专题04图形的轴对称与画轴对称图形(知识梳理+题型精析+强化巩固专练)2026年人教版数学七升八暑假预习讲义

专题04图形的轴对称与画轴对称图形暑假预习讲义 1.理解轴对称、轴对称图形定义，能区分两个易混概念，准确找出对称轴、对应点。 2.熟记轴对称核心性质：对称轴垂直平分对称点连线，对应线段、对应角相等。 3.掌握平面直角坐标系内，点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，快速写对称点坐标。 4.掌握尺规作图步骤，能画出平面图形关于给定直线对称的完整图形。 5.会利用轴对称性质完成线段、角度基础计算与简单说理。 6.感受对称美，学会用数形结合思想分析几何图形，为最短路径题型铺垫基础。 分层要求 基础：分清轴对称与轴对称图形，熟记坐标对称规律，会找对称轴； 提高：规范画出轴对称图形，利用性质求线段、角度； 拓展：结合坐标系多边形对称作图，初步感知最短路径模型。 预习必备 知识梳理 1.轴对称相关概念 2.轴对称核心性质 3.常见图形的对称轴 4.线段垂直平分线 5.点的坐标变换坐标变化 高频易错点 常考题型 精讲精练 1.轴对称图形的识别 2.成轴对称图形的特征判断 3.成轴对称图形的特征求解 4.轴对称的实际应用 5.折叠问题 6.线段垂直平分线的性质 7.线段垂直平分线的判定 8.写出命题的逆命题 9.判断是否为互逆命题 10.互逆定理 11.作已知线段的垂直平分线 12.作垂线 13.对称轴画法与条数求解 14.画轴对称图形 15.镜面对称的实际应用 16.坐标系中的对称 17.坐标与图形变化--轴对称 18.轴对称综合 强化题型 解答题10题 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 2.轴对称图形与轴对称 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 本质 图形自身的对称属性 两个图形的位置关系 图示 知识点02: 轴对称核心性质（解题根本，必熟记） 对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应线段相等，对应角相等。 对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 是轴对称图形,对称轴为直线I. 则:线段AC=DF,AB=ED,BC=EF 对应角: 对称轴I垂直对应点连线BE,且交点O是BE的中点. 知识点03:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点04:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点05:点的对称变换坐标变化 设点 P (x，y) 对称方式 对称点坐标 变化规律 关于 x 轴对称 (x，–y) 横坐标不变，纵坐标变相反数 关于 y 轴对称 (–x，y) 纵坐标不变，横坐标变相反数 关于原点对称 (–x，–y) 横、纵坐标全部变相反数 知识点06:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 正确结论 避坑提示 概念混淆 分不清轴对称图形、两个图形成轴对称 一个图→轴对称图形；两个图→轴对称 审题先看图形个数 垂直平分线误用 只说距离相等，不提垂直平分 对称轴垂直平分对称点连线，两个条件缺一不可 证明必须同时写垂直、平分 坐标对称写错 x 轴对称改变横坐标，y 轴对称改变纵坐标 x轴：x不变；y轴：y不变 牢记口诀 x 同 y 反，y 同 x 反 作图遗漏 只画部分顶点对称点，漏顶点 多边形每个顶点都要找对称点再连线 作图前标记全部端点 对称轴判断 认为对称轴是线段 对称轴是直线，可向两端无限延伸 画图时对称轴画虚线直线 题型1.轴对称图形的识别 【典例】下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【跟踪专练1】下列图案中，是轴对称图形的有（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】第33届夏季奥运会于2024年7月26日在法国巴黎举行，下列图标是巴黎奥运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型2.成轴对称图形的特征判断 【典例】如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【跟踪专练1】已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是_____．（填序号） 【跟踪专练3】如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 题型3.成轴对称图形的特征求解 【典例】如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【跟踪专练1】如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】中，，以直角边所在的直线为对称轴，作的轴对称图形，则所得到的的形状一定是__________ ． 【跟踪专练3】如图，直线相交于点O，，点P在的内部，且，点P关于直线的对称点分别是点，则点之间的距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 题型4.轴对称的实际应用 【典例】如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________． 【跟踪专练1】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为______．    【跟踪专练2】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型5.折叠问题 【典例】如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是_______度． 【跟踪专练1】如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，为一条形纸带，，将沿EF折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 题型6.线段垂直平分线的性质 【典例】如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【跟踪专练1】在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【跟踪专练2】如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【跟踪专练3】在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形．，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型7.线段垂直平分线的判定 【典例】如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是_________． 【跟踪专练1】幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【跟踪专练2】如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 【跟踪专练3】如图，在中，，过点作于点，以为斜边作直角，，点为上一点，，连接交于点．下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 题型8.写出命题的逆命题 【典例】已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【跟踪专练1】下列四个命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都等于 D．如果，那么 【跟踪专练2】命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【跟踪专练3】下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 题型9.判断是否为互逆命题 【典例】题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【跟踪专练1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【跟踪专练2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 题型10.互逆定理 【典例】定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【跟踪专练1】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【跟踪专练2】定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 题型11.作已知线段的垂直平分线 【典例】如图，在中，用尺规作图的方式得到点，若的周长为9，，则___________． 【跟踪专练1】根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形三条边距离相等的点是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为______． 【跟踪专练2】如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交、于点．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型12.作垂线 【典例】如图，在中，，根据尺规作图痕迹，若周长为19，则的周长是_______________． 【跟踪专练1】尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（    ） A．小林说的完全正确 B．小林只说对一半，作图依据应是 C．小林只说对一半，作图依据应是 D．小林说的完全不正确 【跟踪专练2】如图，经过直线外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在的两旁． （2）以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．   （4）作直线． 则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为_____． 【跟踪专练3】如图，在中，，．根据尺规的作图痕迹，可知的度数是（    ） A． B． C． D． 题型13.对称轴画法与条数求解 【典例】某车标是一个轴对称图形，有______条对称轴 【跟踪专练1】下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】角的对称轴是________；圆的对称轴是________；正n边形的对称轴有______条． 【跟踪专练3】下列图形中，对称轴最多的是（）． A． B． C． D． 题型14.画轴对称图形 【典例】如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字：______． 【跟踪专练1】如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是___． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【跟踪专练3】如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 题型15.镜面对称的实际应用 【典例】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【跟踪专练1】平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． 【跟踪专练2】电子钟示数“”的镜面对称像为__________． 【跟踪专练3】下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 题型16.坐标系中的对称 【典例】点的坐标是，点关于轴的对称点是_____． 【跟踪专练1】已知点和点关于轴对称，则___________． 【跟踪专练2】若点和点关于轴对称，则_____． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型17.坐标与图形变化--轴对称 【典例】已知点的坐标是，则关于轴对称点的坐标为____________；关于轴对称点的坐标为________． 【跟踪专练1】如果点在轴上，那么点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若点关于y轴对称的点为，则关于x轴对称的点坐标为______． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，经过2025次变换后所得的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 题型18.轴对称综合 【典例】如图，在四边形中，，在、上分别找一点、，使的周长最短时，的度数是______． 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的高，点E，F是上的两点，，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 【跟踪专练4】如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【跟踪专练5】如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 解答题 1．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)若，，求的度数． 2．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 3．将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 4．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 5．请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整． 已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法： 作法：①在直线上取点，； ②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线． 结论：，且经过点． 证明：连接，，，． 由作法可知， ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上； ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ） ∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线） ∴． 6．项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置． 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像． 1．到点和点的距离相等； 2．到和边的距离相等．    请按要求将图纸绘制，标注出点的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 7．已知：点，，根据下列条件解决问题． (1)若轴，求点的坐标； (2)若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积． 9．如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 10．如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04图形的轴对称与画轴对称图形暑假预习讲义 1.理解轴对称、轴对称图形定义，能区分两个易混概念，准确找出对称轴、对应点。 2.熟记轴对称核心性质：对称轴垂直平分对称点连线，对应线段、对应角相等。 3.掌握平面直角坐标系内，点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律，快速写对称点坐标。 4.掌握尺规作图步骤，能画出平面图形关于给定直线对称的完整图形。 5.会利用轴对称性质完成线段、角度基础计算与简单说理。 6.感受对称美，学会用数形结合思想分析几何图形，为最短路径题型铺垫基础。 分层要求 基础：分清轴对称与轴对称图形，熟记坐标对称规律，会找对称轴； 提高：规范画出轴对称图形，利用性质求线段、角度； 拓展：结合坐标系多边形对称作图，初步感知最短路径模型。 预习必备 知识梳理 1.轴对称相关概念 2.轴对称核心性质 3.常见图形的对称轴 4.线段垂直平分线 5.点的坐标变换坐标变化 高频易错点 常考题型 精讲精练 1.轴对称图形的识别 2.成轴对称图形的特征判断 3.成轴对称图形的特征求解 4.轴对称的实际应用 5.折叠问题 6.线段垂直平分线的性质 7.线段垂直平分线的判定 8.写出命题的逆命题 9.判断是否为互逆命题 10.互逆定理 11.作已知线段的垂直平分线 12.作垂线 13.对称轴画法与条数求解 14.画轴对称图形 15.镜面对称的实际应用 16.坐标系中的对称 17.坐标与图形变化--轴对称 18.轴对称综合 强化题型 解答题10题 知识点01:轴对称相关概念 1. 两个概念区分 名称 定义 关键点 轴对称图形 一个图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合 单个图形，直线为对称轴 成轴对称（两个图对称） 两个图形沿一条直线对折后完全重合 两个独立图形，直线是对称轴 联系：把成轴对称的两个图形看成整体就是轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴拆分，两部分成轴对称。 2.轴对称图形与轴对称 对比维度 轴对称图形 两个图形成轴对称 研究对象 一个图形 两个图形 本质 图形自身的对称属性 两个图形的位置关系 图示 知识点02: 轴对称核心性质（解题根本，必熟记） 对应点所连线段被对称轴垂直平分。 对应线段相等，对应角相等。 对称轴是任意一对对应点连线的垂直平分线。 是轴对称图形,对称轴为直线I. 则:线段AC=DF,AB=ED,BC=EF 对应角: 对称轴I垂直对应点连线BE,且交点O是BE的中点. 知识点03:常见图形的对称轴（高频考点） 图形 对称轴条数 对称轴位置 角 1 条 角平分线所在直线 等腰三角形 1 条 底边上的高（中线 / 顶角平分线）所在直线 等边三角形 3 条 各边上的高（中线 / 内角平分线）所在直线 长方形 2 条 过对边中点的直线 正方形 4 条 过对边中点的直线、对角线所在直线 等腰梯形 1 条 过上、下底中点的直线 圆 无数条 过圆心的任意直线 知识点04:线段的垂直平分线（中垂线） 1. 定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）。 几何语言： ∵ 直线 MN⊥AB 于点 O，且 AO=BO，∴ 直线 MN 是线段 AB 的垂直平分线。 2. 性质定理+判定定理（重点） 定理 几何语言 图示 性质定理 线上点到线段两端距离相等 ∵ 点 P 在 AB 的垂直平分线上∴ PA = PB 判定定理（逆定理） 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 ∵ PA = PB∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上 知识点05:点的对称变换坐标变化 设点 P (x，y) 对称方式 对称点坐标 变化规律 关于 x 轴对称 (x，–y) 横坐标不变，纵坐标变相反数 关于 y 轴对称 (–x，y) 纵坐标不变，横坐标变相反数 关于原点对称 (–x，–y) 横、纵坐标全部变相反数 知识点06:高频易错点汇总 易错类型 错误表现 正确结论 避坑提示 概念混淆 分不清轴对称图形、两个图形成轴对称 一个图→轴对称图形；两个图→轴对称 审题先看图形个数 垂直平分线误用 只说距离相等，不提垂直平分 对称轴垂直平分对称点连线，两个条件缺一不可 证明必须同时写垂直、平分 坐标对称写错 x 轴对称改变横坐标，y 轴对称改变纵坐标 x轴：x不变；y轴：y不变 牢记口诀 x 同 y 反，y 同 x 反 作图遗漏 只画部分顶点对称点，漏顶点 多边形每个顶点都要找对称点再连线 作图前标记全部端点 对称轴判断 认为对称轴是线段 对称轴是直线，可向两端无限延伸 画图时对称轴画虚线直线 题型1.轴对称图形的识别 【典例】下列图形：线段、角、正方形、圆，其中轴对称图形的个数为_____． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，判断每个图形是否为轴对称图形即可，轴对称图形的关键是确定对称轴． 【详解】解：线段是轴对称图形，有两条对称轴；角是轴对称图形，有一条对称轴；正方形是轴对称图形，有四条对称轴；圆是轴对称图形，有无数条对称轴．因此，所有四个图形都是轴对称图形，故个数为4． 故答案为：4 【跟踪专练1】下列图案中，是轴对称图形的有（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 【跟踪专练2】第33届夏季奥运会于2024年7月26日在法国巴黎举行，下列图标是巴黎奥运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 、是轴对称图形，故选项符合题意； 故选：． 题型2.成轴对称图形的特征判断 【典例】如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有_____个． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据正方形的四条对称轴分别找到与阴影三角形成轴对称的三角形，即可求解． 【详解】解：如图，与阴影三角形成轴对称的三角形有个， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，与关于直线对称，交于点，则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，由轴对称的性质不能得出非对应线段的关系．由轴对称的性质可以得到对应线段、对应点的连线与对称轴的位置关系，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，不能得出非对应线段的关系． 【详解】解：根据题意分析，由轴对称的性质可以得到：对应线段相等，即A选项成立；对应线段是平行，即C选项成立；对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，即D选项成立；与为非对应线段，无法得到与的关系， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上．下列结论：①；②；③；④．其中错误的是_____．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质得出，，根据对应角相等，对应边相等逐项判断即可求解． 【详解】解：直线是四边形的对称轴，交于点Q，点P在线段上， ，， ，故②正确， ，故③正确， ，故④正确， ，但不一定相等，故①错误， 故答案为：①． 【跟踪专练3】如图，与关于直线l对称，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C． D．直线l垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等． 根据轴对称的性质，逐一判断即可解答求解． 【详解】解：A、与关于直线l对称，，选项A正确，不符合题意； B、，，选项B正确，不符合题意； C、和关于直线对称，，不一定等于，选项C错误，符合题意； D、和△关于直线对称，垂直平分，选项D正确，不符合题意． 故选：C． 题型3.成轴对称图形的特征求解 【典例】如图，中，，点在边上．分别作点关于，的对称点，连接，则的度数等于___________． 【答案】/112度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称的性质得到，，再由角的和差计算求解即可． 【详解】解：∵点关于，的对称点， ∴，， ∵ ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称性质可得，从而，再利用三角形内角和，即可求出 ． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 【跟踪专练2】中，，以直角边所在的直线为对称轴，作的轴对称图形，则所得到的的形状一定是__________ ． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查轴对称的性质．画出的轴对称图形即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 因为， 所以点B，A，在一条直线上． 由对称可知， ， 所以是等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【跟踪专练3】如图，直线相交于点O，，点P在的内部，且，点P关于直线的对称点分别是点，则点之间的距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形三边的关系，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点P关于直线的对称点分别是点P1，P2， ， ． ， ∴当时，， 此时点P1，P2之间的距离取得最大值为． 又， ∴点P1，P2之间的距离的取值范围是：． 故选：D． 题型4.轴对称的实际应用 【典例】如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是_________． 【答案】674 【分析】根据题意易得发光电子经过六次回到点P，进而根据此规律可进行求解． 【详解】解：根据题意可得如图所示： 由图可知发光电子经过六次回到点P，则发光电子与AB边碰撞的次数为2次， ∴， ∴发光电子与矩形的边碰撞次数经过2021次后，则它与边的碰撞次数是（次）； 故答案为674． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹的反射角等于入射角（反射前后的线与边的夹角相等），当小球第次碰到正方形的边时的点为，第次碰到正方形的边时的点为，…，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称，点的坐标，解题的关键是能够正确找到循环的数值，从而得到规律，按照反弹规律依次画图即可． 【详解】    根据反射角等于入射角画图，可知小球从反射后到，再反射到，再反射到，再反射到点之后，再循环反射，每次一循环， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键． 【详解】解：如图所示， 可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故选：． 【跟踪专练3】如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔所处的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为（两束光线关于过点且垂直于的直线对称），且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，反射角等于入射角，由题意得，，然后通过三角形内角和定理即可求解，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵，, ∴， ∴， 故选：． 题型5.折叠问题 【典例】如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是_______度． 【答案】64 【分析】本题主要考查三角形的外角定理，三角形折叠中的角度问题．解题的关键是熟知外角定理．根据三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， 又∵折叠， ∴， ∴， 故． 故答案为：64． 【跟踪专练1】如图，将三角形纸片按下面四种方式折叠，则是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由折叠可知是的角平分线，故不符合题意； B、由折叠可知是的中线，故不符合题意； C、由折叠可知不是的高线，故不符合题意； D、由折叠可知是的高线，故符合题意． 【跟踪专练2】如图，为一条形纸带，，将沿EF折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为______． 【答案】/40度 【分析】设，即可得到的度数，再根据平行线的性质即可得到，依据列方程解答即可． 【详解】解：设， ∴， 由折叠可得：， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【跟踪专练3】如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 【答案】A 【分析】折叠是一种全等变换，折叠前后对应部分全等，即对应角相等、对应边相等．根据折叠的性质，分析折痕与各元素的关系，从而判断折痕的性质． 【详解】解：∵折叠后点落在边上的处， ∴与关于折痕对称， 根据折叠的性质，对称的两个三角形全等，即， 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以 根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线， 由于，即折痕把分成了两个相等的角， 所以折痕是的角平分线． 题型6.线段垂直平分线的性质 【典例】如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长和的周长求出的长，进而求出的长． 【详解】解：是的垂直平分线 ， 的周长为厘米 ，即 的周长为厘米 ． 【跟踪专练1】在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 【跟踪专练2】如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【答案】 【分析】由是的垂直平分线，可得，，的周长为，将代入，得，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ， 已知的周长为，即， 将 代入，得， 的周长． 【跟踪专练3】在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为的正方形．，是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张的方格纸中，找出格点，使，则满足条件的格点有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是垂直平分线的性质，根据，则点在的垂直平分线上，作图即可求解． 【详解】解：作的垂直平分线，如图，与方格纸交于5个格点， 故满足条件的点C有5个， 故选：C． 题型7.线段垂直平分线的判定 【典例】如图，在中，是边上的高，，点N在上，可以进一步推出．依据是_________． 【答案】线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质．先判断是的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质得到． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴是的垂直平分线， ∵点N在上， ∴（线段垂直平分线的性质）， 故答案为：线段垂直平分线的性质． 【跟踪专练1】幸福小区的三个出口A，B，C的位置如图所示．物业公司计划在不妨碍小区规划的前提下，在小区内修建一个电动车充电桩，要求到3个出口的距离都相等以方便业主，则充电桩应建在的（     ） A．3条高的交点处 B．3条中线的交点处 C．3条边的垂直平分线的交点处 D．3个角的平分线的交点处 【答案】C 【分析】线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：∵线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等， ∴要求充电桩到三个出口的距离都相等，则充电桩应建在三条边的垂直平分线的交点处． 【跟踪专练2】如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 【答案】/ 【分析】根据已知得出，根据线段垂直平分线定理得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴D在的垂直平分线上， 【跟踪专练3】如图，在中，，过点作于点，以为斜边作直角，，点为上一点，，连接交于点．下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了三线合一定理，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，由三线合一定理可得，再由已知条件可判断①；延长至点使得连接，可证明垂直平分，得到，则可证明，得到，，据此可判断②④；根据现有条件无法证明，据此可判断③． 【详解】解： ∴， ∵， ∴，故①正确； 如图所示，延长至点使得连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴，故④正确； 根据现有条件，无法证明，故③错误； 故选：B． 题型8.写出命题的逆命题 【典例】已知命题“等腰三角形的两个底角相等”，其逆命题是_____． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【分析】将原命题的条件与结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：由题意得，原命题的逆命题为：有两个角相等的三角形是等腰三角形． 【跟踪专练1】下列四个命题的逆命题是假命题的是（    ） A．如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余 B．全等三角形的对应角相等 C．等边三角形的每个角都等于 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，熟练根据直角三角形判定、全等三角形定义、等边三角形判定及立方的性质判断逆命题的真假是解题的关键． 先写出各命题的逆命题，再根据直角三角形判定、全等三角形定义、等边三角形判定及立方的性质逐一判断逆命题的真假即可． 【详解】解：选项A：原命题的逆命题为如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，由于三角形内角和为，两个锐角互余即和为，则第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题； 选项B：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，由于对应角相等的三角形是相似三角形，不一定满足对应边相等，则该逆命题为假命题； 选项C：原命题的逆命题为每个角都等于的三角形是等边三角形，由于三个角都相等的三角形是等边三角形，每个角满足此条件，则逆命题为真命题 选项D：原命题的逆命题为如果a³=b³，那么，由于实数的立方具有一一对应性，若，则，则逆命题为真命题； 故选：B． 【跟踪专练2】命题“若，则的逆命题是 _________________ ，它是一个 _______ 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 若，则 假 【分析】根据逆命题的定义，交换原命题的条件与结论得到逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题若，则中，条件为，结论为． 交换原命题的条件和结论，可得逆命题为：若，则． 取反例，当，时，满足，但，说明逆命题不成立，因此逆命题是假命题． 【跟踪专练3】下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A、如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B、若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； D、全等三角形的对应角相等的逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 题型9.判断是否为互逆命题 【典例】题设和结论正好相反的两个命题叫做_______．如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的_______． 【答案】 互逆命题 逆命题 【解析】略 【跟踪专练1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【跟踪专练2】命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 题型10.互逆定理 【典例】定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是________________________． 【答案】有两个角互余的三角形是直角三角形． 【详解】解：定理“直角三角形的两个锐角互余”的逆定理是有两个角互余的三角形是直角三角形． 【跟踪专练1】下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．等边对等角 D．全等三角形对应边相等 【答案】A 【分析】本题考查逆定理的概念．一个定理的逆命题不一定为真命题，若其逆命题为假命题，则称该定理没有逆定理．解题时，需写出各选项的逆命题，并判断其真假． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，假命题，故该选项符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，是真命题，故该选项不符合题意； C、等边对等角的逆命题是等角对等边，是真命题，故该选项不符合题意； D、全等三角形的对应边相等的逆命题是三边对应相等的三角形是全等三角形，是真命题，故该选项不符合题意； 故选∶A． 【跟踪专练2】定理“三角形的三条中线交于一点”的逆定理是（） A．三条线段交于一点，它们是三角形的中线 B．交于一点的三条线段是三角形的中线 C．这个定理没有逆定理 D．如果三条线段是三角形的中线，那么它们交于一点 【答案】C 【分析】本题考查了逆定理．原定理的逆命题成立，则原定理有逆定理，否则没有；原定理的逆定理需将条件与结论互换，但互换后的命题不成立． 【详解】解：∵原定理“三角形的三条中线交于一点”的逆命题为“如果三条线段交于一点，那么它们是三角形的中线”，但此逆命题为假， 例如三角形的三条角平分线交于一点，但对于非等边三角形，角平分线不是中线， ∴该定理没有逆定理， 故选：C． 题型11.作已知线段的垂直平分线 【典例】如图，在中，用尺规作图的方式得到点，若的周长为9，，则___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的尺规作图，由作图方法可知，点D在线段的垂直平分线上，则，根据三角形的周长公式可得，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，点D在线段的垂直平分线上， ∴， ∵的周长为9， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练1】根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形三条边距离相等的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线上的点到该角的两边的距离相等可得到三角形三边距离相等的点为该三角形三个内角的角平分线的交点，据此可得答案． 【详解】解：∵到三角形三边距离相等的点为该三角形三个内角的角平分线的交点， ∴由作图方法可知，只有B选项中的图形满足题意． 【跟踪专练2】如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为______． 【答案】14 【分析】本题考查作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质． 由作图痕迹，结合线段垂直平分线的性质，可得，结合已知，等量代换，即可得的周长． 【详解】解：由作图痕迹可知，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴的周长为： ． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线分别交、于点．若，的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形的周长等知识，由作图可知，是的垂直平分线，可得，，由的周长为，可得，所以，然后通过的周长，从而求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：． 题型12.作垂线 【典例】如图，在中，，根据尺规作图痕迹，若周长为19，则的周长是_______________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质．由作法得：垂直平分，从而得到，，再结合周长为19，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴，， ∵周长为19， ∴， ∴， ∴的周长是11． 故答案为：11． 【跟踪专练1】尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（    ） A．小林说的完全正确 B．小林只说对一半，作图依据应是 C．小林只说对一半，作图依据应是 D．小林说的完全不正确 【答案】B 【分析】由作法得：，，即可解答． 【详解】解：由作法得：，， 在和中， ∵， ∴， ∴小林只说对一半，作图依据应是． 【跟踪专练2】如图，经过直线外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在的两旁． （2）以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．   （4）作直线． 则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为_____． 【答案】、、、、、 【分析】连接、、、、、、、，由作图可得，，再结合等腰三角形的定义分析即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、、、、、、， 由作图可得：，， 故等腰三角形有、、、， 不一定是等腰三角形的为、、、、、． 【跟踪专练3】如图，在中，，．根据尺规的作图痕迹，可知的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图痕迹可知垂直平分，平分，结合已知条件求出的度数，然后利用三角形的内角和即可求出的度数． 【详解】解：由作图痕迹可知垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：C ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、尺规作图、三角形内角和定理、三角形的外角的性质，关键是识别作图痕迹． 题型13.对称轴画法与条数求解 【典例】某车标是一个轴对称图形，有______条对称轴 【答案】3 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质及轴对称图形的判断．根据轴对称图形的概念识别和等边三角性质的性质回答即可． 【详解】解：如图，    此车标有3条对称轴． 故答案为：3． 【跟踪专练1】下列图形中，对称轴最多的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查对称轴，对称轴指的是一个图形沿着对称轴对折后，折痕两侧能够完全重合的直线．画出各图形的对称轴即可求解． 【详解】 解：A．对称轴有1条； B．对称轴有4条； C．对称轴有2条； D．对称轴有5条； 综上可知，对称轴最多的图形是， 故选D． 【跟踪专练2】角的对称轴是________；圆的对称轴是________；正n边形的对称轴有______条． 【答案】 角平分线所在的直线 圆的直径所在的直线 n 【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，使两侧能够完全重合，这条直线叫对称轴，根据定义解答． 【详解】解：角的对称轴是角平分线所在的直线；圆的对称轴是圆的直径所在的直线；正n边形的对称轴有n条， 故答案为：角平分线所在的直线；圆的直径所在的直线；n． 【点睛】此题考查图形的对称轴定义，熟记定义是解题的关键． 【跟踪专练3】下列图形中，对称轴最多的是（）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称图形，根据对称轴的概念判断各个图形中的对称轴的条数，得到答案，掌握对称轴的概念是解题的关键． 【详解】 解：A、有无数条对称轴； B、只有条对称轴； C、有条对称轴； D、有条对称轴， ∴图形中对称轴最多的是选项图形， 故选：A． 题型14.画轴对称图形 【典例】如图，是一个轴对称汉字的一半，请你想象出它的另一半并写出这个字：______． 【答案】共 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是掌握相关知识．根据轴对称图形的特征即可求解． 【详解】解：由题意可得这个字是共， 故答案为：共． 【跟踪专练1】如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线对称，请在试卷上补全字母，并写出这个单词所指的物品是___． 【答案】书，图见解析 【分析】本题考查了轴对称图形，解题的关键是根据轴对称的性质作出图形． 根据轴对称图形的性质画出图形即可解答． 【详解】解：如图， 这个单词所指的物品是书． 故答案为：书． 【跟踪专练2】如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点．以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如为格点三角形，与成轴对称的格点三角形可以画出（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，根据网格结构以及轴对称图形的性质作出对称三角形即可，画出对应的图形是解此题的关键． 根据网格特点及题的要求，把所有可能的图形画出即可得答案． 【详解】解：如图，与成轴对称的格点三角形可以画出6个， ， 故选：D． 【跟踪专练3】如图，正六边形关于直线成轴对称的图形是六边形．点，，，四点在一条直线上，若点到直线的距离为，，则线段______． 【答案】 【分析】本题考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称图形的性质是解题的关键； 由轴对称图形的性质可知：点到直线的距离为，则，，由此求得即可． 【详解】解：解：由已知正六边形和正六边形关于直线对称，因此是对称轴， ， 点到直线的距离为， ， ； 故答案为： 题型15.镜面对称的实际应用 【典例】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 【跟踪专练1】平面镜成像中，像和物成轴对称图形．小芳在梳妆镜中发现，放在梳妆镜台桌面上的手机中的时间如图所示，则这时的实际时间应该是_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了镜面对称图形的性质，解决此类问题要注意所学知识与实际情况的结合． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，的实际时间应该是． 故答案为： 【跟踪专练2】电子钟示数“”的镜面对称像为__________． 【答案】 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据电子钟示数与其镜面对称像左右对称，即可求解． 【详解】解：∵电子钟示数“”，“”与“”左右对称， ∴电子钟示数“”的镜面对称像为“”． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 【跟踪专练4】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 题型16.坐标系中的对称 【典例】点的坐标是，点关于轴的对称点是_____． 【答案】 【分析】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；③关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可． 【详解】解：点的坐标是关于轴的对称点是． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知点和点关于轴对称，则___________． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的两点的坐标特征，求代数式的值，关键是掌握两点关于轴对称的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数.根据特征求出与的值，再代入所求代数式计算即可. 【详解】解：关于轴对称的两个点的横坐标相等，纵坐标互为相反数， ∵点和点关于轴对称， ∴，， ∴. 【跟踪专练2】若点和点关于轴对称，则_____． 【答案】 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标规律，二元一次方程组的求解，掌握对称坐标规律是解题关键． 关于轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此列方程组，求出、的值，进而求出． 【详解】解：已知点和点关于轴对称， 可得， 解得， 则， 故答案为：． 【跟踪专练3】在平面直角坐标系中，如果P点的坐标为，它关于y轴的对称点为，关于x轴的对称点为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，利用点关于坐标轴对称的坐标变化规律：关于y轴对称，横坐标取相反数，纵坐标不变，关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标取相反数即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于y轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为3， ∴， ∵关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为， ∴， 故选：A． 题型17.坐标与图形变化--轴对称 【典例】已知点的坐标是，则关于轴对称点的坐标为____________；关于轴对称点的坐标为________． 【答案】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于轴对称的坐标特征为：横坐标不变，纵坐标互为相反数；点关于轴对称的坐标特征为：纵坐标不变，横坐标互为相反数． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点关于轴对称点的坐标为，点关于轴对称点的坐标为． 【跟踪专练1】如果点在轴上，那么点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据轴上点的纵坐标为求出的值，再确定点的坐标，最后根据对称规律求出对称点坐标即可． 【详解】解：∵点在轴上，轴上点的纵坐标为， ∴， 解得， 将代入点的坐标，得，， ∴点的坐标为， ∵关于轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴的对称点坐标为． 【跟踪专练2】若点关于y轴对称的点为，则关于x轴对称的点坐标为______． 【答案】 【分析】先根据关于y轴对称的点的坐标规律求出a，b的值，得到点Q的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标规律求出所求点的坐标即可． 【详解】解：∵点关于轴对称的点为， ∴，， 解得：，， ∴点的坐标为， 可得点关于轴对称的点的坐标为． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是，经过2025次变换后所得的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知点A的坐标每4次变换为一个循环周期，然后根据轴对称的性质，分别写出前4次变换后的坐标，结合的余数确定最终坐标即可． 【详解】解：根据题意， 第1次变换（关于 轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 ； 第2次变换（关于 轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得 ； 第3次变换（关于 轴对称）：纵坐标不变，横坐标互为相反数，得 ； 第4次变换（关于 轴对称）：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得 ； 点的坐标每4次变换循环一次， ， 经过2025次变换后所得的点的坐标与第1次变换后的坐标相同，即为 ． 题型18.轴对称综合 【典例】如图，在四边形中，，在、上分别找一点、，使的周长最短时，的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称−最短路线问题以及等腰三角形的性质等知识，根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出关于和的对称点，，连接，即可得出，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：作关于和的对称点，，连接，交于，交于，则即为的周长最小值，如图： ， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，是边上的高，点E，F是上的两点，，，，则图中阴影部分的面积是（    ） A．12 B．6 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得为轴对称图形，所在的直线为的对称轴，根据轴对称的性质可得，并求出，然后即可求出结论． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴为轴对称图形，所在的直线为的对称轴， ∴ ∴ 故选C． 【点睛】此题考查的是轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，，与关于直线成轴对称，，连接，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的性质以及等腰三角形的性质；由轴对称图形的性质可得，进而结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ， ，， ， ， ，与关于直线成轴对称， ， ， ． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，中，的垂直平分线分别交边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为13时，的面积为（    ） A．30 B．39 C．60 D．76 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称--最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，求出的长可得结论． 【详解】解：连接，， 是等腰三角形，点是边的中点， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值， ， ， 故选：A． 【跟踪专练4】如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为________．(用含a，b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图象的性质，全等三角形的性质，解题的关键是证明出为直角三角形，利用轴对称的性质得到三角形全等，证明出为等腰直角三角形，进一步证明出为直角三角形即可求解． 【详解】解：连接， 根据轴对称的性质可知：， ，，， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， 故答案为：． 【跟踪专练5】如图，直线与直线相交，，点P在内，用下面的方法作P 的对称点：先以为对称轴作点P关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…， 如此继续，得到一系列点，，，，…，，若与P重合，则n的最小值为 _______． 【答案】6 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解题的关键． 利用轴对称性质得到对称点，观察发现，这些对称点都在以O为圆心，为半径的圆上，进行解题即可． 【详解】解：设直线与直线相交于点O， 根据对称性，点P关于的对称点，关于的对称点，以此类推，得到一系列点，，，，…，， 如图，点P每经过6次对称又回到点P， 若与P重合， 则n的最小值为6． 故答案为：6． 解答题 1．如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点______，的对应边是______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握性质，准确计算． （1）本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质解答即可． （2）本题根据轴对称性质推出，从而得出，最后根据即可解题． 【详解】（1）解：由题意可得：图中点的对应点是点，的对应边是， 故答案为：，． （2）解：， ， ， ． 2．某班数学活动课上，老师提出以下问题：如图1，在锐角中，，是的平分线，，分别是，的高，E是边上一点，且，F是边上一动点（不包括两端点），连接，，老师安排了两个不同的任务． 【问题提出】 （1）填空： ；（填“”“”或“”） 【问题探究】 （2）任务一：如图2，若．求证：； （3）任务二：如图3，，，，若，试说明；此时，点E关于的对称点落在边上，连接，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）证明见解析，的面积为12 【分析】（1）由角平分线的性质定理可得； （2）作于点H，可证明，再证明得到； （3）延长交的延长线于点Q，证明，得，从而得，再由角平分线的判定可得；在线段上取点，使得，求出和，可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的平分线，，分别是，的高， ∴． 故答案为：； （2）证明：如图2，于点H， 在和中， ， ∴， ∴． 又由（1）知， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：如图3，∵， ∴， 延长交的延长线于点Q， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴平分， ∴； 如图4，在线段上取点，使得， ∵， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则， ∴． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的性质和判定以及三角形全等的判定和性质，关键是熟练掌握角平分线的性质和全等三角形的性质解决线段或角的相等关系． 3．将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，规律总结，列代数式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题中的作图方法，在图5中作图即可解答； （2）根据题中的作图方法，在图6中，利用网格作图即可解答； （3）根据题中呈、、时，能看到的蜡烛个数，总结出规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 4．美术课上我们经常利用长方形的卡纸玩折纸游戏．如图，将长方形卡纸沿折痕折叠，点C落在了点处，交于点N． (1)如果 ，那么 °； (2)点E为线段上一点，将三角形沿折叠，点A恰好落在上的点处，如果，请用α的代数式表示； (3)将三角形沿折叠，点A落在点处，当时，求出的度数． 【答案】(1)50 (2) (3)或 【分析】（1）根据所给折叠方式，先求出，进一步求出的度数即可； （2）根据题意，画出示意图，再结合所给折叠方式进行计算即可； （3）对点在左上方和右下方的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，． 因为四边形是长方形， 所以， 所以． 故答案为：50； （2）解：如图所示， 因为， 所以， 由折叠可得， 所以； （3）解：当点在的左上方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 当点在的右下方时，如图所示， 设， 则， ∵，， ∴， 解得， 所以． 综上所述，∠CBD的度数为或． 5．请结合图形阅读作法，并将证明“”的过程补充完整． 已知直线和外一点，下面是小明设计的“过点作直线的垂线”的作法： 作法：①在直线上取点，； ②分别以点、为圆心，、为半径作弧，两弧在直线下方交于点； ③作直线． 结论：，且经过点． 证明：连接，，，． 由作法可知， ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上； ∵ ，∴点在线段的垂直平分线上；（依据： ） ∴直线是线段的垂直平分线（依据：两点确定一条直线） ∴． 【答案】，，到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上 【分析】先根据同圆的半径相等可知，，再根据到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上可得点都在线段的垂直平分线上，然后根据两点确定一条直线可得直线是线段的垂直平分线，由此即可得证． 【详解】证明：连接，，，． 由作法可知，∵， ∴点在线段的垂直平分线上； ∵， ∴点在线段的垂直平分线上；（依据：到线段两端点距离相等的点在这条线段垂直平分线上） ∴直线是线段的垂直平分线，（依据：两点确定一条直线） ∴． 6．项目式学习 主题 素材 位置要求 设计图 任务 如何确定雕像的位置． 如图，要在一个四边形的公园中建造一个标志性的雕像． 1．到点和点的距离相等； 2．到和边的距离相等．    请按要求将图纸绘制，标注出点的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】作边的垂直平分线和的平分线，两直线交于点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 7．已知：点，，根据下列条件解决问题． (1)若轴，求点的坐标； (2)若点在第一象限角的平分线上，求、两点间的距离． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标； （2）第一象限角的平分线上的点横纵坐标相同，据此建立方程求出a的值，进而求出点B的坐标和点A与点B的距离． 【详解】（1）解：∵轴， ， ， 点的坐标为． （2）点在第一象限角的平分线上， ， ， 点的坐标为． 、两点间的距离为． 8．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2) 【分析】（1）分别作出点B，C关于y轴的对称点，，顺次连接A，，得到，根据点的位置即得的坐标； （2）根据割补法列式计算即可． 【详解】（1）解：如图，就是所求作的三角形； 点的坐标是； （2）解：的面积为． 9．如图，已知四边形的四个顶点分别为． (1)作出四边形关于y轴对称的四边形；写出点：______；：_____． (2)在x轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） (3)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析，； (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了轴对称图形的绘制，利用轴对称求最短路径以及不规则四边形的面积的计算，理解轴对称的性质是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的坐标特征来确定对称点坐标并画出图形； （2）利用轴对称的性质找到使三角形周长最小的点； （3）通过将四边形补成一个大矩形，再减去多余三角形的面积来计算四边形的面积． 【详解】（1）解：如下图四边形即为所求；：；：． 故答案为：． （2）解：如下图，点P即为所求． （3）解：． 10．如图，在中，，，，点为线段上一动点（点不与点重合），连接． (1)如图1，求证：． (2)过点作，交延长线于点．设． ①如图2，求的度数（用含的代数式表示）； ②如图3，当点与点关于直线对称时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据条件得出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质得出垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）①根据（1）中结论得出，继而得出，最后利用直角三角形的性质进行求解即可； ②利用轴对称的性质得出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， 根据等腰三角形的三线合一得， 垂直平分线段， ∴； （2）解：①∵， ， 由（1）得， ， ∴， 即， 由（1）得为等腰直角三角形， ， ， ∵， ∴为直角三角形， ∴； ②∵点与点关于直线对称， ， 又, ∴， ∴， ∴， 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $