第三章函数的概念与性质暑假预习单元自测卷-2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数概念与性质，通过基础判断、实际应用及综合探究，适配高一暑假预习自测，强化数学思维与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|函数定义、单调性、幂函数性质|第4题结合成本利润情境考查二次函数最值，体现应用意识| |多选题|3|函数性质综合判断|第10题结合基本不等式与对勾函数，考查数学思维严谨性| |填空题|3|奇偶性、解析式求法|第14题通过偶函数单调性解不等式，强化逻辑推理| |解答题|5|定义域、单调性证明、恒成立问题|第16题综合奇函数定义、单调性证明及不等式求解，层次分明|

高一数学必修第一册第三章函数的概念与性质暑假预习自测卷 一、单选题 1．下列四组函数中表示同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在上的图象如图，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．下列幂函数满足：“①，；②当时，为单调递增”的是（   ） A． B． C． D． 4．某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 5．若代数式有意义，则实数（　　） A． B． C． D． 6．函数有(　　) A．最大值4，最小值0 B．最大值0，最小值－4 C．最大值4，最小值－4 D．最大值、最小值都不存在 7．已知定义在R上的奇函数在上单调递减，若，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，则“”是“在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．给出下列四个命题是真命题的是：（    ） A．函数与函数表示同一个函数； B．函数与直线（常数）有且仅有一个交点； C．函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到； D．若函数的定义域为，则函数的定义域为． 10．已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的最大值为 B．的最小值为 C．若，则 D．若，则的最小值为 11．符号表示不超过x的最大整数，如，，定义函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．函数是增函数 C．方程有无数个实数根 D．的最大值为1，最小值为0 三、填空题 12．已知函数，若为奇函数，则________ 13．已知函数y＝f（x）满足f（x）＝＋3x，则f（x）的解析式为____________． 14．已知：定义在上的偶函数，当时为减函数，若，则实数a的取值范围是_______________ 四、解答题 15．求下列函数的定义域 （1）已知函数的定义域为，求的定义域. （2）已知函数的定义域，求的定义域. 16．设函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)试判断函数的单调性，并用定义法证明． (3)解不等式． 17．已知是定义在上的奇函数，且当时，． (1)求的函数解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且． (1)求与的解析式： (2)求函数在上的最值． (3)若不等式对上恒成立，求的取值范围． 19．已知函数. (1)如果函数为幂函数，试求实数a、b、c的值； (2)如果、，且函数在区间上单调递减，试求ab的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学必修第一册第三章函数的概念与性质暑假预习自测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C C C C A CD ACD 题号 11 答案 AC 1．A 【分析】根据定义域和对应关系是否相同，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 的定义域均为,对应关系也相同，故为同一个函数，故A正确， 对于B, 的对应关系不相同，故不是同一个函数，故B错误， 对于C, 定义域为，的定义域为，故不为同一个函数，C错误， 对于D，的定义域为， 的定义域为，故不为同一个函数，D错误， 故选：A 2．B 【分析】根据函数单调性与图象的关系进行判断即可． 【详解】若函数单调递增，则对应图象为上升趋势， 由图可知：的单调递增区间为. 故选：B． 3．B 【分析】由①②可得为上的奇函数且在上单调递增，根据函数的定义域可判断A；根据函数的奇偶性及幂函数的单调性可判断B；根据函数的单调性可判断C；根据函数的奇偶性可判断D. 【详解】由①②可得为上的奇函数且在上单调递增. 对于A，的定义域为，不可能为奇函数，故A错误； 对于B，的定义域为，且， 故为奇函数. 根据幂函数的性质可得在上单调递增，故B正确； 对于C，根据幂函数的性质可得在上单调递减，故C错误； 对于D，的定义域为，且， 故为偶函数，故D错误. 故选:B. 4．C 【分析】根据题意，利润为销售额减去成本，所以设生产x台，建立关系式f(x)＝25x－y，代入求最大值即可. 【详解】设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500. 故当x＝50台时，获利润最大. 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，考查二次函数去最值，属于基础题. 5．C 【分析】根据根式的意义及绝对值不等式，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以或，即实数. 故选：C. 6．C 【分析】根据绝对值的定义，将题中函数去绝对值化简成分段函数，再根据一次函数的单调性加以讨论，即可得到函数的最大、最小值． 【详解】根据题意，可得 当时，； 当时，； 当时， ∴ ∵在区间上，函数为单调递减函数 ∴在区间上，，即， 因此可得：函数有最大值4，最小值－4． 故选：C． 7．C 【分析】先由奇函数得到上单调递减且，再由单调性解不等式即可求得的取值范围. 【详解】由题意知，在上单调递减且；由可得或， 则或，解得或. 故选：C. 8．A 【分析】根据函数在上单调递增求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断即可. 【详解】因为，所以函数在上为增函数， 若函数在上单调递增，所以函数在上为增函数， 任取、且，则 ， 因为、且，则，， 故只需，故， 且有，即，解得， 故当在上单调递增时，， 因为是的真子集， 故“”是“在上单调递增”的充分不必要条件. 9．CD 【解析】结合函数的定义可判断A、B的正误，利用函数的图象变换可判断C的正误，利用抽象函数定义域的求法可判断D的正误. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故两个函数不是同一函数， 故A为假命题. 对于B，取，但直线与前者的图象没有交点，故B为假命题. 对于C，由图象的平移变换可知该命题为真命题. 对于D，令，故即函数的定义域为，故D为真命题. 故选：CD. 10．ACD 【分析】利用基本不等式可判断A选项；利用对勾函数的单调性可判断B选项；利用基本不等式可得出关于的不等式，解之可判断C选项；由已知等式得出，结合基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，因为，由基本不等式得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，故A正确； 对于B选项，令，则， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 故无最小值，则B错误； 对于C选项，因为，由基本不等式可得， 即，因为，解得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，故C正确； 对于D选项，若，即，即， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 11．AC 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可． 【详解】作出的图象如图： 对于A，由题意可知，所以A正确； 对于B，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，函数在定义域上是周期函数，不是增函数，所以B错误； 对于C，函数每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程有无数个根，所以C正确； 对于D，由图可知，函数无最大值，最小值为0，所以D错误. 故选：AC 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是画出函数的图象，意在考查学生数形结合的数学思想的运用. 函数的图象是研究函数的一个重要手段，要在解题中灵活运用. 12． 【分析】因为为奇函数，而在时，有意义，利用建立方程，求出参数的值． 【详解】函数．若为奇函数， 则， 即，． 经检验时，为奇函数， 故答案为： 【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，当时有意义，利用进行求解来得方便． 13． 【详解】∵f（x）＝＋3x，① ∴将x换成，得．② 由①②消去，得f（x）＝，即． 考点：消元法求函数解析式． 14． 【分析】利用偶函数的性质和单调性求解即可. 【详解】因为定义域为，所以和都必须在定义域内： ，解得：. 是偶函数，满足，因此可转化为： , 又因为时为减函数， 所以 则， 所以的取值范围是. 15．（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式组，由此可解得函数的定义域； （2）由题意可得出，由此可解得函数的定义域. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 则函数满足，解得，即， 即函数的定义域为； （2）函数的定义域，对于函数，有，解得且. 由此，函数的定义域为. 【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 16．(1) (2)在上单调递增，证明详见解析 (3) 【分析】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，解得的值，再根据，解得的值，从而求得的解析式； （2）设，化简可得，然后再利用函数的单调性定义即可得到结果； （3）将原不等式化成，根据在上单调递增，建立不等式求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得． 又因为 ，所以 ，解之得； 所以函数的解析式为：； （2）设， 则 , 所以，，，，， 所以，即， 所以在上单调递增； （3）由题意可得， 因为在上单调递增， 所以， 所以不等式的解集为. 17．(1) (2) 【分析】（1）利用奇函数的性质可求的函数解析式； （2）根据函数解析式的性质可得，再结合函数的单调性可得在上恒成立，故可求实数的取值范围． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以当时，，， 又，所以的函数解析式为． （2）当时，，在上是增函数， 因为是定义在上的奇函数且在图象不间断， 故在上是增函数. 而，故， 故即为 ， 故在上恒成立即在上恒成立， 由于函数在上单调递增， 所以，即，即 . 18．(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法，结合幂函数与一次函数的定义即可得解； （2）利用（1）中结论得到的解析式，再利用二次函数的性质即可得解； （3）参变分离可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）依题意，设，， 因为经过点，所以，解得，则，所以， 又经过点，且， 所以，解得，所以. （2）由（1）得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 所以，. （3）不等式对上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，即a的取值范围为. 19．(1)，，，或，，. (2)18 【分析】（1）根据幂函数的定义得到方程组，解得即可； （2）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质及基本不等式计算可得； 【详解】（1）解：由函数的定义域为R知，当为幂函数时， 应满足或 解得，、、的值分别为：，，，或，，. （2）解：①当时， 由题意知，，所以. ②当时，函数图象的对称轴为， 以题意得：，即 所以，. 当且仅当，时取等号. ③当时， 以题意得：，即，即 又因为， 所以 综上可得，的最大值为18. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $