3.3.1　从函数观点看一元二次方程 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

**基本信息** 本同步练习围绕“从函数观点看一元二次方程”，通过基础巩固、方法应用、综合探究三层设计，实现从概念辨析到综合问题解决的知识进阶，培养抽象能力、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|零点概念、方程根的判断|单选（1-5）、填空（7-9）直接考查定义与运算，强化概念理解| |进阶层|零点个数讨论、根与系数关系|多选（6）、证明（10）、填空（13）结合分类讨论与推理，提升逻辑思维| |综合层|零点分布、参数问题综合应用|解答题（14-15）融合方程、不等式与函数性质，培养综合探究能力|

3.3.1　从函数观点看一元二次方程 1.函数y＝x2－8x＋16的零点是（　　） A.（0，4） B.（4，0） C.0 D.4 2.函数y＝x2－（a＋1）x＋a的零点个数为（　　） A.1 B.2 C.1或2 D.0 3.函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）的零点为－2和3，a＜0，那么函数y2＝cx2－bx＋a的零点为（　　） A.－和 B.和－ C.－3和2 D.无法确定 4.二次函数y＝ax2＋5x＋4（a≠0）有两个异号零点的一个必要不充分条件是（　　） A.a＜0 B.a＞0 C.a＜2 D.a＜－1 5.关于x的函数y＝x2－2ax－8a2（a＞0）的两个零点为x1， x2，且x2－x1＝15，则a＝（　　） A. B. C. D. 6.（多选）对于函数y＝ax2－x－2a，下列说法中正确的是（　　） A.函数一定有两个零点 B.a＞0时，函数一定有两个零点 C.a＜0时，函数一定有两个零点 D.函数的零点个数是1或2 7.若函数y＝2x2－3x－7的两个零点为a，b，则a2＋b2＝　　　　. 8.函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为　　　　. 9.函数y＝（1－k）x2－2x－1有两个零点，则实数k的取值范围是　　　　. 10.求证：函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点. 11.函数y＝ax2－2x＋1在区间（－1，1）和区间（1，2）上分别有一个零点，则实数a的取值范围是（　　） A.（－3，－1）　　　B.（，1） C.（－3，） D.（－∞，－3）∪（，＋∞） 12.（多选）若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）＝m有实数根x1，x2，且x1＜x2，则下列结论中正确的是（　　） A.当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B.m＞－ C.当m＞0时，2＜x1＜x2＜3 D.当m＞0时，x1＜2＜3＜x2 13.已知y＝（x－a）（x－b）－2（a＜b），并且α，β是方程y＝0的两根（α＜β），则实数a，b，α，β的大小关系是　　　　.（用“＜”连接） 14.若x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的两个不同零点，且x1＋x2＝1－x1x2，求实数m的值. 15.已知函数y＝x2－kx＋k2＋n有两个不相等的零点x1，x2，且（2x1＋x2）2－8（2x1＋x2）＋15＝0. （1）求证：n＜0； （2）试用含k的代数式表示x1； （3）当n＝－3时，求k的值. 3.3.1　从函数观点看一元二次方程 1.D　函数y＝x2－8x＋16，令x2－8x＋16＝0得x1＝x2＝4，所以函数y＝x2－8x＋16的零点是4.故选D. 2.C　法一　由x2－（a＋1）x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点有1个，当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点个数是1或2.故选C. 法二　Δ＝（a＋1）2－4a＝（a－1）2，当a＝1时，Δ＝0，函数有1个零点；当a≠1时，Δ＞0，函数有2个零点.故选C. 3.A　由题意知，－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，由cx2－bx＋a＝0得－6ax2＋ax＋a＝0，即6x2－x－1＝0，解得x1＝－，x2＝，故选A. 4.C　y＝ax2＋5x＋4（a≠0）有两个异号零点，需满足解得a＜0，A选项，a＜0是y＝ax2＋5x＋4（a≠0）有两个异号零点的充要条件，A错误；B选项，a＜0与a＞0无包含关系，不合要求，B错误；C选项，{a｜a＜0}是{a｜a＜2}的真子集，满足要求，C正确；D选项，{a｜a＜－1}是{a｜a＜0}的真子集，故a＜－1是充分不必要条件，D错误.故选C. 5.A　由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.由（x2－x1）2＝（x1＋x2）2－4x1x2＝（2a）2－4×（－8a2）＝36a2＝152，解得a＝.故选A. 6.BCD　当a≠0时，相应方程ax2－x－2a＝0中Δ＝1＋8a2＞0，所以函数一定有两个零点，故B、C正确.当a＝0时，函数有唯一零点为0，故D正确，A不正确. 7.　解析：因为函数y＝2x2－3x－7，所以由根与系数的关系可知，两个零点a，b满足a＋b＝，ab＝－，所以a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（）2－2×（－）＝. 8.　解析：因为函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，所以解得0＜m＜. 9.{k｜k＜2且k≠1}　解析：函数y＝（1－k）x2－2x－1有两个零点，即一元二次方程（1－k）x2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则解得k＜2且k≠1. 10.证明：法一　对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝（a＋2）2＋4＞0， 所以函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点. 法二　因为函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）的图象为开口向上的抛物线， 无论a为任何实数，当x＝－1时，y＝（－1）2＋a－a－2＝－1，即函数的图象始终经过点M（－1，－1）. 所以函数y＝x2－ax－a－2（a∈R）一定有两个零点. 11.B　当a＝－2时，y＝－2x2－2x＋1，此时函数有两个零点，不符合题意，排除A、C选项.当a＝1时，y＝x2－2x＋1＝（x－1）2，此时函数只有一个零点1，不符合题意，排除D选项，故选B. 12.ABD　对于A，m＝0时，方程为（x－2）·（x－3）＝0，解得x1＝2，x2＝3，所以A正确；对于B，将方程整理可得x2－5x＋6－m＝0，由于方程有两个不同的实数根，所以Δ＝25－4（6－m）＞0，解得m＞－，所以B正确；对于C和D，当m＞0时，x1，2＝，则x2＝，又m＞0，所以x2＝＞＝3，又x1＋x2＝5，所以x1＜2.故选项C不符合题意，选项D符合题意.故选A、B、D. 13.α＜a＜b＜β 解析：设y1＝（x－a）（x－b），则a，b是y1＝（x－a）（x－b）的两个零点，函数y＝（x－a）（x－b）－2的图象可以看成y1＝（x－a）（x－b）的图象向下平移2个单位长度得到，且a＜b，α＜β，如图所示.∴α＜a＜b＜β. 14.解：因为x1，x2是函数y＝x2－2mx＋m2－m－1的两个不同零点， 则x1，x2是方程x2－2mx＋m2－m－1＝0的两个不相等的实数根， 所以x1＋x2＝2m，x1x2＝m2－m－1， Δ＝4m2－4（m2－m－1）＞0，即m＞－1. 因为x1＋x2＝1－x1x2，所以2m＝2－m2＋m， 解得m＝1或m＝－2， 又m＞－1，所以m＝1. 15.解：（1）证明：由题意知，关于x的一元二次方程x2－kx＋k2＋n＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝k2－4（k2＋n）＝－3k2－4n＞0， ∴n＜－k2.又－k2≤0，∴n＜0. （2）∵（2x1＋x2）2－8（2x1＋x2）＋15＝0， x1＋x2＝k， ∴（x1＋x1＋x2）2－8（x1＋x1＋x2）＋15＝0， ∴（x1＋k）2－8（x1＋k）＋15＝0， ∴[（x1＋k）－3][（x1＋k）－5]＝0， ∴x1＋k＝3或x1＋k＝5， ∴x1＝3－k或x1＝5－k. （3）由（1）知n＜－k2，当n＝－3时，解得k2＜4，即－2＜k＜2. 把n＝－3代入原方程，得x2－kx＋k2－3＝0，① 把x1＝3－k代入①，得k2－3k＋2＝0， 解得k1＝1，k2＝2（舍去）， 把x1＝5－k代入①，得3k2－15k＋22＝0， Δ＝－39＜0， ∴此时k不存在. 综上，k＝1. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $