第8讲 图形的轴对称 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

第8讲 图形的轴对称 目录 知识点1 轴对称图形与成轴对称的区别与联系 2 知识点2 轴对称的核心性质 3 知识点3 线段垂直平分线的性质与判定 3 知识点4 命题、逆命题与互逆定理 3 知识点5 轴对称相关尺规作图原理 4 知识点6 经典轴对称模型原理 4 题型1 轴对称图形的识别 4 题型2 成轴对称的两个图形的识别 7 题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断 9 题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解 11 题型5 台球桌面上的轴对称问题 15 题型6 轴对称中的光线反射问题 18 题型7 折叠问题 21 题型8 线段垂直平分线的性质 26 题型9 线段垂直平分线的判定 29 题型10 写出命题的逆命题 33 题型11 互逆定理 35 题型12 作已知线段的垂直平分线 37 题型13 作垂线（尺规作图） 41 题型14 画对称轴 44 题型15 求对称轴条数 46 1. 知识目标：精准区分轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，熟练掌握轴对称的核心性质；吃透线段垂直平分线的定义、性质与判定定理；理解命题、逆命题、互逆定理的概念与关系；熟练掌握轴对称相关全套尺规作图方法，掌握各类图形对称轴的查找与计数规则，熟记反射、折叠、台球等经典轴对称模型原理。 2. 能力目标：能快速识别轴对称图形、判定两个图形是否成轴对称；可利用轴对称、垂直平分线性质求解线段、角度、周长问题；熟练解决台球反射、光线反射、图形折叠等经典模型题型；规范完成垂直平分线、过点作垂线、画对称轴等尺规作图；能准确书写命题逆命题、判断互逆定理真假。 3. 素养目标：建立数形结合、对称转化、模型化归的几何思维，掌握轴对称“翻折全等、等量代换”的核心解题逻辑，提升几何识图、作图、推理与综合解题能力，完善初中几何图形变换知识体系。 知识点1 轴对称图形与成轴对称的区别与联系 1. 轴对称图形：针对一个图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，该图形为轴对称图形，直线为对称轴。 2. 两个图形成轴对称：针对两个独立图形，一个图形沿直线折叠后能与另一个图形完全重合，则两图形关于这条直线对称。 3. 区别与联系： 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 4. 易错重点：对称轴是直线，不是线段、射线；对称轴数量不唯一，可一条或多条。 知识点2 轴对称的核心性质 1. 成轴对称的两个图形完全全等，对应边、对应角、周长、面积全部相等； 2. 对称轴垂直平分任意一组对应点的连线； 3. 对应线段、对应角关于对称轴对称，对应线段延长线的交点在对称轴上； 4. 折叠、反射问题本质均为轴对称变换，变换前后所有对应元素不变。 知识点3 线段垂直平分线的性质与判定 1. 定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 2. 性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4. 核心结论：线段的垂直平分线是所有到线段两端距离相等的点的集合。 知识点4 命题、逆命题与互逆定理 1. 命题：判断一件事情的语句，由题设（条件）和结论两部分组成，可分为真命题、假命题。 2. 逆命题：将原命题的题设与结论互换，得到的新命题即为原命题的逆命题。 3. 互逆定理：若一个定理的逆命题经过证明为真命题，则它也是一个定理，两个定理互为互逆定理。 4. 关键规律：所有命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理。 知识点5 轴对称相关尺规作图原理 1. 作线段垂直平分线：依托SSS全等，构造等距点，确定垂直平分直线； 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 2. 过点作已知直线垂线：分点在直线上、点在直线外两种情况，基于轴对称等距原理作图； 3. 画对称轴：连接两组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为图形对称轴。 知识点6 经典轴对称模型原理 1. 光线反射、台球反弹模型：入射角等于反射角，本质为轴对称翻折，路径最短； 2. 图形折叠模型：折叠前后轴对称，对应边角相等、对应线段相等，图形全等。 题型1 轴对称图形的识别 解题技巧（对折重合判定法） 1. 核心判定：想象图形沿某条直线对折，直线两侧部分能完全重合即为轴对称图形； 2. 快速排除：不规则不对称图形、普通平行四边形等无对称轴图形直接排除； 3. 识别要点：只需存在至少一条对称轴即可，无需多条； 4. 易错规避：区分轴对称图形（一个图形自身对称）与两个图形成轴对称。 【典例1】．下列交通标志中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据沿着某条直线折叠，两边的图形能够重合的图形是轴对称图形，进行逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】．美术课上，同学们欣赏十二花神纹样，感受花卉与节气文化的融合．下列四种纹样图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： A．梅花不是轴对称图形； B．石榴花不是轴对称图形； C．茶花不是轴对称图形； D．水仙花是轴对称图形． 【变式2】．如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________． 【答案】 【分析】先根据题意建立直角坐标系，再利用轴对称图形的性质找到放置的点的位置，再写出坐标即可． 【详解】由棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方子的位置用表示， 如图，建立直角坐标系， 要使所有棋子构成一个轴对称图形，则嘉嘉放圆形棋子的位置是点， 由图可知点． 【变式3】．以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的概念，是解决问题的关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念逐一判断，即得． 【详解】解：七个图标中，以下四个图形是轴对称图形，共 故答案为：4 题型2 成轴对称的两个图形的识别 解题技巧（双图翻折匹配法） 1. 判定核心：两个独立图形，沿某一直线折叠后能够完全重合； 2. 辅助判定：对应点连线被同一直线垂直平分，则两图形成轴对称； 3. 必备特征：两图形形状、大小完全相同（全等），位置对称； 4. 避坑要点：全等图形不一定成轴对称，还需满足位置对称关系。 【典例2】．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 【变式1】．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答 【详解】解：A、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； B、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； C、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意； D、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 故选：C ． 【变式2】．窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【答案】②③④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：如图所示，图形①与图形②关于直线成轴对称，图形①与图形③关于直线成轴对称，图形①与图形④关于直线成轴对称．    故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合． 【变式3】．国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断 解题技巧（对称四要素核验法） 1. 核验对应关系：对应边相等、对应角相等； 2. 核验位置关系：对称轴垂直平分所有对应点连线； 3. 核验整体特征：两图形全等、折叠完全重合； 4. 快速判断：满足以上特征即可判定成轴对称，缺一不可。 【典例3】．将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据展开后的图形即可作出判断． 【详解】解：把③向上展开，再向左展开后如下图： 【变式1】．如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由折叠可知，图3中剪去的切口是斜向的，且没有经过折叠的顶点（即正方形的中心）．由于剪裁的斜线不是垂直或平行于折痕的，展开后的四边形是菱形，不会是正方形，将图4展开铺平后的平面图形是一个正方形中间有一个倾斜的菱形空洞．而且剪下的菱形的对角线与正方形的对角线共线，只有选项C符合． 【变式2】．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 【变式3】．跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 【答案】林、共、品、吉 【分析】本题侧重考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 根据轴对称图形的定义解答即可． 【详解】解：根据轴对称的性质知：图中的汉字依次为：林、共、品、吉. 故答案为：林、共、品、吉. 题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解 解题技巧（对称等量代换法） 1. 边长求解：利用对应边相等，直接代换求未知线段； 2. 角度求解：利用对应角相等，结合内角和、外角性质求角度； 3. 周长面积：对称图形周长、面积相等，整体代换快速计算； 4. 距离求解：利用对称轴垂直平分对应点连线，求线段间距、垂线段长度。 【典例4】．如图，线段与线段关于直线对称，且与的交点在直线上，点，的对称点分别是点，．下列结论不一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质：①对称轴垂直平分任意一组对称点的连线；②对称轴两侧对应角相等、对应线段平行；逐一判断四个选项，找出无法必然成立的结论． 【详解】解：已知线段、关于直线对称，与、与为对称点，交点在对称轴上． 选项：根据轴对称性质：对称轴垂直平分两组对称点的连线，、是对称点，因此直线垂直平分线段，即，该结论一定正确． 选项：由轴对称，； 又、关于对称，； 与为对顶角，， 因此，该结论一定正确． 选项D：根据轴对称性质，，， 垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故，该结论一定正确． 选项A：轴对称仅保证、关于翻折后完全重合,两线段的夹角可以是任意角度，不一定为． 举反例:若与对称轴夹角为，则与夹角也为，此时与夹角为，不垂直． 因此不一定成立． 【变式1】．如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，从而将转化为，根据垂线段最短可知，当、、三点共线且时，取得最小值，最小值即为点到的距离，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， ∵，、关于对称， ∴在的延长线上，且，， ∴， ∴，要使最小，即求的最小值， ∵在上， ∴当、、三点共线，且时，最小，最小值为到的垂线段长，如图， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【变式2】．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点，点和点为对称点，若，则的度数为_____度． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质，关于直线对称的两个图形全等，对应角相等，由点A和点D为对称点可知与是对应角，从而得出，代入数值即可． 【详解】解：∵蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点， ∴与是对应角， ∴． 【变式3】．如图，和关于直线对称，若，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】 1 【详解】解：和关于直线对称， 直线为的对称轴， ，与关于直线对称， ， ， ， . 题型5 台球桌面上的轴对称问题 解题技巧（翻折等效路径法） 1. 模型本质：台球反弹路径遵循轴对称原理，入射角等于反射角； 2. 解题套路：将击球点或目标点沿桌边翻折，连接两点即为最短反弹路径； 3. 角度计算：利用对称等角、直角互余关系推导反弹角度； 4. 核心结论：反弹路径长度等价于翻折后两点直线距离。 【典例5】．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，结合求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式1】．平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用台球反射的性质画图，逐一验证各选项，判断反弹不超过3次时能否到达原点． 【详解】解：A．如图，点反弹不超过3次的情况下无法到达原点； B．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； C．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； D．如图，点反弹不超过3次的情况下能到达原点； 【变式2】．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为所求的点． 【详解】解：如下图所示，作点关于直线的对称点， 连接与直线交于点， 点即为所求． 【变式3】．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 【答案】675 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：根据题意，得到如下反射图， 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， 因为， 故它与边的碰撞次数是 （次）． 题型6 轴对称中的光线反射问题 解题技巧（等角对称转化法） 1. 核心规律：光线反射，入射角=反射角，法线垂直反射面； 2. 解题方法：沿反射面作光源对称点，反射光线等效于对称点发出的直线光线； 3. 角度推导：结合垂直、平角、互余关系，逐层代换求反射角度； 4. 综合应用：多段反射多次翻折，简化复杂光路问题。 【典例6】．如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据入射线与反射线的关系，作出入射角等于反射角即可． 【详解】解：作，在右侧量出等于且以为边，N为顶点的角即可．    【变式1】．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射规律得出，利用平角定义求出，再根据平行线性质求出，最后利用平角定义及反射规律求出． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴． 【变式2】．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平行线的性质和反射的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 根据题意可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3】．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 【答案】/度 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，再根据平角的定义和已知条件 求出的度数，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， 平面镜是一条直线， ， ， ， ， 题型7 折叠问题 解题技巧（折叠全等+等量全覆盖法） 1. 核心本质：折叠前后图形关于折痕轴对称，完全全等； 2. 固定结论：折叠对应边相等、对应角相等、重叠部分边角对称相等； 3. 计算套路：标记所有相等边角，结合线段和差、内角和、勾股定理列方程求解； 4. 高频考点：折叠求周长、求角度、求线段长度，优先找对称等量关系。 【典例7】．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为与．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，以及角的和差关系进行求解即可. 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【变式1】．是一张纸片，点D，E分别是边上两点． （1）如图1，把沿折叠，使点A落在内的点处，则，和的数量关系是____________； （2）如果折成图2的形状，则，和的数量关系是______________． 【答案】 【分析】（1）根据折叠性质和平角定义、三角形内角和得出，和的数量关系； （2）根据折叠性质和平角定义、三角形内角和得出，和的数量关系． 【详解】（1）解：∵折叠， ∴，， ∵， ， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：∵折叠， ∴，， ∵， ， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【变式2】．综合与探究 已知长方形纸片，对边互相平行，4个角均为直角．E，F分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在点，的位置． (1)如图1，若的延长线恰好过点C，且，求的度数； (2)如图2，若交边于点G，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，得到，进行求解即可； （2）同（1）法求出的度数，再根据互余关系，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴； （2）解：同（1）法可得， ∴， ∵， ∴， ∴ 【变式3】．一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： (1)如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： (2)如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)，理由如下： 如图，延长交于点F， ∵，， 由折叠知， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）由折叠得，结合，利用同旁内角互补求得，．对顶角相等得，在中，故，最终． （2）延长交于点，由三角形外角性质得，且．由折叠知，代入得，故． （3）由折叠得，，．根据平角定义得，，结合，得．将两式相加整理得． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得，，， 由折叠可得，， ， ， ，， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图， 由折叠的性质可得，，， 由题意知， ①， ②， , ， ， ①+②整理得，， ． 题型8 线段垂直平分线的性质 解题技巧（中垂等距秒杀法） 1. 定理套用：点在垂直平分线上→到线段两端距离相等； 2. 解题场景：求线段长、证线段相等、求三角形周长（消去边长简化计算）； 3. 辅助线套路：遇垂直平分线，直接连接端点与线上点，构造等边； 4. 优势：无需证全等，直接秒杀线段等量问题。 【典例8】．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由作图可知直线是线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质得到相等的角，再结合直角三角形两锐角互余求出的度数，最后作差即可得到所求的度数． 【详解】解：根据题目中的作图方法，可知直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，， ∴， 则． 【变式1】．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质，结合已知条件，等量代换，即可得线段的长． 【详解】解：∵的周长是， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【变式2】．如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【答案】 【分析】由是的垂直平分线，可得，，的周长为，将代入，得，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ， 已知的周长为，即， 将 代入，得， 的周长． 【变式3】．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 【答案】(1)垂直，理由如下： ∵垂直平分 ∴ ∵ ∴ ∵是的一条角平分线 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； (2)8 【分析】（1）先由线段垂直平分线的性质结合得到，再证明即可； （2）由全等三角形可得，而，，再由三角形周长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵ ∴ 由题意得，， 由（1）可得， ∵的周长为26 ∴ ∴ ∴． 题型9 线段垂直平分线的判定 解题技巧（等距判中线逆向法） 1. 判定核心：一点到线段两端距离相等⇒该点在线段垂直平分线上； 2. 两点定线：两个等距点可唯一确定线段的垂直平分线； 3. 证明套路：先证两组距离相等，再判定直线为垂直平分线； 4. 易错规避：单点等距只能判定点在中垂线上，不能直接判定直线为中垂线。 【典例9】．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 【变式1】．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 【变式2】．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式3】．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 题型10 写出命题的逆命题 解题技巧（题设结论互换法） 1. 拆分原命题：精准分离题设（条件）和结论； 2. 互换重组：将结论作条件、条件作结论，重新组织语句； 3. 化简语句：保证语句通顺、逻辑严谨，不改变核心词义； 4. 真假判断：原命题为真，逆命题不一定为真，需单独验证。 【典例10】．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】将原命题的条件和结论互换位置即可得到逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为如果，那么． 【变式1】．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．若，则 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 【答案】C 【分析】先写出每个选项的逆命题，再判断原命题和逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：选项A：原命题“全等三角形的对应角相等”是真命题，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题“若，则”是真命题，逆命题为“若，则”，是假命题，例如时但，不符合要求； 选项C：原命题“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合要求； 选项D：原命题“若，则”是假命题，时也可以是，不符合要求； 【变式2】．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________（填序号）． ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 【答案】②（或③，取其一即可） 【分析】要说明小红的观点错误，只需找到一个原命题为真命题，交换题设与结论得到的逆命题为假命题的命题即可，依次判断四个命题即可得解． 【详解】解：①原命题“两直线平行，内错角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“内错角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，不符合要求； ②原命题“对顶角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，逆命题是假命题，符合反例要求； ③原命题“邻补角互补”是真命题，交换后逆命题“互补的角是邻补角”为假命题，也符合要求，题目要求选择一个即可； ④原命题“若，则”是假命题，当，时，满足但，原命题不是真命题，不符合要求． 【变式3】．命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】先根据逆命题定义得到原命题的逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】解 原命题的条件是，结论是， 根据逆命题的定义，将条件和结论互换，得到逆命题为： 如果，那么， 取，，此时，，满足， 但，， 可得， 因此“如果，那么”的逆命题是假命题． 题型11 互逆定理 解题技巧（双真互逆判定法） 1. 判定前提：原命题、逆命题均为真命题，才可称为互逆定理； 2. 核心区分：逆命题不一定为定理，只有真逆命题才是逆定理； 3. 典型模型：线段垂直平分线性质与判定、平行线性质与判定均为互逆定理； 4. 解题要点：能区分命题、真命题、定理、逆定理的层级关系。 【典例11】．下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的判断，核心是理解逆定理的定义：若一个定理的逆命题为真命题，则该定理存在逆定理；若逆命题为假命题，则该定理没有逆定理．据此逐项分析即可． 【详解】解：选项A：原定理“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”．对应角相等的三角形不一定全等，该逆命题是假命题，故原定理没有逆定理； 选项B：原定理“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项C：原定理“等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合”的逆命题是“若一个三角形一边上的高、中线和该边所对顶角的平分线互相重合，则这个三角形是等腰三角形”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 选项D：原定理“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是“与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，该逆命题是真命题，故原定理有逆定理； 故选：A． 【变式1】．下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 【答案】C 【详解】解：∵选项A中，真命题的逆命题可能为真，例如“两直线平行，同位角相等”的逆命题也为真，∴A说法正确． ∵“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，∴一个定理不一定有逆定理，B说法正确． ∵举例“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，因此不是任何定理都有逆定理，∴C说法错误． ∵原命题“若，则”交换条件和结论得到逆命题“若，则”，与D描述一致，∴D说法正确． 【变式2】．命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题____定理（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，再判断逆命题是否为定理即可． 【详解】解：原命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的题设为“一个三角形中两个锐角互余”， 结论为“这个三角形是直角三角形”， 交换题设与结论得到逆命题为“直角三角形的两锐角互余”， 该逆命题是经过推理证实的真命题， 因此它是定理． 【变式3】．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】将原定理的题设与结论交换位置即可得到原定理的逆定理． 【详解】解：定理“两直线平行，同位角相等”中，题设为两直线平行，结论为同位角相等，故原定理的逆定理为“同位角相等，两直线平行”． 题型12 作已知线段的垂直平分线 解题技巧（标准四步作图法） 1. 作图原理：SSS全等，构造两端等距点； 2. 标准步骤：① 以线段两端为圆心、大于半线段长为半径画弧；② 上下弧分别交于两点；③ 连接两交点，所得直线即为垂直平分线； 3. 得分关键：半径必须大于线段一半长度，保留全部圆弧痕迹； 4. 延伸用途：可直接找线段中点、作对称中心。 【典例12】．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可得，垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 【变式1】．已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作，由题意得，垂直平分，则，由角平分线性质得，根据的面积为12，列关于的式子，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得，垂直平分， ， 平分，，， ， 的面积为12， ，即， ． 【变式2】．尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使得点到、两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图所示，点为所求点： 【分析】作线段的垂直平分线交于即可． 【详解】略 【变式3】．如图：已知线段，请完成以下任务： (1)用尺规作图法作出线段的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点； ②保持圆心、不变，更换另一个大于的长度为半径，再次画弧，两弧在线段的上方交于点； ③过、两点作直线． 该同学认为这条直线就是线段的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)解：线段的垂直平分线，如图所示： (2)解：正确， 理由如下： 连接和，如图所示： ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ，， ， ，即， ， 直线就是线段的垂直平分线． 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧交于两点，过这两点作直线即可作出线段的垂直平分线； （2）连接和，由尺规作图得到，，由全等三角形的判定与性质得到、，结合垂直平分线定义即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 题型13 作垂线（尺规作图） 解题技巧（分点定位作图法） 1. 点在直线上：以该点为圆心画弧交直线两点，再作两点垂直平分线即为垂线； 2. 点在直线外：以外部点为圆心画弧交直线两点，作两点垂直平分线，过定点即为垂线； 3. 核心原理：依托轴对称等距、SSS全等保证垂直； 4. 规范要求：保留作图痕迹，标注垂直符号。 【典例13】．如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：由作图可知平分，， ，， ， ， ， ． 【变式1】．如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，可得，由垂直平分线的性质可知，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 由尺规作图可知，是的垂直平分线， ， ， ． 【变式2】．如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【答案】 【分析】由三角形外角的性质可以求出，由尺规作图可知是的平分线，根据角平分线的定义可知，由作图可知是的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，根据三角形内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：是的外角， ， ，， ， ， 由作图可知是的平分线， ， 由作图可知是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 【变式3】．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且． 【答案】 【分析】作线段的垂直平分线，作的平分线，两线交点即为点P． 【详解】略 题型14 画对称轴 解题技巧（对应点连线中垂线法） 1. 通用步骤：① 找两组对应关键点；② 连接对应点；③ 作对应点连线的垂直平分线，即为图形对称轴； 2. 单一图形：对折重合直线即为对称轴； 3. 两图对称：作对应点连线的垂直平分线，唯一确定对称轴； 4. 作图规范：用直线绘制对称轴，不可画成线段。 【典例14】．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义． 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题． 【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线． 故选：A． 【变式1】．下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的性质及相关概念，轴对称图形的对称轴是直线，据此可判断（1）（3），轴对称图形的轴对称可能不止一条，据此可判断（2）；根据轴对称的性质可判断（4）（5）． 【详解】解：（1）角平分线所在的直线是角的对称轴，原说法错误； （2）轴对称图形可能有多条对称轴（如圆有无数条），原说法错误； （3）等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，而非高本身，原说法错误； （4）两个图形成轴对称，则它们全等，原说法正确； （5）若A、B关于直线对称，则垂直平分，而非垂直平分，原说法错误 综上，正确说法有（4），共1个， 故选：A． 【变式2】．如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的对称轴识别，掌握长方形的对称轴是过对边中点的直线，而非对角线所在直线是解题的关键． 先根据轴对称图形的定义，判断图中哪条直线能使长方形沿其折叠后完全重合，从而确定长方形的对称轴． 【详解】解：长方形是轴对称图形，它的对称轴是过对边中点的直线． 图中直线是竖直方向过对边中点的直线，沿它折叠，长方形两边能完全重合，是对称轴； 直线是对角线所在直线，折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 沿折叠后两边无法完全重合，不是对称轴； 因此，对称轴可以是直线． 故答案为：． 【变式3】．如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，直线即为所求． 【分析】作边的垂直平分线即可； 【详解】略 题型15 求对称轴条数 解题技巧（图形特征速记法） 1. 基础图形速记：等腰三角形1条、矩形2条、正方形4条、等边三角形3条、圆无数条； 2. 计数原则：不重不漏，寻找所有能使图形对折重合的直线； 3. 不规则对称图形：逐方向验证，逐一计数； 4. 易错规避：普通平行四边形、一般梯形无对称轴。 【典例15】．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和对称轴的定义，逐一分析选项． 【详解】解：选项A（圆中方形）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项B（方形圆径）：该图形是轴对称图形，共有4条对称轴，不符合题意； 选项C（圆材埋壁）：该图形是轴对称图形，只有过图形中点的水平1条对称轴，符合题意； 选项D（勾股容圆）：该图形的直角三角形两条直角边长度不相等，不是轴对称图象，不符合题意． 【变式1】．下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，有条对称轴，不符合题意； D．该图形是轴对称图形，有条对称轴，符合题意． 【变式2】．如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 【答案】 【详解】解：如图，该轴对称图形共有条对称轴． 【变式3】．如图，正五边形的对称轴条数为______条． 【答案】 5 【分析】正五边形的对称轴为其顶点与该顶点对边中点的连线所在的直线． 【详解】解：如图所示，正五边形有5条对称轴． 1．下面分别是某网站中特色农产品及食品加工、新材料、绿色环保以及生物制药的图案，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形不是轴对称图形，不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，符合题意． 2．如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由折叠的性质可得，则，再由平角的定义可得，则，据此可得到，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．已知点和关于轴对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，建立方程求解，转化为求代数式的值，求解即可； 【详解】解：∵点和关于轴对称， ，， 解得：， 则的值为：． 4．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（     ） A．12 B．13 C．15 D．18 【答案】A 【分析】根据轴对称的性质可得，再由三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：由轴对称的性质可得， ∴的周长． 5．如图，中，，，点是上任意一点，点和点分别是点关于和的对称点，连接和，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用轴对称的性质，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵点和点分别是点关于和的对称点， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 6．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 【答案】B 【分析】利用轴对称性质，得出线段相等关系，进而通过线段的和差计算出的长度． 【详解】解：∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵点关于的对称点是， ∴垂直平分， ∴ ∵， ∴ ∴ 7．小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，小球第1次碰到长方形的边时的位置为，第2次碰到长方形的边时的位置为，第3次碰到长方形的边时的位置为若不考虑阻力，则小球第2026次碰到长方形的边时的位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，可以发现每六次反射一个循环，最后回到起始点，然后计算2026有几个6即可求出对应点的坐标． 【详解】解：按照反弹时反射角等于入射角，画出图形，如下图： ，，，，，，，…， 通过以上变化规律，可以发现每六次反射一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同， ∴点的坐标是． 8．射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，由题可知，进而可得；对于B，由题可得，进而得到，再根据同旁内角互补，两直线平行即可判断；对于C，根据平行的性质即可判断；对于D，由可得，无法判定． 【详解】解：对于A，由题可知，又， ，即，则，故A正确，不符合题意； 对于B，， ，，即， ， （同旁内角互补，两直线平行），故B正确，不符合题意； 对于C，， ，即，故C正确，不符合题意； 对于D，，又， ，同旁内角相等，不一定互补，则不一定平行，故D错误，符合题意． 9．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，进而可得的周长为，即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 10．如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，进而得到是的垂直平分线，再利用直角三角形的性质即可解答. 【详解】解：如图，连接， 根据题意可得：， ∴是的垂直平分线， 即， ∵， ∴. 11．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 12．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】由作图步骤可知直线是线段的垂直平分线，根据垂直平分线性质得又为中点，结合长度求出，即可得到的长． 【详解】解：由尺规作图的方法可得，直线是线段的垂直平分线， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等， ． 点为的中点，， ， ． 13．如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 14．网格小正方形边长为1，点A、B关于中间竖直线对称，点C在B正上方6格，则点C的对称点与A的竖直距离为_________． 【答案】6 【详解】解：由对称性可知，点C的对称点与A的竖直距离等于点与点的竖直距离， ∵点C在B正上方6格， ∴点C的对称点与A的竖直距离为6. 15．如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 【答案】 45 【详解】解：∵，， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴. 16．【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 17．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】利用线段垂直平分线的性质得出，将转化为．根据垂线段最短可知当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离，利用三角形面积公式即可求解．本题考查了最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质以及“垂线段最短”是解题的关键． 【详解】解：∵l是边的中垂线，点E是直线l上动点， ∴， ∴， ∵点F是直线上动点， ∴当C、E、F三点共线且时，的值最小，最小值为点C到直线的距离， 设点C到直线的距离为h， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴的值最小为． 18．如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长，再由面积公式可求解． 【详解】解：连接，， 垂直平分， ， ， 当点，点，点共线且时，有最小值，即有最小值为垂线段的长， 此时， ． 19．如图，在中，点、分别是边、上一点，将沿直线折叠，使点与点重合，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，则的周长为__________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理得，由折叠的性质得，即可求解； （2）由折叠的性质得，将的周长转化为即可求解． 【详解】（1）解：， 由折叠的性质得：， ∴． （2）解：由折叠的性质得：， 的周长． 20．综合实践 折纸中的数学 【问题背景】 折叠垂直平分线 折角平分线 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学 【提出问题】 【问题解决】 如图，能折出过点P且与边平行的折痕吗？ 折平行线的方法步骤说明：第一次过点P折叠使点B落在边上的点，折痕为，第二次过点P折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则 (1)结合图1至图3的操作，说明：； (2)在图2中，若，求∠C的度数 【答案】(1)解：根据折叠性质： 第一次折叠后，， 第二次折叠后，， ∴； (2) 【分析】（1）由第一次折叠得，第二次折叠得，根据平行线的判定证明即可； （2）根据折叠的性质和平行线的性质，进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 21．如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． 求证：． 【答案】证明：∵平分外角，，， ∴ ∵垂直平分 ∴ 在与中， ∴ ． 【分析】根据角平分线性质定理和线段垂直平分线的性质得到，，再证明即可． 【详解】略 22．解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【答案】(1) (2)7 (3)证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，再求出梯形的面积即为阴影部分的面积． （2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解． （3）连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 【详解】（1）解：把向下平移至， ，， ， ， 阴影部分面积梯形的面积，． （2）垂直平分 ， ． （3）略 23．如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 24．在四边形中，，点是延长线上一定点． (1)尺规作图：在图中作线段的中点，连接交于点，作的平分线交于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，点是线段上一动点，连接，平分． ①如图，当与重合时，求证：； ②如图，当在右侧时，与交于点，与有怎样的数量关系，并说明理由； ③当在线段上且不与、重合时，直线与直线交于点，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)如图， (2)①证明：， ， 平分，平分，与重合， ，， ， ； ②，理由如下： 如图，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ③． 【分析】（1）利用尺规作线段垂直平分线确定中点；连接交得点；再尺规作的角平分线，与交于，全程保留作图圆弧痕迹即可． （2）①由得到平行线等角，结合角平分线定义推导同位角相等，根据平行线判定定理证两直线平行． ②设交于点，先根据平行线性质、平角定义推导；再结合对顶角相等、三角形内角和得到，联立两式化简推导出两角倍数关系． ③在线段上时，重复运用平行线性质、平角、三角形内角和、对顶角、角平分线等量代换推导，直接得出两角倍数关系式． 【详解】（1）略 （2）解：①略； ②略 ③当点在点的右侧时，由（）②可得； 当点在点的左侧时，如图，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 综上，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 图形的轴对称 目录 知识点1 轴对称图形与成轴对称的区别与联系 2 知识点2 轴对称的核心性质 3 知识点3 线段垂直平分线的性质与判定 3 知识点4 命题、逆命题与互逆定理 3 知识点5 轴对称相关尺规作图原理 4 知识点6 经典轴对称模型原理 4 题型1 轴对称图形的识别 4 题型2 成轴对称的两个图形的识别 6 题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断 7 题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解 8 题型5 台球桌面上的轴对称问题 9 题型6 轴对称中的光线反射问题 10 题型7 折叠问题 12 题型8 线段垂直平分线的性质 13 题型9 线段垂直平分线的判定 15 题型10 写出命题的逆命题 16 题型11 互逆定理 17 题型12 作已知线段的垂直平分线 17 题型13 作垂线（尺规作图） 19 题型14 画对称轴 20 题型15 求对称轴条数 21 1. 知识目标：精准区分轴对称图形与两个图形成轴对称的概念，熟练掌握轴对称的核心性质；吃透线段垂直平分线的定义、性质与判定定理；理解命题、逆命题、互逆定理的概念与关系；熟练掌握轴对称相关全套尺规作图方法，掌握各类图形对称轴的查找与计数规则，熟记反射、折叠、台球等经典轴对称模型原理。 2. 能力目标：能快速识别轴对称图形、判定两个图形是否成轴对称；可利用轴对称、垂直平分线性质求解线段、角度、周长问题；熟练解决台球反射、光线反射、图形折叠等经典模型题型；规范完成垂直平分线、过点作垂线、画对称轴等尺规作图；能准确书写命题逆命题、判断互逆定理真假。 3. 素养目标：建立数形结合、对称转化、模型化归的几何思维，掌握轴对称“翻折全等、等量代换”的核心解题逻辑，提升几何识图、作图、推理与综合解题能力，完善初中几何图形变换知识体系。 知识点1 轴对称图形与成轴对称的区别与联系 1. 轴对称图形：针对一个图形，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，该图形为轴对称图形，直线为对称轴。 2. 两个图形成轴对称：针对两个独立图形，一个图形沿直线折叠后能与另一个图形完全重合，则两图形关于这条直线对称。 3. 区别与联系： 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 4. 易错重点：对称轴是直线，不是线段、射线；对称轴数量不唯一，可一条或多条。 知识点2 轴对称的核心性质 1. 成轴对称的两个图形完全全等，对应边、对应角、周长、面积全部相等； 2. 对称轴垂直平分任意一组对应点的连线； 3. 对应线段、对应角关于对称轴对称，对应线段延长线的交点在对称轴上； 4. 折叠、反射问题本质均为轴对称变换，变换前后所有对应元素不变。 知识点3 线段垂直平分线的性质与判定 1. 定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（中垂线）。 2. 性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等。 3.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 4. 核心结论：线段的垂直平分线是所有到线段两端距离相等的点的集合。 知识点4 命题、逆命题与互逆定理 1. 命题：判断一件事情的语句，由题设（条件）和结论两部分组成，可分为真命题、假命题。 2. 逆命题：将原命题的题设与结论互换，得到的新命题即为原命题的逆命题。 3. 互逆定理：若一个定理的逆命题经过证明为真命题，则它也是一个定理，两个定理互为互逆定理。 4. 关键规律：所有命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理。 知识点5 轴对称相关尺规作图原理 1. 作线段垂直平分线：依托SSS全等，构造等距点，确定垂直平分直线； 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 2. 过点作已知直线垂线：分点在直线上、点在直线外两种情况，基于轴对称等距原理作图； 3. 画对称轴：连接两组对应点，作对应点连线的垂直平分线，即为图形对称轴。 知识点6 经典轴对称模型原理 1. 光线反射、台球反弹模型：入射角等于反射角，本质为轴对称翻折，路径最短； 2. 图形折叠模型：折叠前后轴对称，对应边角相等、对应线段相等，图形全等。 题型1 轴对称图形的识别 解题技巧（对折重合判定法） 1. 核心判定：想象图形沿某条直线对折，直线两侧部分能完全重合即为轴对称图形； 2. 快速排除：不规则不对称图形、普通平行四边形等无对称轴图形直接排除； 3. 识别要点：只需存在至少一条对称轴即可，无需多条； 4. 易错规避：区分轴对称图形（一个图形自身对称）与两个图形成轴对称。 【典例1】．下列交通标志中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．美术课上，同学们欣赏十二花神纹样，感受花卉与节气文化的融合．下列四种纹样图案中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子．棋盘中心方形棋子的位置用表示，右下角方形棋子的位置用表示．嘉嘉将第4枚圆形棋子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形．则嘉嘉放的位置是______________． 【变式3】．以下是中国七个银行的图标，这些图标中是轴对称图形的是有______个． 题型2 成轴对称的两个图形的识别 解题技巧（双图翻折匹配法） 1. 判定核心：两个独立图形，沿某一直线折叠后能够完全重合； 2. 辅助判定：对应点连线被同一直线垂直平分，则两图形成轴对称； 3. 必备特征：两图形形状、大小完全相同（全等），位置对称； 4. 避坑要点：全等图形不一定成轴对称，还需满足位置对称关系。 【典例2】．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．窗格在中国建筑装饰文化史上蕴含着博大精深的文化韵味．在如图所示的窗格中，可以与图形①成轴对称的图形是______（填序号）．    【变式3】．国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 题型3 根据成轴对称图形的特征进行判断 解题技巧（对称四要素核验法） 1. 核验对应关系：对应边相等、对应角相等； 2. 核验位置关系：对称轴垂直平分所有对应点连线； 3. 核验整体特征：两图形全等、折叠完全重合； 4. 快速判断：满足以上特征即可判定成轴对称，缺一不可。 【典例3】．将一张长方形纸片按如图步骤①和②，沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开平铺后的图形是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，将一正方形纸片沿图1中的对角线对折一次得图2，再沿图2中的斜边上的中线对折一次得图3，然后用剪刀沿图3中的虚线剪去一个角得图4，将图4展开铺平后的平面图形是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【变式3】．跨语文学科 如图所示的都是某个汉字的一半，你能想象出它们的另一半并确定它们是什么字吗？它们依次是___________． 题型4 根据成轴对称图形的特征进行求解 解题技巧（对称等量代换法） 1. 边长求解：利用对应边相等，直接代换求未知线段； 2. 角度求解：利用对应角相等，结合内角和、外角性质求角度； 3. 周长面积：对称图形周长、面积相等，整体代换快速计算； 4. 距离求解：利用对称轴垂直平分对应点连线，求线段间距、垂线段长度。 【典例4】．如图，线段与线段关于直线对称，且与的交点在直线上，点，的对称点分别是点，．下列结论不一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1】．如图，在中，，，，，，为边，上两个动点，连接，，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点和点为对称点，点和点为对称点，若，则的度数为_____度． 【变式3】．如图，和关于直线对称，若，则图中阴影部分的面积为_____． 题型5 台球桌面上的轴对称问题 解题技巧（翻折等效路径法） 1. 模型本质：台球反弹路径遵循轴对称原理，入射角等于反射角； 2. 解题套路：将击球点或目标点沿桌边翻折，连接两点即为最短反弹路径； 3. 角度计算：利用对称等角、直角互余关系推导反弹角度； 4. 核心结论：反弹路径长度等价于翻折后两点直线距离。 【典例5】．如图所示，选择适当的方向击打白球，使白球撞击红球，红球反弹后落入底袋中，此时，且，若，则（   ） A． B． C．53° D． 【变式1】．平面直角坐标系中，一张长方形台球桌的顶点分别为，，，，台球从球桌上的某一点出发，沿平行于或的直线方向运动，碰到边缘会发生镜面反射，台球从以下哪个点出发，在反弹不超过3次的情况下无法到达原点？（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，球桌上有，两个桌球，若要将球射向球桌的一边，反弹一次后击中球，则球应射向，，，四个点中的点_____ ． 【变式3】．如图，在长方形中，，一发光电子开始置于边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与长方形的边碰撞2026次后，它与边的碰撞次数是______． 题型6 轴对称中的光线反射问题 解题技巧（等角对称转化法） 1. 核心规律：光线反射，入射角=反射角，法线垂直反射面； 2. 解题方法：沿反射面作光源对称点，反射光线等效于对称点发出的直线光线； 3. 角度推导：结合垂直、平角、互余关系，逐层代换求反射角度； 4. 综合应用：多段反射多次翻折，简化复杂光路问题。 【典例6】．如图，一束光线射向一个水平镜面后在点处被反射，请借助量角器或者直尺判断反射光线一定会经过（     ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【变式1】．平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．光线照射到平面镜镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线（垂直于平面镜的直线叫法线）的夹角等于入射光线与法线的夹角．如图，一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点E，从点E射出一束光线（入射光线），经平面镜点D处反射光线刚好与平行，则的度数为______． 【变式3】．图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，，当太阳光线与地面所成的角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则平面镜与地面所成的角的度数为_____． 题型7 折叠问题 解题技巧（折叠全等+等量全覆盖法） 1. 核心本质：折叠前后图形关于折痕轴对称，完全全等； 2. 固定结论：折叠对应边相等、对应角相等、重叠部分边角对称相等； 3. 计算套路：标记所有相等边角，结合线段和差、内角和、勾股定理列方程求解； 4. 高频考点：折叠求周长、求角度、求线段长度，优先找对称等量关系。 【典例7】．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为与．已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．是一张纸片，点D，E分别是边上两点． （1）如图1，把沿折叠，使点A落在内的点处，则，和的数量关系是____________； （2）如果折成图2的形状，则，和的数量关系是______________． 【变式2】．综合与探究 已知长方形纸片，对边互相平行，4个角均为直角．E，F分别为边上两点，将长方形纸片沿折叠后，点A，B分别落在点，的位置． (1)如图1，若的延长线恰好过点C，且，求的度数； (2)如图2，若交边于点G，，求的度数． 【变式3】．一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： (1)如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： (2)如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 题型8 线段垂直平分线的性质 解题技巧（中垂等距秒杀法） 1. 定理套用：点在垂直平分线上→到线段两端距离相等； 2. 解题场景：求线段长、证线段相等、求三角形周长（消去边长简化计算）； 3. 辅助线套路：遇垂直平分线，直接连接端点与线上点，构造等边； 4. 优势：无需证全等，直接秒杀线段等量问题。 【典例8】．如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，已知在中，垂直平分，若，的周长是，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【变式3】．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线． (1)与垂直吗？请说明理由． (2)若的周长为26，，求的长． 题型9 线段垂直平分线的判定 解题技巧（等距判中线逆向法） 1. 判定核心：一点到线段两端距离相等⇒该点在线段垂直平分线上； 2. 两点定线：两个等距点可唯一确定线段的垂直平分线； 3. 证明套路：先证两组距离相等，再判定直线为垂直平分线； 4. 易错规避：单点等距只能判定点在中垂线上，不能直接判定直线为中垂线。 【典例9】．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【变式1】．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【变式2】．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【变式3】．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 题型10 写出命题的逆命题 解题技巧（题设结论互换法） 1. 拆分原命题：精准分离题设（条件）和结论； 2. 互换重组：将结论作条件、条件作结论，重新组织语句； 3. 化简语句：保证语句通顺、逻辑严谨，不改变核心词义； 4. 真假判断：原命题为真，逆命题不一定为真，需单独验证。 【典例10】．命题“如果，那么”的逆命题是（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式1】．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．若，则 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 【变式2】．小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________（填序号）． ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 【变式3】．命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 题型11 互逆定理 解题技巧（双真互逆判定法） 1. 判定前提：原命题、逆命题均为真命题，才可称为互逆定理； 2. 核心区分：逆命题不一定为定理，只有真逆命题才是逆定理； 3. 典型模型：线段垂直平分线性质与判定、平行线性质与判定均为互逆定理； 4. 解题要点：能区分命题、真命题、定理、逆定理的层级关系。 【典例11】．下列定理中，没有逆定理的是（  ） A．全等三角形的对应角相等 B．角平分线上的点到角两边的距离相等 C．等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线互相重合 D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 【变式1】．下列说法错误的是（    ） A．一个真命题的逆命题可能是真命题 B．一个定理不一定有逆定理 C．任何一个定理都有逆定理 D．若，则的逆命题是若，则 【变式2】．命题“两锐角互余的三角形是直角三角形”的逆命题____定理（填“是”或“不是”）． 【变式3】．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理：__________． 题型12 作已知线段的垂直平分线 解题技巧（标准四步作图法） 1. 作图原理：SSS全等，构造两端等距点； 2. 标准步骤：① 以线段两端为圆心、大于半线段长为半径画弧；② 上下弧分别交于两点；③ 连接两交点，所得直线即为垂直平分线； 3. 得分关键：半径必须大于线段一半长度，保留全部圆弧痕迹； 4. 延伸用途：可直接找线段中点、作对称中心。 【典例12】．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．已知中，，分别以、为圆心，以大于为半径作弧，两弧相交于；作直线交于点D，连接，平分，交于点E，，的面积为12，则的长为______． 【变式2】．尺规作图：如图，已知，请在边上找一点，使得点到、两点的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式3】．如图：已知线段，请完成以下任务： (1)用尺规作图法作出线段的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点； ②保持圆心、不变，更换另一个大于的长度为半径，再次画弧，两弧在线段的上方交于点； ③过、两点作直线． 该同学认为这条直线就是线段的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． 题型13 作垂线（尺规作图） 解题技巧（分点定位作图法） 1. 点在直线上：以该点为圆心画弧交直线两点，再作两点垂直平分线即为垂线； 2. 点在直线外：以外部点为圆心画弧交直线两点，作两点垂直平分线，过定点即为垂线； 3. 核心原理：依托轴对称等距、SSS全等保证垂直； 4. 规范要求：保留作图痕迹，标注垂直符号。 【典例13】．如图，在中，，按以下步骤作图：① 以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，在分别以点、，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点② 以点为圆心，以适当长为半径作弧，交于点、，在分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为（    ） A．5 B．6.5 C．7 D．8 【变式1】．如图,在中,,分别以点、为圆心,大于的长为半径画弧,两弧交于点、,作直线分别交、于点、,连接.若,则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在中，依据尺规作图的作图痕迹，若，，可知的度数为________． 【变式3】．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图所示，已知和点，，画一点，使得点到的两边距离相等，且． 题型14 画对称轴 解题技巧（对应点连线中垂线法） 1. 通用步骤：① 找两组对应关键点；② 连接对应点；③ 作对应点连线的垂直平分线，即为图形对称轴； 2. 单一图形：对折重合直线即为对称轴； 3. 两图对称：作对应点连线的垂直平分线，唯一确定对称轴； 4. 作图规范：用直线绘制对称轴，不可画成线段。 【典例14】．如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　） A． B． C． D． 【变式1】．下列说法：（1）角平分线是角的对称轴；（2）轴对称图形有一条对称轴；（3）等腰三角形的对称轴是底边上的高；（4）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形；（5）若A、B关于直线对称，则垂直平分．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】．如图，长方形是轴对称图形，对称轴可以是直线__________． 【变式3】．如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 题型15 求对称轴条数 解题技巧（图形特征速记法） 1. 基础图形速记：等腰三角形1条、矩形2条、正方形4条、等边三角形3条、圆无数条； 2. 计数原则：不重不漏，寻找所有能使图形对折重合的直线； 3. 不规则对称图形：逐方向验证，逐一计数； 4. 易错规避：普通平行四边形、一般梯形无对称轴。 【典例15】．中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列4个选项中分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材埋壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中是轴对称图形，有且只有一条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．下列图形中有且只有3条对称轴的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，该轴对称图形有______________条对称轴． 【变式3】．如图，正五边形的对称轴条数为______条． 1．下面分别是某网站中特色农产品及食品加工、新材料、绿色环保以及生物制药的图案，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若，则（     ） A． B． C． D． 3．已知点和关于轴对称，则的值为（     ） A． B．1 C． D． 4．如图，点C是内的一点，点，分别是点C关于的对称点，交于点D，交于点E．若，则的周长是（     ） A．12 B．13 C．15 D．18 5．如图，中，，，点是上任意一点，点和点分别是点关于和的对称点，连接和，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 6．如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为（     ） A．4.5 B．5.5 C．6.5 D．7 7．小静同学观察台球比赛，从中受到启发，抽象成数学问题如下：如图，已知长方形，小球从出发，沿如图所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，小球第1次碰到长方形的边时的位置为，第2次碰到长方形的边时的位置为，第3次碰到长方形的边时的位置为若不考虑阻力，则小球第2026次碰到长方形的边时的位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．射到平面镜上的光线（入射光线）和变向后的光线（反射光线）与平面镜所夹的角相等．如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面的夹角为，反射光线与水平镜面的夹角为，则．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图，在中，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 10．如图，点A，B分别在射线上，以A为圆心，长为半径画弧，以O为圆心，长为半径画弧，两弧交于点C（点C，B不重合），连接，若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 11．关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 12．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别与边、相交于点，连接．若点为的中点，，则的长为（   ）． A．3 B．4 C．5 D．7 13．如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 14．网格小正方形边长为1，点A、B关于中间竖直线对称，点C在B正上方6格，则点C的对称点与A的竖直距离为_________． 15．如图，在中，点、分别在、边上，连接，，与关于所在直线对称．若，则的度数为________． 16．【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 17．如图，在中，， l是边的中垂线，点E是直线l上动点．点F是直线上动点，当，，时，则的最小值为___________． 18．如图，的边的长为，面积为，边的垂直平分线交于点，若为边上的动点，为线段上一个动点，则的最小值为________． 19．如图，在中，点、分别是边、上一点，将沿直线折叠，使点与点重合，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，则的周长为__________． 20．综合实践 折纸中的数学 【问题背景】 折叠垂直平分线 折角平分线 折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何学原理运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何学 【提出问题】 【问题解决】 如图，能折出过点P且与边平行的折痕吗？ 折平行线的方法步骤说明：第一次过点P折叠使点B落在边上的点，折痕为，第二次过点P折叠使点N落在射线上的点，展开压平得到折痕，则 (1)结合图1至图3的操作，说明：； (2)在图2中，若，求∠C的度数 21．如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． 求证：． 22．解决问题 (1)如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． (2)如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． (3)如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 23．如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 24．在四边形中，，点是延长线上一定点． (1)尺规作图：在图中作线段的中点，连接交于点，作的平分线交于点．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，点是线段上一动点，连接，平分． ①如图，当与重合时，求证：； ②如图，当在右侧时，与交于点，与有怎样的数量关系，并说明理由； ③当在线段上且不与、重合时，直线与直线交于点，直接写出与的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $