第二章一元二次函数、方程和不等式单元自测卷-2026年暑假预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一数学必修第一册第二章暑假预习自测卷，聚焦一元二次函数、方程与不等式，通过基础巩固与能力提升的梯度设计，培养运算能力与推理意识，适配预习检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|不等式性质、基本不等式求最值、一元二次不等式解集|如第5题结合函数变形考查基本不等式，第6题设置存在性问题提升思维层次| |多选题|3|不等式性质综合、基本不等式应用|第10题以正实数条件为背景，融合多个不等式判断，培养批判性思维| |填空题|3|取值范围、条件最值、充要条件|第14题结合集合关系考查充要条件，体现数学语言表达| |解答题|5|一元二次不等式与方程、集合关系、函数不等式|第19题三问递进，覆盖不同情境下的最值求解，强化数学思维的系统性|

高一数学必修第一册第二章一元二次函数方程不等式暑假预习自测卷 一、单选题 1．设，则一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．设，且，则的最小值为（   ） A．9 B． C．4 D． 3．已知不等式的解集是，则实数a等于（    ） A． B． C．5 D．10 4．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知x≥，则f(x)＝有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最大值1 D．最小值1 6．若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的最大值为（   ） A．     B． C．2 D．3 8．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，给出下列四个结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．已知均为正实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．若关于的不等式的解集为，则能使不等式成立的可以为（    ） A． B． C． D．或 三、填空题 12．已知，，则的取值范围是___________. 13．已知，均为正实数，且，则的最大值为______. 14．已知，，如果是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____. 四、解答题 15．已知不等式的解集是． （1）若，求的取值范围； （2）若，求不等式的解集． 16．解答下列各题. (1)求不等式的解集； (2)已知，，且满足，求的最小值. 17．已知集合， (1)集合，且，求实数m的值； (2)集合，且Q是P的真子集，求实数a的取值范围． 18．已知函数. （Ⅰ）若的解集为，解不等式； （Ⅱ）若，，解不等式. 19．（1）已知，求的最小值 （2）求的最大值. （3）已知正数满足，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《高一数学必修第一册第二章一元二次函数方程不等式暑假预习自测卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A D D C A D BC ABD 题号 11 答案 BC 1．D 【分析】通过取特殊值，即可判断出ABC的正误，利用不等式的性质即可判断出D的正误． 【详解】因为， 选项A中，取，，可知，因此不正确； 选项B中，取，，可知和不存在，因此不正确； 选项C中，取，，可知，因此不正确； 选项D中，由，根据不等式的性质，可知正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、特殊值法判断不等式是否成立，属于简单题. 2．D 【分析】利用基本不等式可求最小值. 【详解】， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：D. 3．A 【分析】由一元二次不等式的解集可得，即可求实数a. 【详解】由题设，有，可得. 故选：A. 4．D 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，,故A错误， 对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误， 对于C，由于，所以，C错误， 对于D，由于，则，故，D正确， 故选；D 5．D 【分析】将函数变形为f(x)＝＝＝，运用基本不等式可求得最值，得选项. 【详解】f(x)＝＝＝，当且仅当x－2＝，即x＝3时等号成立，故f(x)有最小值1， 故选：D. 【点睛】本题考查基本不等式的应用，求函数的最值，属于基础题. 6．C 【解析】根据题意，只需，再利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】由题意，可得， 设， 若，则， 不等式在内有解， 则只需，即， 解得. 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次不等式能成立问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 7．A 【分析】根据基本不等式计算求解最值. 【详解】由得，， ， 当且仅当时，即或（舍去）时，等号成立； 的最大值为， 故选:A. 8．D 【分析】由，得，则化简后利用基本不等式可求出其最小值为4，从而得，解不等式可求得答案. 【详解】由，，可得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立． 因为不等式有解, 所以，解得或， 所以实数的取值范围是． 故选：D． 9．BC 【分析】由作差法结合不等式的性质逐一判断即可. 【详解】，，，故A错误； ，，故B正确； ，，故C正确； ，，故D错误； 故选：BC 10．ABD 【分析】利用基本不等式求解判断. 【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，故正确； 由得，同理，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 满足题意，但，故C错误； 由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以，故D正确. 故选：ABD. 11．BC 【分析】根据不等式的解集求出，，再把的关系代入不等式即得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和是方程的两个根，且， 所以. 则. 由，得， 因为，所以， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：BC 12． 【分析】利用不等式的基本性质求解. 【详解】因为，， 所以，， 则， 所以， 故答案为： 13． 【分析】中的1用代换，化为二次齐次式，然后设换元后利用基本不等式求得最大值． 【详解】，令， 则原式，当且仅当即时等号成立， 则的最大值为. 故答案为：． 14． 【解析】本题首先可解不等式，得出或，然后根据是的必要不充分条件即可得出结果. 【详解】因为，解得或， 所以或， 因为是的必要不充分条件， 所以，实数的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】本题考查根据必要不充分条件求参数，给出命题若则，如果能证明，则说明是的充分条件，如果能证明，则说明是的必要条件，考查一元二次不等式的解法，是中档题. 15．（1）；（2）． 【分析】（1）将代入不等式，满足不等式求解即可. （2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理求出，将代入不等式求解即可. 【详解】（1）∵，∴，∴ （2）∵，∴是方程的两个根， ∴由韦达定理得，解得， ∴不等式，即为：， 其解集为． 【点睛】本题考查了由一元二次不等式的解集求参数值、一元二次不等式的解法，考查了考生的基本运算能力，属于基础题. 16．(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）由已知等式变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】（1）由，得，所以，所以. 则原不等式的解为. （2）因为，，由可得. 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为. 17．(1) (2)或 【分析】先将集合求出来，后按照集合之间的关系，求参数即可.注意分类讨论. 【详解】（1），，，则 当时，，满足题意； 当时，则或者， 将和分别代入，解得，. 综上所得，实数m的值为. （2）,,且Q是P的真子集,则 当时，则，解得，满足题意； 当时，则当时，满足题意； 当时，则当时，，则，此时，不满足Q是P的真子集. 综上所得， 实数a的取值范围或. 18．（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.. 【解析】（Ⅰ）由二次不等式的解集与二次方程根的关系可求得，然后再解另一个二次不等式即可； （Ⅱ）由已知求出方程的两根和，然后按两根大小分类讨论得出解集． 【详解】（Ⅰ），解得. 得，解得，所以不等式解集为. （Ⅱ）. ①当，即时，； ②当，即时，无解； ③当，即时，. 综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 【点睛】本题考查一元二次不等式与一元二次方程的关系，掌握“三个二次”之间的关系是解题关键． 19．（1）3；（2）5；（3） 【分析】（1）配凑后根据基本不等式求最值； （2）由基本不等式求积的最大值； （3）利用“1”的变形及基本不等式求最值. 【详解】（1）因为， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立； 即的最小值3. （2）由可得， 当或时，， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， 综上的最大值为5. （3）因为正数满足， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 即的最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $