取值范围； (2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 【解】（1）， 则， 依题意知，对任意的恒成立，则恒成立， 令， 则， 故在上单调递增，故， 则实数的取值范围为； （2）依题意得，， 若，当时，， 所以在上无零点，舍去； 若，则，令， 则，则在上单调递减，且， ①若，即，此时， 则存在，使得，即， 故在上单调递增，在上单调递减，所以， 当时，， 令，解得， 因为，且， 所以存在唯一的，使得，满足条件； ②若，即，此时在上单调递减， 又，所以，不合题意，舍去， 综上所述，实数的取值范围为. 创新提升 12．（2026·上海·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【解】（1）当时，，定义域为. 求导：. 令，解得（舍去，因）. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 极大值为，无极小值. （2），， ①当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 此图像恒在轴下方，没有零点，故不符合题意， ②当时，因为，所以恒成立， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 若即，其最大值小于0，无零点，不符合题意， 若即，其最大值为，此时有且仅有这一个零点，符合题意， 若即，其最大值大于0， 由于时，时， 由零点存在性定理，函数在和上各有一个零点，共两个零点，不合题意. ③当时，令，解得， ，时，因为二次项系数，所以， ③-①当即时，此时，在上单调递增， 且当时，时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，符合题意， ③-②当即， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极大值点，，说明在恒负，没有零点， 在上，单调递增，且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点，共有1个零点，符合题意， ③-③当即时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此是极小值点，是极大值点，， 且时， 由零点存在性定理，函数在上仅有1个零点， ， 因为，所以，从而，且， 所以极大值，则在上没有零点， 则此时仅有1个零点，符合题意. 即当时符合题意， 综上，的取值范围是. 13．（2026·湖北随州·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：； (3)设函数，若有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 【解】（1）当时，， 由题意得，． 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在上单调递增，在上单调递减． （2）若，那么函数． 要证明，即证明，即． 设，由，可得，待证不等式转化为． 左边：设，则， 所以在上单调递增，故，即； 右边：设，则， 因此函数在上单调递减，故，即． 综上，当时，. （3）由题意知. ，是有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根． 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在上单调递增，在 上单调递减，则， 且当时，，当时，． 则的大致图像如图，可知若曲线与直线有两个交点， 交点的横坐标分别为，，则，且． 先考虑的情形： 此时，则，所以， 所以，此时． 当时，，，从而，不符合条件； 当时，，，从而，符合条件， 所以要使，必须，所以． 故的取值范围是． 14．（2026·广东江门·一模）帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足.其中.已知在处的阶帕德近似为. (1)求的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围； (3)已知是函数的三个不同的零点，且，求实数的取值范围，并证明. 【解】（1）， ； 所以； 所以，， 由，可得 . （2）由（1）得：. 令， 由于，所以若恒成立， 则在附近单调递增，即， 又， 所以，则 . 下面证明充分性，即当 时，不等式恒成立， 由于当时，， 所以若，则恒成立， 若 时，， 令， ，所以， 则在上单调递增，又， 所以恒成立，即在上成立， 则有成立，充分性得证， 所以当 时，不等式恒成立. （3）， 设，则 令， 当 时，，则，故在上单调递增，不合题意； 当时，由，可得 ， 此时在上恒成立，故，则在上单调递增，不合题意； 当 时，即 时，有两个零点， 其中， 令， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 由，所以， 又， 即在区间内存在一个零点，在区间上存在一个零点， 又，所以当 时，有三个不同的零点， 15．（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 【解】（1）函数，与“具有性质”，理由略 （2）)证明：由函数在上有两个零点，，得， 又函数与“具有性质”， 则， 即，即， 令，，即. 记，即，又， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 要证，即证，不妨设， 即证，只需证，即证. 设，即， 所以， 所以函数在上单调递减，且， 又，则，即，则得证， 故. (3)证明：不妨设，所以，所以， 所以，令，， 所以，所以在上单调递减， 又，所以，即， 所以； 当时，， 令，，所以， 令，所以， 令，解得， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 即，所以在上单调递增， 又，所以，即， 所以， 综上，，即， 即函数与“具有性质”. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优06 利用导数研究函数的零点内容导航 知识精讲·重难聚焦讲技巧 题型深研·通法变式提能力 题型一 数形结合法研究函数的零点 题型二 函数性质法研究函数的零点 题型三 构造函数研究函数的零点 题型四 隐零点问题 题型五 与零点有关的新定义问题 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 创新提升 知识精讲·重难聚焦讲技巧 知识点1函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 知识点2函数零点的判定 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 知识点3 利用导数研究函数的零点的策略 1.参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用自变量x表示不含参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数范围. 2.利用函数性质研究函数零点，主要是根据函数的单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件. 3.涉及函数的零点（方程的根）问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围. 知识点4 隐零点问题 导数的零点很多时候无法直接求解或者猜测出来，我们称之为“隐零点”（即能确定零点存但无法用显性数字表达），这类问题对学生的综合能力要求比较高，是考查的难点解决. “隐零点”问题的基本思路如下: （1）形式上虚设变量为时，设零点为； （2）运算上代换，对于含有隐零点的恒等式，根据需要通过移项将含有的一项或几项移在等号一边代换到另外式子中； （3）数值上估算，估算零点所在的区间； （4）策略上等价转化，运用充要条件等价转化或恒等变形； （5）方法上分离参数，零点用数学式子表示出来； （6）技巧上反客为主，零点作为主变量，其他变量作为参变量. 题型深研·通法变式提能力 题型一 数形结合法研究函数的零点 【例1】已知函数f（x）＝ex－（a∈R），讨论函数f（x）的零点个数. 【变式1】（2026·南昌模拟节选）已知函数f（x）＝x2＋bex（b∈R），若函数y＝f（x）有3个零点，求b的取值范围. 【变式2】(2026·江西南昌市模拟节选)已知函数f(x)＝(x－a)2＋bex(a，b∈R).若当a＝0时，函数y＝f(x)有3个零点，求b的取值范围. 【变式3】设函数f(x)＝ln x＋，m∈R，试讨论函数g(x)＝f′(x)－的零点个数. 题型二 函数性质法研究函数的零点 【例2】（2024年高考全国甲卷T16）曲线与在上有两个不同的交点，求的取值范围 【变式1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若只有一个零点，求的取值范围． 【变式2】已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. ① 设函数，证明：在区间上单调递减； ② 试比较与的大小，并证明你的结论． 【变式3】已知，设(x1>x2)是的两个零点.求证： （1）； （2）. 题型三 构造函数研究函数的零点 【例3】 (2021·全国甲卷（理）T21节选)已知a>0且a≠1，函数f(x)=(x>0).若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围. 【变式1】已知f（x）＝ax2（a∈R），g（x）＝2ln x，若方程f（x）＝g（x）在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围. 【变式2】已知a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x＞0).若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围． 【变式3】(2026·福建厦门市模拟节选)设函数f(x)＝l n x＋x，若方程f(x)＝mx在区间[1，e2]上有唯一实数解，求实数m的取值范围． 题型四 隐零点问题 【例4】（2026·山东聊城·一模）已知函数，，. (1)求的单调递增区间； (2)求的最小值； (3)设，讨论函数的零点个数. 【变式1】（2026·河北秦皇岛·三模）设函数． （1）求的图象在处的切线方程； （2）记，若，试讨论在上的零点个数． 【变式2】（2026·吉林白城二模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求证：函数的图象在x轴上方. 【变式3】（2026·山东枣庄三模）已知函数 （1）若求的极值； （2）若恒成立，求实数a的取值范围. 题型五 与零点有关的新定义问题 【例5】（2026·上海嘉定·期中）已知定义域为的函数，其导数为，若对任意的都有，则称函数为“导可控函数”. (1)请说明是否为“导可控函数”； (2)若函数为“导可控函数”，且存在正数，使在上恒成立，试判断函数的零点个数，并说明理由； (3)若函数为“导可控函数”，且存在、，使得，证明：对任意的实数、，都有. 【变式1】定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． (1)判断函数和是否具有C关系； (2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； (3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 【变式2】设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图象．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． (1)判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由； (2)已知，．证明：点是的0度点； (3)求函数的全体2度点构成的集合． 【变式3】对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和t，使得成立，则称是“卓然”函数，并称t是的“卓然值”． (1)试分别判断函数，和，是不是“卓然”函数？并说明理由； (2)若是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围； (3)证明：是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围． 分层进阶·双阶训练验成效 巩固过关 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)设，讨论函数在上的单调性； (2)判断函数在上的零点个数. 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程；. (2)若的零点个数为2，求的取值集合. 3．（2026·宁夏银川·三模）已知曲线. (1)求在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 4．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 5．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若函数在上存在两个零点，求实数的取值范围. 6．（2026·陕西西安·模拟预测）已知，，是自然对数的底数． (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围． 7．（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 8．（2026·河北邢台·二模）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若直线l是曲线的切线，且直线l与曲线仅有一个交点，求实数a的值. 9．（2026·河北张家口·二模）已知函数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若时，函数有3个零点，求实数的取值范围. 10．（2026·云南·模拟预测）已知函数． (1)当时，证明：在上存在唯一零点； (2)证明： 在上恒成立的充要条件是． 11．（2025·湖北武汉·一模）已知函数的导函数为，若在区间上单调递增，则称为区间上的凹函数；若在区间上单调递减，则称为区间上的凸函数.已知函数. (1)若在上为凹函数，求实数的取值范围； (2)已知，且在上存在零点，求实数的取值范围. 创新提升 12．（2026·上海·模拟预测）已知函数（）. (1)当时，求函数的单调区间和极值； (2)若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围. 13．（2026·湖北随州·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，证明：； (3)设函数，若有两个不同的零点，，且，求的取值范围． 14．（2026·广东江门·一模）帕德逼近是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.已知函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足.其中.已知在处的阶帕德近似为. (1)求的值； (2)若对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围； (3)已知是函数的三个不同的零点，且，求实数的取值范围，并证明. 15．（2025·河南许昌·模拟预测）对于函数，和，，设，若对任意的，，都有成立，则称函数与“具有性质”. (1)判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； (2)若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证：； (3)已知函数，，，求证：函数与“具有性质”. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $