07 一元二次不等式专项训练-2026年暑假预习新高一数学人教A版必修第一册

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【专项训练07 一元二次不等式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：解不含参的一元二次不等式，分式不等式】 【练方法】 教材知识 1.一元二次不等式解法依托二次函数图像由开口方向与判别式确定解集区间 两根解集解集 解集无解 解集无解 2.分式不等式等价转化规则 解题方法 1.一元二次不等式步骤 ①移项整理使二次项系数 ②计算判别式求解对应方程两根 ③结合开口方向写出解集区间 2.分式不等式步骤 ①右侧化为0统一左侧单一分式 ②转化为整式不等式额外标注分母不为0的限制条件 ③解整式不等式后剔除使分母为0的根 不等式的解集是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】，即， 所以，解得． （25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ）小试牛刀1 A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】不等式即，即，即， 等价于，解得或， 故不等式的解集是或. （25-26高二下·云南昭通·期末）已知集合，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， 或， 所以. （24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式：小试牛刀3 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 【题型2：解含有参数的一元二次不等式】 【练方法】 教材知识 1.分类讨论三层逻辑二次项系数的正负判别式的符号两根大小关系 2.时退化为一元一次不等式单独讨论 3.时结合三种图像形态划分解集 解题方法 1.第一层讨论按一次不等式求解 2.第二层讨论与确定抛物线开口方向 3.第三层计算含参判别式分讨论有无实根 4.存在含参两根时比较两根大小再分段写出解集 解下列关于的不等式：经典例题1例题 (1)； (2)． 【答案】(1)当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． (2)当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为． 【分析】（1）研究时不等式的解集即可． （2）研究时不等式的解集即可． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． （25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集；小试牛刀1 （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 求关于的不等式的解集.小试牛刀2 【答案】答案见解析 【分析】分解因式后，根据与的大小结合一元二次不等式解法求解即可. 【详解】不等式， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式化为， 当时，解得或； 当时，解得； 当时，解得或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 解关于的不等式.小试牛刀3 【答案】答案见解析 【分析】化简原不等式，分类讨论的取值，结合一元二次不等式的解法即可求解． 【详解】由题意，，即， 由于方程的根为， ①当时，，故原不等式的解为； ②当时，，原不等式为，故原不等式无实数解； ③当时，，故原不等式的解为； 综上所述： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【题型3：由一元二次不等式的解集求参数】 【练方法】 教材知识 1.不等式解集端点为对应一元二次方程的实数根 2.韦达定理若两根则 3.解集区间左右边界对应方程两根开口方向由不等号与区间形式判定 解题方法 1.根据解集写出对应一元二次方程的两个根 2.代入韦达定理构建含参数方程组求解参数 3.检验二次项系数正负与不等号方向匹配剔除矛盾参数解 （2026高三·全国·专题练习）已知不等式的解集为，求不等式的解集．经典例题1例题 【答案】 【详解】根据已知解集可知， 原不等式可化为， 方程的两个根为、， ，． ，，， ． 因而不等式可化为． 由，可得 是方程的两个根． 又，． 故不等式的解集为． （24-25高一上·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______．小试牛刀1 【答案】 【分析】先由不等式的解集可得，进而可将所求不等式化为，从而可得不等式解集. 【详解】由二次不等式 的解集为. 所以方程的两个根为，且，因此， 即，代入所求不等式 ， 得，因为，所以不等式化为， 即，解得 或 . 因此所求不等式的解集为. （25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________.小试牛刀2 【答案】 【详解】因为不等式的解集为， 所以和是方程的解，且， 所以，所以， 所以等价于，等价于， 解得或，所以不等式的解集为. （25-26高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________．小试牛刀3 【答案】 【分析】先由二次不等式的解集确定的符号，再用韦达定理表示出与的关系，代入目标不等式后，通过变形、等价转化求解分式不等式的解集. 【详解】由不等式的解集为，知，且是方程的根. 由韦达定理得：；. 将、代入不等式，得：, 提取得：因，两边除以：, 移项通分：, 等价于且，即，解得. 故答案为： 【题型4：三个二次的关系】 【练方法】 教材知识 1.三个二次指代一元二次函数一元二次方程一元二次不等式 2.方程的根是函数图像与轴交点横坐标 3.不等式解集是函数图像在轴上方/下方对应的取值集合 4.图像与轴两交点图像与轴相切图像与轴无交点 解题方法 1.已知其中一个二次条件转化为另外两个二次的约束 2.借助二次函数草图直观判断根分布与不等式解集 3.综合判别式根的大小开口方向三类条件联立求解参数 （25-26高一上·河南信阳·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）经典例题1例题 A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AD 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合一元二次方程的韦达定理，即可求解. 【详解】由条件知，，函数的两个零点分别为和， 由函数图象的开口向上，且，所以，故A正确，B错误； 方程的两个根分别为和，则，所以， 不等式，则，故C错误； 不等式，则，得或， 所以不等式的解集为或，故D正确. 故选：AD （25-26高一上·安徽宣城·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ）小试牛刀1 A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BC 【分析】根据题意，转化为和是方程的两个实数根，且，结合韦达定理，可判定A错误；令，可得判定B正确；把不等式转化为可得，可判定C正确；把不等式转化为，可判定D错误. 【详解】对于A，由不等式的解集为， 可得和是方程的两个实数根，且， 则，可得，所以A不正确； 对于B，由A知：是方程的两个实数根，可得，所以B正确； 对于C，由且，则不等式，即为， 可得，解得，所以不等式的解集为，所以C正确； 对于D，由且，不等式，即为， 可得，解得，所以D错误. 故选：BC. （25-26高一上·河北唐山·期中）（多选）关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ）小试牛刀2 A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】由题意可知，由韦达定理可得，由此即可判断出ABD选项，由二次函数 的性质可得，结合即可判断出C选项. 【详解】因为一元二次不等式的解集为或 所以，且一元二次方程的解，， 由韦达定理有， 所以且，A正确； 不等式等价于 解得或，B错误. 因为函数 ，二次函数开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递增，且, 所以，即，C正确； 不等式等价于， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：ACD. （25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ）小试牛刀3 A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BD 【分析】根据不等式的解集得，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，是方程的两个根，且， 所以，可得，A错， 由，B对； 由，即，不等式解集为，C错； 由，即， 所以，故不等式的解集为，D对. 故选：BD 【题型5：一元二次不等式在R上的恒成立与有解问题】 【练方法】 教材知识 1.对任意恒成立 2.对任意恒成立 3.有解等价条件有解或 有解或 解题方法 1.恒成立问题列出开口方向与判别式双重不等式组 2.有解问题分开口正负讨论存在满足条件的的情况 3.单独讨论转化为一次不等式恒成立/有解判断 （25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. （25-26高二下·安徽宿州·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________.小试牛刀1 【答案】 【详解】由为假命题，得为真命题， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. （25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原命题的否命题：“，”为真命题，结合不等式恒成立求解即可. 【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题． ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则，结合. 综上，． （25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论结合一元二次函数的性质可得结果 【详解】根据题意当时，解得 当时，不等式恒成立，符合题意； 当，不等式，不符合题意； 当，的不等式的解集为， 所以，解得 综上所述，. 【题型6：一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题】 【练方法】 教材知识 1.闭区间上二次函数最值出现在区间端点或对称轴处 2.在恒成立 3.在恒成立 4.在有解 5.在有解 解题方法 1.确定二次函数对称轴对比对称轴与给定区间的位置关系 2.分对称轴在区间左侧区间内部区间右侧三类求区间最值 3.结合恒成立/有解的最值约束列不等式求解参数 （25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． （25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ）小试牛刀1 A．6 B． C． D．8 【答案】A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. （25-26高一上·江苏南通·阶段检测）写出使得命题“”是假命题的一个实数的值_____．小试牛刀2 【答案】（答案不唯一，满足的都可以） 【分析】由全称量词命题为真求出，再取补集即可． 【详解】假设命题“”是真命题， 则恒成立，即恒成立， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 因此若命题“”是假命题，则， 所以所求实数的一个值为． 故答案为：. （25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先列出全称命题，根据其是真命题和二次函数的性质，分三种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，使得”为假命题， 所以命题“，使得”为真命题， 当时，在上恒成立，符合题意； 当对称轴时，即时，要使不等式成立，则， 化简得，解得，因为，所以； 当对称轴时，即时，要使不等式成立，则，解得， 而，所以此时无解； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 【题型7：一元二次方程根的分布问题】 【练方法】 教材知识 1.设利用二次函数图像列约束条件 2.根分布核心约束判别式对称轴范围区间端点函数值符号 3.常见分布类型两根均大于两根均小于一根小于一根大于两根落在区间内 解题方法 1.统一令绘制二次函数草图辅助分析 2.根据根的分布类型联立三组不等式对称轴范围端点函数值符号 3.联立不等式组求解参数取值范围 （25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意讨论的符号，结合整数解个数构造不等式，解不等式求a的取值范围． 【详解】若时，不等式，解集为，有无数个整数解，不符合题意； 若时，开口向下， 的解集为两侧无限区间，有无穷多个整数解，不符合题意； 故，开口向上， ，对应方程两根为： ， 由得，故不等式解集为：， 则4个整数解为，故，解得， 故a的取值范围为． （25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____．小试牛刀1 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. （24-25高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______.小试牛刀2 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： （24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ）小试牛刀3 A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即 ，解得. 故选：B. 【题型8：一元二次不等式的实际应用】 【练方法】 教材知识 1.实际问题中自变量具备现实约束取值为正数或正整数 2.利润面积成本类应用题可建立二次函数模型转化为一元二次不等式求解取值区间 解题方法 1.设实际问题自变量结合题意构建二次函数关系式 2.根据题干不等关系列出一元二次不等式 3.解不等式后结合现实意义截取符合条件的取值（正数整数区间） 4.验证边界数值是否满足实际场景约束 （24-25高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求：经典例题1例题 (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. （25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为小试牛刀1 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【答案】(1)第年 (2)第年 【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论； （2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. （25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元.小试牛刀2 (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)人； (2)存在，. 【分析】（1）根据题意列出不等式并求解出解集，再根据的范围可求解出结果； （2）分别根据条件①和条件②列出不等式，通过分离参数求解出不等式最值，由此可求解出的取值范围，则结果可知. 【详解】（1）调整前的人的年总投入为万元， 调整后的研发人员的年总投入为万元， 由题意可知，，解得， 又因为，且，所以调整后的技术人员至少有人. （2）由①可知，所以，所以， 又因为，且，所以，所以； 由②可知，化简可得， 因为，当且仅当，即时（符合条件）取等号， 所以，所以， 由上可知，所以， 所以存在实数满足条件. （25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元.小试牛刀3 【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【专项训练07 一元二次不等式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：解不含参的一元二次不等式，分式不等式】 【练方法】 教材知识 1.一元二次不等式解法依托二次函数图像由开口方向与判别式确定解集区间 两根解集解集 解集无解 解集无解 2.分式不等式等价转化规则 解题方法 1.一元二次不等式步骤 ①移项整理使二次项系数 ②计算判别式求解对应方程两根 ③结合开口方向写出解集区间 2.分式不等式步骤 ①右侧化为0统一左侧单一分式 ②转化为整式不等式额外标注分母不为0的限制条件 ③解整式不等式后剔除使分母为0的根 不等式的解集是（ ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ）小试牛刀1 A． B． C．或 D．或 （25-26高二下·云南昭通·期末）已知集合，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式：小试牛刀3 (1)； (2). 【题型2：解含有参数的一元二次不等式】 【练方法】 教材知识 1.分类讨论三层逻辑二次项系数的正负判别式的符号两根大小关系 2.时退化为一元一次不等式单独讨论 3.时结合三种图像形态划分解集 解题方法 1.第一层讨论按一次不等式求解 2.第二层讨论与确定抛物线开口方向 3.第三层计算含参判别式分讨论有无实根 4.存在含参两根时比较两根大小再分段写出解集 解下列关于的不等式：经典例题1例题 (1)； (2)． （25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集；小试牛刀1 （2）解关于的不等式：． 求关于的不等式的解集.小试牛刀2 解关于的不等式.小试牛刀3 【题型3：由一元二次不等式的解集求参数】 【练方法】 教材知识 1.不等式解集端点为对应一元二次方程的实数根 2.韦达定理若两根则 3.解集区间左右边界对应方程两根开口方向由不等号与区间形式判定 解题方法 1.根据解集写出对应一元二次方程的两个根 2.代入韦达定理构建含参数方程组求解参数 3.检验二次项系数正负与不等号方向匹配剔除矛盾参数解 （2026高三·全国·专题练习）已知不等式的解集为，求不等式的解集．经典例题1例题 （24-25高一上·福建宁德·阶段检测）若不等式解集为，则不等式的解集为______．小试牛刀1 （25-26高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是____________.小试牛刀2 （25-26高一上·江苏盐城·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为________．小试牛刀3 【题型4：三个二次的关系】 【练方法】 教材知识 1.三个二次指代一元二次函数一元二次方程一元二次不等式 2.方程的根是函数图像与轴交点横坐标 3.不等式解集是函数图像在轴上方/下方对应的取值集合 4.图像与轴两交点图像与轴相切图像与轴无交点 解题方法 1.已知其中一个二次条件转化为另外两个二次的约束 2.借助二次函数草图直观判断根分布与不等式解集 3.综合判别式根的大小开口方向三类条件联立求解参数 （25-26高一上·河南信阳·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）经典例题1例题 A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 （25-26高一上·安徽宣城·期中）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ）小试牛刀1 A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 （25-26高一上·河北唐山·期中）（多选）关于的一元二次不等式的解集为或，则（   ）小试牛刀2 A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 （25-26高一上·甘肃兰州·阶段检测）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则（    ）小试牛刀3 A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【题型5：一元二次不等式在R上的恒成立与有解问题】 【练方法】 教材知识 1.对任意恒成立 2.对任意恒成立 3.有解等价条件有解或 有解或 解题方法 1.恒成立问题列出开口方向与判别式双重不等式组 2.有解问题分开口正负讨论存在满足条件的的情况 3.单独讨论转化为一次不等式恒成立/有解判断 （25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·安徽宿州·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________.小试牛刀1 （25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一下·浙江衢州·期中）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：一元二次不等式在区间上的恒成立与有解问题】 【练方法】 教材知识 1.闭区间上二次函数最值出现在区间端点或对称轴处 2.在恒成立 3.在恒成立 4.在有解 5.在有解 解题方法 1.确定二次函数对称轴对比对称轴与给定区间的位置关系 2.分对称轴在区间左侧区间内部区间右侧三类求区间最值 3.结合恒成立/有解的最值约束列不等式求解参数 （25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ）小试牛刀1 A．6 B． C． D．8 （25-26高一上·江苏南通·阶段检测）写出使得命题“”是假命题的一个实数的值_____．小试牛刀2 （25-26高一上·江苏南京·阶段检测）若命题“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：一元二次方程根的分布问题】 【练方法】 教材知识 1.设利用二次函数图像列约束条件 2.根分布核心约束判别式对称轴范围区间端点函数值符号 3.常见分布类型两根均大于两根均小于一根小于一根大于两根落在区间内 解题方法 1.统一令绘制二次函数草图辅助分析 2.根据根的分布类型联立三组不等式对称轴范围端点函数值符号 3.联立不等式组求解参数取值范围 （25-26高二下·广东梅州·期末）若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则a的取值范围为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____．小试牛刀1 （24-25高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______.小试牛刀2 （24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（    ）小试牛刀3 A．或 B． C． D．或 【题型8：一元二次不等式的实际应用】 【练方法】 教材知识 1.实际问题中自变量具备现实约束取值为正数或正整数 2.利润面积成本类应用题可建立二次函数模型转化为一元二次不等式求解取值区间 解题方法 1.设实际问题自变量结合题意构建二次函数关系式 2.根据题干不等关系列出一元二次不等式 3.解不等式后结合现实意义截取符合条件的取值（正数整数区间） 4.验证边界数值是否满足实际场景约束 （24-25高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求：经典例题1例题 (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ （25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为小试牛刀1 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ （25-26高一上·江苏南通·阶段检测）为发展空间互联网，抢占技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有人，年人均投入万元，现把研发部人员分成技术人员和研发人员两类，其中技术人员有名（，且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元.小试牛刀2 (1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的人的年总投入，则调整后的技术人员至少有多少人？ (2)是否存在实数，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. （25-26高一上·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元.小试牛刀3 1 学科网（北京）股份有限公司 $