第三章 函数的概念与性质 单元测试-2026年新高一数学暑期衔接进阶训练（人教A版）

**基本信息** 本单元卷聚焦函数概念与性质，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，适配高中数学第三章单元复习，有效检测数学抽象、逻辑推理及模型应用素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|定义域、奇偶性、单调性、幂函数|单选夯实基础（如定义域求解），多选综合性质判断（如幂函数奇偶性与单调性）| |填空题|3题/15分|函数最值、实际情境（龟兔赛跑）、幂函数性质|结合故事情境（龟兔赛跑路程图象），考查数学表达现实世界能力| |解答题|5题/77分|函数求值、单调性应用、实际造价问题、恒成立问题|分层设计，如17题以十字形地域为背景构建造价函数模型，培养模型意识与运算能力；19题探究函数最值差，发展逻辑推理素养|

第三章 函数的概念与性质单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 4．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 5．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 6．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 10．已知函数满足，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D．当时， 11．给定函数，用表示中的较大者，记为，则（   ） A．的图象可能是一条直线 B． 的图象不可能是一条直线 C．当时，的值域为 D．若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数 的最大值为_____________． 13．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    14．已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 若函数，且. (1)求的值； (2)求的值. 16．（15分） 已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 17．（15分） 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个全等的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为（单位：m） (1)设长为（单位：m），求出关于的函数解析式； (2)设总造价为（单位：元），求出关于的函数关系式； (3)当为何值时，总造价最小，并求出这个最小值． 18．（17分） 已知函数． (1)若，求在区间上的值域； (2)若，且，求的最小值； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 19．（17分） 已知函数满足，集合都存在最大值和最小值，记其最大值与最小值之差为． (1)分别对以下函数计算（不要求写出计算过程）： ①； ②． (2)已知，且，求； (3)已知，，其中为给定的大于0的常数，且，，证明：． 第4页，共5页 第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数的概念与性质单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，解得，所以的定义域为. 故选：B 2．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 3．设偶函数在区间上单调递增，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以， 又在区间上单调递增，， 所以， 则. 4．若函数为幂函数，则函数在定义域内为（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 【答案】C 【解析】函数为幂函数，，得， ，定义域为， ，故在定义域内为奇函数，故D选项错误，C选项正确； 根据幂函数的性质知在，上单调递减，但在其整个定义域上不具有单调性，故选项A，B错误. 5．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】由在上单调递增， 所以． 6．已知是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】是定义域为的奇函数，可得， ，令，得， 令，得， 又函数为上的奇函数，故. 7．设函数，若，且，使成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，函数，对称轴为， 当，即时，此时，使得，满足题意； 当，即时，在上单调递增，在上也单调递增， 要想，且，使得，则，得， 而，矛盾. 综上. 8．若函数是上的单调函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调，且开口向下，在区间上不可能单调递减， 函数在上不可能单调递减，故在上单调递增， ，解得， 的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 【答案】AC 【解析】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 10．已知函数满足，当时，，则（   ） A． B．是奇函数 C．是偶函数 D．当时， 【答案】ABD 【解析】由，可得， 故函数是上的奇函数，则即A，B正确，C错误； 当时，，则，故D正确. 11．给定函数，用表示中的较大者，记为，则（   ） A．的图象可能是一条直线 B． 的图象不可能是一条直线 C．当时，的值域为 D．若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 【答案】BD 【解析】对于A和B，由，故总存在使得， 又，所以不可能始终等于， 即的图象不可能是一条直线，故A错误，B正确； 对于C，当时，，令，即，解得， 当或时，，此时，有， 当时，，此时，有， 综上，的值域为，故C错误； 对于D，由，当时，， 当或时，，， 当时，，， 又当时 ，，所以关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数 的最大值为_____________． 【答案】2 【解析】当时，函数为减函数，所以在处取得最大值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得最大值. 故函数的最大值为2. 13．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【解析】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 14．已知幂函数满足，且当时，，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】因为函数为幂函数， 则，解得或， 又因为，可知为奇函数，则，可得， 又因为，即，可得， 则，即， 当且仅当，即或时，等号成立， 所以的最小值为2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 若函数，且. (1)求的值； (2)求的值. 【解析】（1）由题可知 解得 （2）由题可得函数 16．（15分） 已知函数 (1)请写出函数的单调递增区间； (2)求，（其中）的值； (3)当时，求x的取值范围． 【解析】（1）当时，，此时在单调递增， 当时，在 单调递增， 故的单调递增区间为，， （2）由于，故, 由于，故， （3）当时，，由得，解得， 当时，，由得，解得， 当时，，也符合，故， 综上可得当时，求x的取值范围为或， 17．（15分） 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个全等的矩形和构成的面积为的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为2100元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为105元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为40元．设长为（单位：m） (1)设长为（单位：m），求出关于的函数解析式； (2)设总造价为（单位：元），求出关于的函数关系式； (3)当为何值时，总造价最小，并求出这个最小值． 【解析】（1）根据题意可知十字形地域的面积为4个阴影部分面积加上一个正方形的面积， 因此，即，因为，所以； 可知. （2）由题意可知正方形的造价为元， 花岗岩地坪造价为， 草坪造价为； 所以总造价. 因此关于的函数关系式为； （3）易知; 当且仅当时，即时，等号成立； 因此当时，取得最小值为. 18．（17分） 已知函数． (1)若，求在区间上的值域； (2)若，且，求的最小值； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 【解析】（1）若，则， 当时，， 所以在上单调递减， 所以， 所以在区间上的值域为. （2）若，则， 当时，由，即，整理得，不符合题意； 当时，由，即，整理得，不符合题意； 当，由，即，整理得， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 综上所述，的最小值是. （3）若在上恒成立， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 又在上连续，则在上单调递增， 所以，可得，解得， 即的取值范围为. 19．（17分） 已知函数满足，集合都存在最大值和最小值，记其最大值与最小值之差为． (1)分别对以下函数计算（不要求写出计算过程）： ①； ②． (2)已知，且，求； (3)已知，，其中为给定的大于0的常数，且，，证明：． 【解析】（1）①在单调递增， ， ； ②在单调递减，在单调递增， ，则， ； （2）由定义：，解得． 函数的图象对称轴为直线，开口向上． （i），则． 此时， ，解得． （ii），则，且， 此时， ，解得或（舍去）， 综上：所求或． （3）先证明，在上的最值点有且仅有和．（*） 若存在，为上的最值点，不妨设为最大值点， 再设为上的最小值点，再不妨设， 此时，则，即， 而由可知，矛盾！ 故（*）成立，接下来证明． 故在上，由（*）知0，1为上唯二最值点． ，为最小值点，1为最大值点．（**） ． ，在上单调，且， 所以为增函数，则， 由（*）知为上的最大值点，0为上最小值点， ． ，由于为增函数，在上为最小值，为最大值， ． ，在上，由知1不为最小值点， 由（*）知为上的最小值点，1为上的最大值点． ． 综上：． 第2页，共11页 第3页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $