空间向量及其运算复习过关专项练习-福建省厦门外国语学校2023-2024学年高二上学期数学练习

厦门外国语学校2025届高二数学练习3:空间向量及其运算复习过关 班级： 姓名： 座号： 一、单选题 1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A． B． C． D． 2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列各式：①．②． ③．④．其中运算结果为向量的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（       ） A． B． C． D． 4．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（       ） A． B． C． D． 5．已知不共线的平面向量两两所成的角相等，且，则（       ） A． B．2 C．3 D．2或3 6．如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ） A．1 B． C． D． 7．已知空间向量，，，，则（       ） A． B． C． D． 8．已知矩形ABCD，AB＝1，BC，沿对角线AC将△ABC折起，若平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为，则B与D之间距离为（       ） A．1 B． C． D． 二、多选题 9．如图，在长方体中，、、分别是棱、、上的点，且满足，，，则（       ） A． B． C． D． 10．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（       ） A． B． C．的长为 D． 三、填空题 11．已知四面体中，，，，的中点分别为，则______. 12．如图，在平行六面体中，，，，，，点为棱的中点，则线段的长为______． 13．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 14．在三棱锥中，为内一点，若，则 ______. (用，，表示) 四、解答题 15．如图，在空间四边形ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA＝3，DB＝DC＝2，点E在边DA上，且DE＝2EA，F为BC的中点． (1)用向量，，表示向量；(2)求． 16．棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点． (1)证明：.(2)求.(3)求FH的长． 17．如图，已知，分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.求证：，，三点共线. 18．如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，点棱上，且. (1)用，，表示； (2)若，求；(3)若，求证：平面 厦门外国语学校2025届高二数学练习3:空间向量及其运算复习过关答案 1．C【详解】∵，∴， 2．D【详解】对①，；对②，； 对③，；对④，，∴以上4个算式运算的结果都是向量． 3．A【详解】 4．D【详解】选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有，故正确；选项B，当四边形ABCD为正方形时，可得AC⊥BD，，， 平面BB1D1D，可得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有，故正确；选项C，由长方体的性质可得AB⊥平面ADD1A1，平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有0，故正确； 选项D，由长方体的性质可得BC⊥平面CDD1C1，平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即，故错误. 5．D【详解】由不共线的平面向量，，两两所成的角相等，可设为θ，则.设||=m.因为，所以，即，所以即，解得：或3. 所以||=2或3 6．D【详解】由题意得，故. 7．C【详解】解：因为，所以，因为，，所以，即，所以，所以. 8．C【详解】过B和D分别作BE⊥AC，DF⊥AC，∵AB＝1，BC，∴AC＝2，∵， ∴BE＝DF，则AE＝CF，即EF＝2﹣1＝1，∵平面ABC与平面ACD所成角的余弦值为， ∴，∵， ∴， 则||，即B与D之间距离为， 9．AB【详解】对于A选项，，A对；对于B选项，，B对；对于C选项，由图可知、不共线，则，C错；对于D选项，，D错. 10．BD【详解】根据题意，依次分析选项：对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确：对于C选项，，则，则，C错误： 对于，则，D正确. 11．【详解】如图所示，取的中点，连接，则 . 12．【详解】 则即线段的长为 13．##-0.125【详解】连接，如图，因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有，因M是AC的中点，则，又，，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 14．【详解】在三棱锥中，为内一点，如图所示，延长至，使得，延长至，使得，连接,因为，所以，所以为的重心，所以，即， 所以，整理得. 15．(1)(2) （1）依题意，得，因为点E满足，F为BC的中点， 所以．所以 （2）因为DA，DB，DC两两垂直．，所以，由（1）可得 即所以 16．(1)证明见解析；(2)；(3). （1）在正方体，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，如图所示：依题意，，，，则，所以. （2）由知，，，而，所以. （3）因H为的中点，则，而，则， 所以FH的长为． 17．证明见解析. 【详解】证明：取的中点，连接，因为，分别为四面体的面与面的重心，所以在上，在上，设，，，因为为的重心， 所以 ，因为，所以,所以，因为为的重心，所以，∴.又，∴，，三点共线. 18．(1)(2)(3)证明见解析 (1)解：即 (2)解：因为，不妨取， ．． (3)解：过点作，交于点，连接，则，平面，平面，所以平面，因为，令，则，，，所以，所以，所以，又，，所以，所以，平面，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面，平面，所以平面； 学科网（北京）股份有限公司 $